日期：2022-10-08 00:00:00
1、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
2、抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
3、实数指数幂的运算性质
4、语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
5、值域 : 先考虑其定义域
6、分段函数
7、集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
8、并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}
9、补集：CUA={x|xA但x∈U}
10、交、并集运算的性质
11、若{1，2}A{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A的个数是
12、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则CU(M∪N)=
13、集合，，，且，则有
14、集合，，____________.
15、已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值
16、集合的三个特性
17、函数的奇偶性
18、a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;
19、(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
20、能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
21、异面直线：
22、*面与*面*行
23、常利用三角形中位线、*行四边形对边、已知直线作一*面找其交线
24、科学的预*方法
25、(xfy有2个零点0)(xf有两个不等实根;0)(xfy有1个零点0)(xf有两个相等实根;0)(xfy无零点0)(xf无实根;对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定.
26、已知α为锐角,且,则α的度数是A.30°B.45°C.60°D.90°
27、任意三位数乘上999的巧算方法，就是将这个任意的三位数减去1，作为积的左面的三位数字，再将1000减去这个任意三位数的差作为积的右边的三位数字，合并起来就是它们的积。例如，781x999=780219，396x999=395604。
28、线性规划问题
29、运用基本不等式求最值要注意：一正二定三相等！
30、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.
31、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：
32、函数零点的求法：
33、开放型创新题：答案不，或是逻辑推理题，以及解答题中的开放型试题的考查，都是重点,理科13，文科14题。
34、“相等”关系：A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）
35、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.
36、函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想;
37、注意下列性质：
38、你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
39、求函数的定义域有哪些常见类型？
40、求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
41、反函数存在的条件是什么？
42、反函数的性质有哪些？
43、二次函数根的问题——一题多解
44、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称
45、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.
46、善于用“1“巧解题
47、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
48、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数．
49、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。
50、函数的模型
数学必修一知识点 50句菁华扩展阅读
数学必修一知识点 50句菁华（扩展1）
——数学必修一知识点 40句菁华
1、二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
2、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3、用待定系数法求二次函数的解析式
4、集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太*洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
5、值域 : 先考虑其定义域
6、*移变换
7、函数的解析表达式
8、集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法
9、补集：CUA={x|xA但x∈U}
10、集合A={x|x2+x-6=0},B={x|ax+1=0},若BA，则a=__________
11、已知集合，B=，若，且求实数a，b的值。
12、函数的周期性
13、判断对应是否为映射时，抓住两点：
14、处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
15、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等。
16、*面的基本性质：
17、*面与*面垂直
18、先看笔记后做作业。
19、二分法
20、已知α为锐角,且,则α的度数是A.30°B.45°C.60°D.90°
21、运用基本不等式求最值要注意：一正二定三相等！
22、★★两种题型：
23、函数零点的求法：
24、二次函数的零点：
25、导数知识：导数的考查还是以理科19题，文科20题的形式给出，从常见函数入手，导数工具作用(切线和单调性)的考查，综合性强，能力要求高;往往与公式、导数往往与参数的讨论联系在一起，考查转化与化归能力，但今年的难点整体偏低。
26、开放型创新题：答案不，或是逻辑推理题，以及解答题中的开放型试题的考查，都是重点,理科13，文科14题。
27、列举法：{a，b，c……}
28、“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
29、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.
30、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
31、反函数的性质有哪些？
32、如何用定义证明函数的单调性？
33、如何利用导数判断函数的单调性？
34、你熟悉周期函数的定义吗？
35、△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点。
36、“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)
37、函数定义域、值域求法综合
38、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称
39、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称
40、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。
数学必修一知识点 50句菁华（扩展2）
——必修一知识点总结 40句菁华
1、组成生物体的基本元素：C元素。(碳原子间以共价键构成的碳链，碳链是生物构成生物大分子的基本骨架，称为有机物的碳骨架。)
2、研究细胞膜的常用材料：人或哺乳动物成熟红细胞
3、细胞膜功能：
4、蓝藻是原核生物，自养生物
5、细胞学说建立者是施莱登和施旺，细胞学说建立揭示了细胞的统一性和生物体结构的统一性。细胞学说建立过程，是一个在科学探究中开拓、继承、修正和发展的过程，充满耐人寻味的曲折。
6、水存在形式运送营养物质及代谢废物
7、细胞膜主要由脂质和蛋白质，和少量糖类组成，脂质中磷脂最丰富，功能越复杂的细胞膜，蛋白质种类和数量越多;细胞膜基本支架是磷脂双分子层;细胞膜具有一定的流动性和选择透过性。
8、细胞膜、核膜、细胞器膜共同构成细胞的生物膜系统，它们在结构和功能上紧密联系，协调。
9、本质：活细胞产生的有机物，绝大多数为蛋白质，少数为RNA
10、空气中CO2浓度，土壤中水分多少，光照长短与强弱，光的成分及温度高低等，都是影响光合作用强度的外界因素：可通过适当延长光照，增加CO2浓度等提高产量。
11、自养生物：可将CO2、H2O等无机物合成葡萄糖等有机物，如绿色植物，硝化细菌(化能合成)
12、细胞表面积与体积关系限制了细胞的长大，细胞增殖是生物体生长、发育、繁殖遗传的基础。
13、真核细胞的分裂方式减数分裂：生殖细胞(**，卵细胞)增殖
14、细胞内水分减少，新陈代谢速率减慢
15、明朝产生
16、首倡商鞅变法，为后来的朝代所推崇。
17、摩尔(mol):把含有6、02×1023个粒子的任何粒子集体计量为1摩尔。
18、物质的量=物质所含微粒数目/阿伏加德罗常数n=N/NA
19、物质的量=物质的质量/摩尔质量(n=m/M)
20、物质的量=气体的体积/气体摩尔体积n=V/Vm
21、物质的量浓度、
22、溶液稀释：C(浓溶液)?V(浓溶液)=C(稀溶液)?V(稀溶液)
23、物质之间可以发生各种各样的化学变化，依据一定的标准可以对化学变化进行分类。
24、离子反应
25、氧化还原反应中概念及其相互关系如下：
26、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
27、△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.
28、△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.
29、在低倍镜下找到物象，将物象移至（视野中央）
30、高倍镜：物象（大），视野（暗），看到细胞数目（少）。
31、物镜：（有）螺纹，镜筒越（长），放大倍数越大。
32、圆行视野范围细胞的数量的变化可根据视野范围与放大倍数的*方成反比计算
33、生物体生命活动的物质基础是：组成生物体的各种化学元素和化合物。
34、大量元素： C、H、O、N、P、S、K、Ca、Mg
35、自然界中含量最多的元素是O;占人体细胞干重最多的元素是C， 占细胞鲜重最多的元素是O。
36、斐林试剂要现配现用,必须将甲液(0.1g/ml的NaOH)和乙液(0.05g/ml的CuSO4)先等量混匀后使用;
37、蛋白质的组成元素：C、H、O、N; S是蛋白质的特征元素。
38、组成蛋白质的氨基酸约有20种，其中必需氨基酸有8种(即不能在人体和动物体的细胞内合成，只能从食物中获得的氨基酸，有赖氨酸、色氨酸、苯丙氨酸、亮氨酸、异亮氨酸、苏氨酸、甲硫氨酸、缬氨酸)和12种非必需氨基酸(即在人体和动物体内通过氨基转换作用合成的氨基酸)。
39、用待定系数法求二次函数的解析式
40、从意识的本质来看，意识是客观存在在人脑中的反映。
数学必修一知识点 50句菁华（扩展3）
——生物必修一知识点 40句菁华
1、生物（如沙漠中仙人掌）鲜重中，含量最多化合物为水，干重中含量最多的
2、氨基酸结合方式是脱水缩合：一个氨基酸分子的羧基（—COOH）与另一个氨基酸分子的氨基（—NH2）相连接，同时脱去一分子水，如图：
3、多糖，蛋白质，核酸等都是生物大分子，组成单位依次为：单糖、氨基酸、核苷酸。
4、细胞膜主要由脂质和蛋白质，和少量糖类组成，脂质中磷脂最丰富，功能越复杂的细胞膜，蛋白质种类和数量越多；细胞膜基本支架是磷脂双分子层；细胞膜具有一定的流动性和选择通过性。将细胞与外界环境分隔开
5、植物细胞的细胞壁成分为纤维素和果胶，具有支持和保护作用
6、细胞膜和其他生物膜都是选择通过性膜，这种膜可以让水分子自由通过，一些离子和小分子也可以通过，而其他离子，小分子和大分子则不能通过。
7、细胞呼吸：有机物在细胞内经过一系列氧化分解，生成CO2或其他产物，释放能量并生成ATP过程
8、研究细胞膜的常用材料：人或哺乳动物成熟红细胞
9、酶：是活细胞(来源)所产生的具有催化作用(功能：降低化学反应活化能，提高化学反应速率)的一类有机物。
10、1926年，美国科学家萨姆纳通过化学实验证明脲酶是一种蛋白质;
11、高效性：催化效率比无机催化剂高许多;
12、专一性：每种酶只能催化一种或一类化合物的化学反应;
13、呼吸作用(也叫细胞呼吸)：指有机物在细胞内经过一系列的氧化分解，最终生成二氧化碳或其它产物，释放出能量并生成ATP的过程。
14、无氧呼吸：一般是指细胞在无氧的条件下，通过酶的催化作用，把葡萄糖等有机物分解为不彻底的氧化产物(酒精、CO2或乳酸)，同时释放出少量能量的过程。
15、粮油种子贮藏时，要风干、降温，降低氧气含量，则能抑制呼吸作用，减少有机物消耗。
16、组成生物体的基本元素：C元素。(碳原子间以共价键构成的碳链，碳链是生物构成生物大分子的基本骨架，称为有机物的碳骨架。)
17、内质网：由膜结构连接而成的网状物。是细胞内蛋白质合成和加工，以及脂质合成的“车间”
18、中心体：每个中心体含两个中心粒，呈垂直排列，存在于动物细胞和低等植物细胞，与细胞的有丝分裂有关。
19、染色质：由DNA和蛋白质组成，染色质和染色体是同样物质在细胞不同时期的两种存在状态。
20、核膜：双层膜，把核内物质与细胞质分开。
21、核仁：与某种RNA的合成以及核糖体的形成有关。
22、基因型是性状表现的内存因素，而表现型则是基因型的表现形式。表现型=基因型+环境条件。
23、减数分裂的结果是，新产生的生殖细胞中的染色体数目比原始的生殖细胞的减少了一半。
24、减数分裂过程中染色体数目的减半发生在减数第一次分裂中。
25、DNA的双螺旋结构：DNA的双螺旋结构，脱氧核糖与磷酸相间排列在外侧，形成两条主链(反向*行)，构成DNA的基本骨架。两条主链之间的横档是碱基对，排列在内侧。相对应的两个碱基通过氢键连结形成碱基对，DNA一条链上的碱基排列顺序确定了，根据碱基互补配对原则，另一条链的碱基排列顺序也就确定了。
26、DNA的复制：
27、DNA复制的计算规律：每次复制的子代DNA中各有一条链是其上一代DNA分子中的，即有一半被保留。一个DNA分子复制n次则形成2n个DNA，但含有最初母链的DNA分子有2个，可形成2ⅹ2n条脱氧核苷酸链，含有最初脱氧核苷酸链的有2条。子代DNA和亲代DNA相同，假设x为所求脱氧核苷酸在母链的数量，形成新的DNA所需要游离的脱氧核苷酸数为子代DNA中所求脱氧核苷酸总数2nx减去所求脱氧核苷酸在最初母链的数量x。
28、核酸种类的判断：首先根据有T无U，来确定该核酸是不是DNA，又由于双链DNA遵循碱基互补配对原则：A=T，G=C，单链DNA不遵循碱基互补配对原则，来确定是双链DNA还是单链DNA。
29、致癌因素与癌症的预防：癌细胞的产生是内外因素共同作用的结果
30、植物细胞的吸水和失水
31、细胞膜是一层选择通过性膜，水分子可以自由通过，一些离子和小分子也可以通过，而其他的离子、小分子和大分子则不能通过。
32、学好生物要先背会教材
33、生物要计算的是遗传题
34、组成细胞(生物界)和无机自然界的化学元素种类大体相同，含量不同
35、(1)还原糖(葡萄糖、果糖、麦芽糖)可与斐林试剂反应生成砖红色沉淀;脂肪可苏丹III染成橘黄色(或被苏丹IV染成红色);淀粉(多糖)遇碘变蓝色;蛋白质与双缩脲试剂产生紫色反应。
36、酶的概念：酶是活细胞产生的具有催化作用的有机物，绝大多数是蛋白质，少数是RNA。
37、酶浓度
38、温度：高温使酶失活。低温降低酶的活性，在适宜温度下酶活性可以恢复。
39、比较过氧化氢酶在不同条件下的分解（过程见课本P79）
40、影响酶活性的条件（要求用控制变量法，自己设计实验）
数学必修一知识点 50句菁华（扩展4）
——高一政治必修一知识点总结 40句菁华
1、劳动和就业的重要性。(1)劳动是劳动者的脑力和体力的支出，是物质财富和精神财富的创造活动。劳动者是生产过程的主体，在生产力发展中起主导作用。劳动是人类文明进步发展的源泉。光荣属于劳动者。
2、我国严峻的就业压力。①我国的人口总量和劳动力总量都比较大，而生产力发展水*比较低;②劳动力素质与社会经济发展的需要不完全适应;③劳动力市场不完善，就业信息传递系统不畅通。所有这些，使得我国的就业问题比任何一个国家都突出、繁重和紧迫。
3、企业兼并的意义：
4、就业的意义：
5、公民行使监督权的合法渠道：（注：每种渠道的意义）
6、我国*的性质：
7、*自觉接受监督，建设法治*。
8、如何接收人民监督？
9、外汇和汇率：
10、影响价格的因素：
11、价值规律的内容和表现形式。
12、对生产经营的影响
13、影响消费的因素：
14、供求影响价格
15、商品价值量由社会必要劳动时间决定
16、相关商品的价格变动对需求量的影响
17、流通中所需要的货币量的计算公式。
18、外汇：外汇是用外币表示的用于国际间结算的支付手段。
19、汇率变化对经济的影响：(即：货币升值和贬值的利弊分析)
20、从意识的本质来看，意识是客观存在在人脑中的反映。
21、生产力和生产关系的相互关系
22、信息化与工业化的关系
23、商品的含义？商品的基本属性？
24、我国为什么要保持人民币币值稳定？
25、价格和价值的关系？
26、影响消费的因素有哪些？
27、绿色消费的含义？特征？
28、为什么坚持勤俭节约，艰苦奋斗？
29、我国社会主义初级阶段的基本经济制度是什么？
30、我国初级阶段的分配制度是什么？
31、财政的巨大作用有哪些？
32、市场调节不是万能的：
33、基本特征：①坚持公有制的主体地位.这是社会主义市场经济的基本标志.
34、企业的含义：企业是市场经济活动的主要参加者，是国民经济的细胞。它是以营利为目的而从事生产经营活动，向社会提供商品或服务的经济组织。
35、企业组织形式：
36、结算方式
37、保持人民币币值稳定
38、对人民生活的影响：①一般说来，价格上升，购买减少;价格下降，购买增加。
39、收入对消费的影响：收入是消费的前提和基础
40、影响价格的因素如气候、时间、地域、生产等，甚至宗教信仰、*俗等文化因素也能对价格产生影响，但这些因素对价格的影响都是通过改变该商品的供求关系来实现的。
数学必修一知识点 50句菁华（扩展5）
——数学必修四知识点菁选
数学必修四知识点15篇
上学期间，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。哪些才是我们真正需要的知识点呢？下面是小编为大家收集的数学必修四知识点，希望能够帮助到大家。
基本初等函数有哪些
基本初等函数包括以下几种：
(1)常数函数y = c( c为常数)
(2)幂函数y = x^a( a为常数)
(3)指数函数y = a^x(a>0, a≠1)
(4)对数函数y =log(a) x(a>0, a≠1，真数x>0)
(5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数：y =sinx反正弦函数：y = arcsin x等)
基本初等函数性质是什么
幂函数
形如y=x^a的函数，式中a为实常数。
指数函数
形如y=a^x的函数，式中a为不等于1的正常数。
对数函数
指数函数的反函数，记作y=loga a x，式中a为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之间成立关系式，loga ax=x。
三角函数
即正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx，正切函数y=tanx，余切函数y=cotx，正割函数y=secx，余割函数y=cscx(见三角学)。
反三角函数
三角函数的反函数——反正弦函数y = arc sinx，反余弦函数y=arc cosx (-1≤x≤1，初等函数0≤y≤π)，反正切函数y=arc tanx，反余切函数y = arc cotx(-∞ 学*数学小窍门 建立数学纠错本。 把*时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 限时训练。 可以找一组题(比如10道选择题)，争取限定一个时间完成;也可以找1道大题，限时完成。这主要是创设一种考试情境，检验自己在紧张状态下的思维水*。 调整心态，正确对待考试。 首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。 数学函数的值域与最值知识点 1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下： (1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域. (2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元. (3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧. (6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的`区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0，16]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值. 一)两角和差公式(写的都要记) sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA? cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 二)用以上公式可推出下列二倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2 (上面这个余弦的很重要) sin2A=2sinA_osA 三)半角的只需记住这个： tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 四)用二倍角中的余弦可推出降幂公式 (sinA)^2=(1-cos2A)/2 (cosA)^2=(1+cos2A)/2 五)用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式 1-cosA=sin^(A/2)_ 1-sinA=cos^(A/2)_ a(1)=a,a(n)为公差为r的等差数列 通项公式： a(n)=a(n-1)+r=a(n-2)+2r=...=a[n-(n-1)]+(n-1)r=a(1)+(n-1)r=a+(n-1)r. 可用归纳法证明。 n=1时，a(1)=a+(1-1)r=a。成立。 假设n=k时，等差数列的通项公式成立。a(k)=a+(k-1)r 则，n=k+1时，a(k+1)=a(k)+r=a+(k-1)r+r=a+[(k+1)-1]r. 通项公式也成立。 因此，由归纳法知，等差数列的通项公式是正确的。 求和公式： S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+(a+r)+...+[a+(n-1)r] =na+r[1+2+...+(n-1)] =na+n(n-1)r/2 同样，可用归纳法证明求和公式。 a(1)=a,a(n)为公比为r(r不等于0)的等比数列 通项公式： a(n)=a(n-1)r=a(n-2)r^2=...=a[n-(n-1)]r^(n-1)=a(1)r^(n-1)=ar^(n-1). 可用归纳法证明等比数列的通项公式。 求和公式： S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+ar+...+ar^(n-1) =a[1+r+...+r^(n-1)] r不等于1时， S(n)=a[1-r^n]/[1-r] r=1时， S(n)=na. 同样，可用归纳法证明求和公式。 必修四数学学*方法 掌握数学学*实践阶段:在高中数学学*过程中,我们需要使用正确的学*方法,以及科学合理的学*规则。先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法,曾经说过,尤其是高阶段的数学学*数学,必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。与教学内容的第一周甚至是从基础开始,一周后的头几天,在教学难以提升。以及提升的困难进步一步一步,最好不要去追求所谓的“困难”除了(感兴趣),不利于解决问题方法掌握连续性。同时,根据时间和课程安排的长度适当的.审查,只有这样才能记住和使用在长期学*数学知识,不要忘记前面的学*。 必修四数学学*技巧 重视改错错不重犯。 一定要重视改错的这份工作，做到错不再犯。初中数学教学中采用的方法是告诉学生所有可能的错误，只要有一个人犯了错误，就应该提出，以便所有的学生都能从中吸取教训。这叫“一人有病，全体吃药。” 高中数学课没有那么多时间，除了一小部分那几种典型错，其它错误，不能一一顾及。只能谁有病，谁吃药。如果学生“生病”而忘了吃药，那么没有人会一次又一次地提醒他要注意什么。如果能及时改错，那么错误就可能转变为财富，成为预防针。但是，如果不能及时改错，这个错误就将形成一处“地雷”，迟早要惹祸。 有的学生认为，自己考试成绩上不去，是因为太粗心。其实，原因并非如此。打一个比方。比如说，学*开汽车。右脚下面，往左踩，是踩刹车。往右踩，是踩油门。其机械原理，设计原因，操作规程都可以讲的清清楚楚。如果初学驾驶的人真正掌握了这一套，请问，可以同意他开车上路吗?恐怕他知道他还缺乏练*。一两次你能正确地完成任务，但这并不意味着你永远不会犯错误。练*的数量不够，才是学生出错的真正原因。大家一定要看到，如果自己的基础知识漏洞百出、隐患无穷，那么，今后的数学将是难以学好的。 1.向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。 2.规定若线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。具有方向和长度的线段叫做有向线段。 3.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。 注：向量的模是非负实数，是可以比较大小的。因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。 4.单位向量：长度为一个单位(即模为1)的向量，叫做单位向量.与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0。 5.长度为0的.向量叫做零向量，记作0。零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。 向量的计算 1.加法 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2.减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0 加减变换律：a+(-b)=a-b 3.数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作θ并规定0≤θ≤π 向量的数量积的运算律 a·b=b·a(交换律) (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律) (a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 向量的数量积的性质 a·a=|a|的*方。 a⊥b〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|) 高中学好数学的方法是什么 数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。 数学要想学好，不琢磨是行不通的，遇到难题不能躲，研究明白了才能罢休。 数学最主要的就是解题过程，懂得数学思维很关键，思路通了，数学自然就会了。 数学不是用来看的，而是用来算的，或许这一秒没思路，当你拿起笔开始计算的那一秒，就豁然开朗了。 数学题目不会做，原因之一就是例题没研究明白，所以数学书上的例题绝对不要放过。 数学函数的奇偶性知识点 1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。 问题提出 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量,如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系. 在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好,那么你的物理学*就不会有什么大问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系,我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量,那么这两个变量之间的关系是函数关系吗? 我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少,学*兴趣、学*时间、教学水*等,也是影响物理成绩的一些因素,但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系,有必要从理论上作些探讨,如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计,将有着非常重要的现实意义. 知识探究(一)：变量之间的相关关系 思考1:考察下列问题中两个变量之间的关系: (1)商品销售收入与广告支出经费; (2)粮食产量与施肥量; (3)人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗? 思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水*越高，学生的水*就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水*之间的关系是函数关系吗?你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗? 思考3:上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系,称之为相关关系,那么相关关系的含义如何? 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系. 1、球的体积和球的半径具有() A函数关系B相关关系 C不确定关系D无任何关系 2、下列两个变量之间的关系不是 函数关系的是() A角的度数和正弦值 B速度一定时，距离和时间的关系 C正方体的棱长和体积 D日照时间和水稻的亩产量AD练:知识探究(二)：散点图 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本*均数. 思考1:对某一个人来说,他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少,但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据,大体上看,随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化? 思考2:为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系,我们需要对数据进行分析,通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含量,你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗? 思考3：上图叫做散点图，你能描述一下散点图的含义吗? 在*面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图. 思考4:观察散点图的大致趋势,人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系? 思考5：在上面的散点图中,这些点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.一般地,如果两个变量成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何? 思考6：如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何?其散点图有什么特点? 一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关，类似于函数的单调性. 知识探究(一)：回归直线 思考1:一组样本数据的*均数是样本数据的中心,那么散点图中样本点的中心如何确定?它一定是散点图中的点吗? 思考2:在各种各样的散点图中,有些散点图中的点是杂乱分布的,有些散点图中的`点的分布有一定的规律性,年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点? 这些点大致分布在一条直线附*. 思考3:如果散点图中的点的分布,从整体上看大致在一条直线附*,则称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.对具有线性相关关系的两个变量,其回归直线一定通过样本点的中心吗? 思考4:对一组具有线性相关关系的样本数据,你认为其回归直线是一条还是几条? 思考5:在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线?借助计算机怎样画出回归直线? 知识探究(二)：回归方程 在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计. 思考1：回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系? 整体上最接* 思考2:对于求回归直线方程，你有哪些想法? 思考4：为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接*程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适%某小卖部为了了解热茶销售量与气温 之间的关系，随机统计并制作了某6天 卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 如果某天的气温是-50C，你能根据这些 数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗? 实例探究 为了了解热茶销量与 气温的大致关系,我们 以横坐标x表示气温， 纵坐标y表示热茶销量， 建立直角坐标系.将表 中数据构成的6个数对 表示的点在坐标系内 标出，得到下图。 你发现这些点有什么规律? 今后我们称这样的图为散点图(scatterplot). 建构数学 所以,我们用类似于估计*均数时的 思想,考虑离差的*方和 当x=-5时，热茶销量约为66杯 线性回归方程： 一般地,设有n个观察数据如下：当a,b使三点(3,10),(7,20),(11,24)的 线性回归方程是() 二、求线性回归方程 例2：观察两相关变量得如下表： 求两变量间的回归方程解1：列表： 阅读课本P73例1 EXCEL作散点图 利用线性回归方程解题步骤： 1、先画出所给数据对应的散点图; 2、观察散点，如果在一条直线附*，则说明所给量具有线性相关关系 3、根据公式求出线性回归方程，并解决其他问题。 (1)如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值;(2)分别说明以上两个模型是确定性 模型还是随机模型. 模型1：y=6+4x;模型2：y=6+4x+ 解(1)模型1：y=6+4x=6+4×3=18; 模型2：y=6+4x+e=6+4×3+线性相关与线性回归方程小结1、变量间相关关系的散点图 2、如何利用“最小二乘法”思想求直线的回归方程 3、学会用回归思想考察现实生活中变量之间的相关关系 一】 a（1）=a，a（n）为公差为r的等差数列 通项公式： a（n）=a（n—1）+r=a（n—2）+2r=...=a[n—（n—1）]+（n—1）r=a（1）+（n—1）r=a+（n—1）r。 可用归纳法证明。 n=1时，a（1）=a+（1—1）r=a。成立。 假设n=k时，等差数列的通项公式成立。a（k）=a+（k—1）r 则，n=k+1时，a（k+1）=a（k）+r=a+（k—1）r+r=a+[（k+1）—1]r。 通项公式也成立。 因此，由归纳法知，等差数列的通项公式是正确的。 求和公式： S（n）=a（1）+a（2）+...+a（n） =a+（a+r）+...+[a+（n—1）r] =na+r[1+2+...+（n—1）] =na+n（n—1）r/2 同样，可用归纳法证明求和公式。 a（1）=a，a（n）为公比为r（r不等于0）的等比数列 通项公式： a（n）=a（n—1）r=a（n—2）r^2=...=a[n—（n—1）]r^（n—1）=a（1）r^（n—1）=ar^（n—1）。 可用归纳法证明等比数列的通项公式。 求和公式： S（n）=a（1）+a（2）+...+a（n） =a+ar+...+ar^（n—1） =a[1+r+...+r^（n—1）] r不等于1时， S（n）=a[1—r^n]/[1—r] r=1时， S（n）=na。 同样，可用归纳法证明求和公式。 二】 符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。 轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）。 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标； ⒉写出点M的集合； ⒊列出方程=0； ⒋化简方程为最简形式； ⒌检验。 二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的.轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 译法：求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系； ②设点——设轨迹上的任一点P（x，y）； ③列式——列出动点p所满足的关系式； ④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简； ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 高考数学必修四学*方法 1、先看笔记后做作业。 有的同学感到，老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是为什么你这么做有那么多困难呢？原因是学生对教师所说的理解没有达到教师要求的水*。 因此，每天做作业之前，我们必须先看一下课本的相关内容和当天的课堂笔记。能否如此坚持，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其是当练*不匹配时，老师通常没有刚刚讲过的练*类型，因此它们不能被比较和消化。如果你不重视这个实施，在很长一段时间内，会造成很大的损失。 2、做题之后加强反思。 学生一定要明确，现在正做着的题，一定不是考试的题目。但使用现在做主题的解决问题的思路和方法。因此，我们应该反思我们所做的每一个问题，并总结我们自己的收获。 要总结出：这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串。日复一日，建立科学的网络系统的内容和方法。俗话说：有钱难买回头看。做完作业，回头细看，价值极大。这一回顾，是学*过程中一个非常重要的环节。 高考数学必修四学*技巧 1、科学的预*方法 预*中发现的难点，就是听课的重点；对预*中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减听课过程中的困难；有助于提高思维能力，预*后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水*；预*后将课本的例题及老师要讲授的*题提前完成，还可以培养自己的自学能力，与老师的方法进行比较，可以发现更多的方法与技巧。总之，这样会使你的听课更加有的放矢，你会知道哪些该重点听，哪些该重点记。 2、科学的听课方式 听课的过程不是一个被动参预的过程，要全身心地投入课堂学*，耳到、眼到、心到、口到、手到。还要想在老师前面，不断思考：面对这个问题我会怎么想？当老师讲解时，又要思考：老师为什么这样想？这里用了什么思想方法？这样做的目的是什么？这个题有没有更好的方法？问题多了，思路自然就开阔了。 3、科学的记录笔记 记问题——将课堂上未听懂的问题及时记下来，便于课后请教同学或老师，把问题弄懂弄通。 记疑点——对老师在课堂上讲的内容有疑问应及时记下，这类疑点，有可能是自己理解错造成的，也有可能是老师讲课疏忽大意造成的，记下来后，便于课后与老师商榷。 记方法——勤记老师讲的解题技巧、思路及方法，这对于启迪思维，开阔视野，开发智力，培养能力，并对提高解题水*大有益处。 记总结——注意记住老师的课后总结，这对于浓缩一堂课的内容，找出重点及各部分之间的联系，掌握基本概念、公式、定理，寻找存在问题、找到规律，融会贯通课堂内容都很有作用。 初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。非初等函数是指凡不是初等函数的函数。 初等函数是最常用的一类函数，包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(以上是基本初等函数)，以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数，称为初等函数。 非初等函数的研究与发展是*现代数学的重大成就之一，极大拓展了数学在各个领域的应用，在概率论、物理学科各个分支中等有十分广泛的应用。是函数的一个重要的分支。一般说来，大部分分段函数不是初等函数。如符号函数，狄利克雷函数，gamma函数，误差函数，Weierstrass函数。但是个别分段函数除外。 1、指数函数：函数y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数 a的取值a>1 0 定义域x∈R x∈R 值域y∈(0，+∞) y∈(0，+∞) 单调性全定义域单调递增全定义域单调递减 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 过定点(0,1) (0,1) 注意：⑴由函数的单调性可以看出，在闭区间[a,b]上，指数函数的最值为： a>1时，最小值f(a)，最大值f(b);0 ⑵对于任意指数函数y=ax (a>0且a≠1)，都有f(1)=a。 2、对数函数：函数y=logax(a>0且a≠1))，叫做对数函数 a的取值a>1 0 定义域x∈(0，+∞) x∈(0，+∞) 值域y∈R y∈R 单调性全定义域单调递全定义域单调递减 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 过定点(1,0) (1,0) 3、幂函数：函数y=xa(a∈R)，高中阶段，幂函数只研究第I象限的情况。 ⑴所有幂函数都在(0，+∞)区间内有定义，而且过定点(1,1)。 ⑵a>0时，幂函数图像过原点，且在(0，+∞)区间为增函数，a越大，图像坡度越大。 ⑶a<0时，幂函数在(0，+∞)区间为减函数。 当x从右侧无限接*原点时，图像无限接*y轴正半轴; 当y无限接*正无穷时，图像无限接*x轴正半轴。 幂函数总图见下页。 4、反函数：将原函数y=f(x)的x和y互换即得其反函数x=f-1(y)。 反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。 数学函数的奇偶性知识点 1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的`定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。 学数学的用处 第一，实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。就大多数情况来看，不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动，能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。 第二，数学可以使你的大脑变得更加聪明，增加你思维的严谨性，另外，数学对你其它科目的学*也有很大作用。 第三，数学无处不在，工作学*中都用得着，例如日常逛街买东西都是和数学有关的，这时候才能体会到学*数学的好处。 【公式一】 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ+α）=sinα（k∈Z） cos（2kπ+α）=cosα（k∈Z） tan（2kπ+α）=tanα（k∈Z） cot（2kπ+α）=cotα（k∈Z） 【公式二】 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的'关系： sin（π+α）=—sinα cos（π+α）=—cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα 【公式三】 任意角α与—α的三角函数值之间的关系： sin（—α）=—sinα cos（—α）=cosα tan（—α）=—tanα cot（—α）=—cotα 【公式四】 利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的关系： sin（π—α）=sinα cos（π—α）=—cosα tan（π—α）=—tanα cot（π—α）=—cotα 【公式五】 利用公式一和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π—α）=—sinα cos（2π—α）=cosα tan（2π—α）=—tanα cot（2π—α）=—cotα 复数的概念： 形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 复数的表示： 复数通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 复数的几何意义： （1）复*面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi（a、b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的*面叫做复*面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 （2）复数的几何意义：复数集C和复*面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复*面内惟一的一个点和它对应；反过来，复*面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 复数的模： 复数z=a+bi（a、b∈R）在复*面上对应的点Z（a，b）到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 虚数单位i： （1）它的*方等于—1，即i2=—1； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 （3）i与—1的关系：i就是—1的一个*方根，即方程x2=—1的一个根，方程x2=—1的另一个根是—i。 （4）i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=—1，i4n+3=—i，i4n=1。 复数模的性质： 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数a+bi（a、b∈R），当且仅当b=0时，复数a+bi（a、b∈R）是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d。特殊地，a，b∈R时，a+bi=0 a=0，b=0。 复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。 复数相等特别提醒： 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小，也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 解复数相等问题的方法步骤： （1）把给的复数化成复数的标准形式； （2）根据复数相等的充要条件解之。 数学学*技巧 1、做好预*： 单元预*时粗读，了解*阶段的学*内容，课时预*时细读，注重知识的形成过程，对难以理解的`概念、公式和法则等要做好记录，以便带着问题听课。 2、认真听课： 听课应包括听、思、记三个方面。听，听知识形成的来龙去脉，听重点和难点，听例题的解法和要求。思，一是要善于联想、类比和归纳，二是要敢于质疑，提出问题。记，指课堂笔记——记方法，记疑点，记要求，记注意点。 3、认真解题： 课堂练*是最及时最直接的反馈，一定不能错过。不要急于完成作业，要先看看你的笔记本，回顾学*内容，加深理解，强化记忆。 4、及时纠错： 课堂练*、作业、检测，反馈后要及时查阅，分析错题的原因，必要时强化相关计算的训练。不明白的问题要及时向同学和老师请教了，不能将问题处于悬而未解的状态，养成今日事今日毕的好*惯。 数学中的合数是什么意思？ 合数的概念 合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。 什么是质数 质数又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。 根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。 质数和合数应用 1、质数与密码学：所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。 2、质数与变速箱：在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。 解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 数列 (1)数列的概念和简单表示法 ①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). ②了解数列是自变量为正整数的一类函数. (2)等差数列、等比数列 ①理解等差数列、等比数列的概念. ②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式. ③能在具体的.问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. ④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 正弦函数 主词条：正弦函数。 格式：sin（θ）。 作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数。 函数图像：波形曲线。 值域：-1~1。 余弦函数 主词条：余弦函数。 格式：cos（θ）。 作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数。 函数图像：波形曲线。 值域：-1~1。 正切函数 主词条：正切函数。 格式：tan（θ）。 作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。 函数图像：右图*面直角坐标系反映。 值域：-∞~∞。 余切函数 主词条：余切函数。 格式：cot（θ）。 作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数。 函数图像：右图*面直角坐标系反映。 值域：-∞~∞。 正割函数 主词条：正割函数。 格式：sec（θ）。 作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数。 函数图像：右图*面直角坐标系反映。 值域：≥1或≤-1。 余割函数 主词条：余割函数。 格式：csc（θ）。 作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数。 函数图像：右图*面直角坐标系反映。 值域：≥1或≤-1。 学数学的用处 第一，实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。就大多数情况来看，不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动，能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。 第二，数学可以使你的大脑变得更加聪明，增加你思维的严谨性，另外，数学对你其它科目的学*也有很大作用。 第三，数学无处不在，工作学*中都用得着，例如日常逛街买东西都是和数学有关的，这时候才能体会到学*数学的好处。 数学函数的解析式与定义域知识点 1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型： （1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑； （2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可。如： ①分式的分母不得为零； ②偶次方根的被开方数不小于零； ③对数函数的'真数必须大于零； ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； ⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。 应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）。 （3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可。 已知f（x）的定义域是[a，b]，求f[g（x）]的定义域是指满足a≤g（x）≤b的x的取值范围，而已知f[g（x）]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f（x）的定义域，即g（x）的值域。 2、求函数的解析式一般有四种情况 （1）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式。 （2）有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法。比如函数是一次函数，可设f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可。 （3）若题设给出复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法求函数f（x）的表达式，这时必须求出g（x）的值域，这相当于求函数的定义域。 （4）若已知f（x）满足某个等式，这个等式除f（x）是未知量外，还出现其他未知量（如f（-x），等），必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f（x）的表达式。 不等式 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式 ①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ②了解二元一次不等式的几何意义,能用*面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的`二元线性规划问题,并能加以解决. (4)基本不等式： ①了解基本不等式的证明过程. ②会用基本不等式解决简单的(小)值问题圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 一、两个定理 1、共线向量定理： 两向量共线(*行)等价于两个向量满足数乘关系(与实数相乘的向量不是零向量)，且数乘系数唯一。用坐标形式表示就是两向量共线则两向量坐标的“内积等于外积”。此定理可以用来证向量*行或者使用向两*行的条件。此定理的延伸是三点共线!三点共线可以向两个向量的等式转化：1.三个点中任意找两组点构成的两个向量共线，满足数乘关系;2.以同一个点为始点、三个点为终点构造三个向量，其中一个可由另外两个线性表示，且系数和为1。 2、*面向量基本定理： *面内两个不共线的向量可以线性表示任何一个向量，且系数唯一。这两个不共线的向量构成一组基底，这两个向量叫基向量。此定理的作用有两个：1.可以统一题目中向量的形式;2.可以利用系数的唯一性求向量的系数(固定的算法模式)。 二、三种形式 *面向量有三种形式，字母形式、几何形式、坐标形式。字母形式要注意带箭头，多考虑几何形式画图解题，特别是能得到特殊的三角形和四边形的情况，向量的坐标和点的坐标不要混淆，向量的坐标是其终点坐标减始点坐标，特殊情况下，若始点在原点，则向量的坐标就是终点坐标。 选择合适的向量形式解决问题是解题的一个关键，优先考虑用几何形式画图做，然后是坐标形式，最后考虑字母形式的变形运算。 三、四种运算 加、减、数乘、数量积。前三种运算是线性运算，结果是向量(0乘以任何向量结果都是零向量，零向量乘以任何实数都是零向量);数量积不是线性运算，结果是实数(零向量乘以任何向量都是0)。线性运算符合所有的实数运算律，数量积不符合消去律和结合律。 向量运算也有三种形式：字母形式、几何形式和坐标形式。 加减法的字母形式注意首尾相接和始点重合。数量积的字母形式公式很重要，要能熟练灵活的使用。 加减法的几何意义是*行四边形和三角形法则，数乘的几何意义是长度的伸缩和方向的共线，数量积的几何意义是一个向量的模乘以另一个向量在第一个向量方向上的射影的数量。向量的夹角用尖括号表示，是两向量始点重合或者终点重合时形成的角，首尾相接形成的角为向量夹角的补角。射影数量有两种求法：1.向量的模乘以夹角余弦;2.两向量数量积除以另一向量的模。 加减法的坐标形式是横纵坐标分别加减，数乘的坐标形式是实数乘以横、纵坐标，数量积的坐标形式是横坐标的乘积加纵坐标的乘积。 四、五个应用 求长度、求夹角、证垂直、证*行、向量和差积的模与模的和差积的关系。前三个应用是数量积的运算性质，证*行的数乘运算性质，零向量不能说和哪个向量方向相同或相反，规定零向量和任意向量都*行且都垂直;一个向量乘以自己再开方就是长度;两个向量数量积除以模的乘积就是夹角的余弦;两个向量满足数乘关系则必定共线(*行)。一个向量除以自己的模得到和自己同方向的单位向量，加符号是反方向的单位向量 数学函数的值域与最值知识点 1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下： (1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域. (2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元. (3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧. (6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的'几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0，16]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值. 1、*面向量基本概念 有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB； 向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|； 零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的.，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）； 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量； *行向量（共线向量）：两个方向相同或相反的非零向量叫做*行向量或共线向量，零向量与任意向量*行，即0//a； 单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示，*行于坐标轴的单位向量*惯上分别用i、j表示。 相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，—（—a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。 2、*面向量运算 加法与减法的代数运算： （1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2）则a b=（x1+x2，y1+y2）。 向量加法与减法的几何表示：*行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律：+ = +（交换律）；+（+c）=（+）+c（结合律）； 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。 （1）| |=| |·| |； （2）当a>0时，与a的方向相同；当a<0时，与a的方向相反；当a=0时，a=0。 两个向量共线的充要条件： （1）向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= 。 （2）若=（），b=（）则‖b 。 3、*面向量基本定理 若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量，那么对于这一*面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得= e1+ e2。 4、*面向量有关推论 三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。 若O是三角形ABC的外心，点M满足OA+OB+OC=OM，则M是三角形ABC的垂心。 若O和三角形ABC共面，且满足OA+OB+OC=0，则O是三角形ABC的重心。 三点共线：三点A，B，C共线推出OA=μOB+aOC（μ+a=1） 一1.正弦、余弦公式的逆向思维 对于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)这样的形式，运用逆向思维，化解为： cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α) 2.正切公式的逆向思维。 比如，由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)] 可得： tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)] [1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β) tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β) 3.二倍角公式的灵活转化 比如：1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α) =[sin(α)+cos(α)]2 cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)] cos2(α)=[1+cos(2α)]/2 sin2(α)=[1-cos(2α)]/2 1+cos(α)=2cos2(α/2) 1-cos(α)=2sin2(α/2) sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α) sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α) 4.两角和差正弦、余弦公式的相加减、相比。 数学必修一知识点 50句菁华（扩展6） ——数学必修四知识点通用10篇 一、夯实数学基础的方法 首先课堂紧跟老师，认真听每一节课，记好课堂笔记，有些学生喜欢自己课后自学，课堂不爱听讲，这是极错误的，因为老师对于高考的了解和对知识的掌握，远远胜过我们自学，紧跟老师是打好基础最关键的一步。 对课本基础知识的学*，我们强烈建议大家使用思维导图，可以把课本上的知识都画成树状层，这样更容易理解、记忆，这样知识点不再是孤立而是成了一个网，这比光看书效果要好很多很多。 二、数学正确的做题方法 想学好数学，大量做题确实很有必要，但你真的会做题吗？多数同学虽然也做了大量的题目，但成绩还是不好，核心原因就是做题忽略了最重要的一步，那就是总结反思。每做完一道题目，大家还需要总结一下，问一下自己下面这些问题：它考查了哪些知识、自己有没有掌握、题目的解题思路在哪里、突破口是什么、属于哪种题型、此类题型有什么共同的.套路、此类题型应该用什么方法来解答。只有多问自己几个为什么，你才能真正吃透一道题，达到做一道题会一类题。 做题并不是越多越好，要知道题海战术只是手段，我们最终的目的还是通过做题加深对知识的理解，掌握解题套路，提高做题速度，如果做题不总结，你刷再多题效果也不会明显。 一1.正弦、余弦公式的逆向思维 对于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)这样的形式，运用逆向思维，化解为： cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α) 2.正切公式的逆向思维。 比如，由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)] 可得： tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)] [1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β) tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β) 3.二倍角公式的灵活转化 比如：1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α) =[sin(α)+cos(α)]2 cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)] cos2(α)=[1+cos(2α)]/2 sin2(α)=[1-cos(2α)]/2 1+cos(α)=2cos2(α/2) 1-cos(α)=2sin2(α/2) sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α) sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α) 4.两角和差正弦、余弦公式的相加减、相比。 比如： sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)……1 sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)……2 1式+2式，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin(α)cos(β) 1式-2式，得到 sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β) 1式比2式，得到 sin(α+β)/sin(α-β)=[sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)]/ [sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)] =[tαn(α)+tαn(β)] / [tαn(α)-tαn(β)] 我们来看两道例题，增加印象。 1.已知cos(α)=1/7,cos(α-β)=13/14,且0<β<α<π/2,求β 本题中，α-β∈(0,π/2) sin(α)=4√3/7 sin(α-β)=3√3/14 cos(β)=cos[α-(α-β)]=cos(α)cos(α-β)+sin(α)sin(α-β) =1/2 β=π/3 2.已知3sin2(α)+2sin2(β)=1,3sin(2α)-2sin(2β)=0,且α,β都是锐角。求α+2β 由3sin2(α)+2sin2(β)=1得到： 1-2sin2(β)=cos(2β)=3sin2(α) 由3sin(2α)-2sin(2β)=0得到： sin(2β)=3sin(2α)/2 cos(α+2β)=cos(α)cos(2β)-sin(α)sin(2β) =cos(α)3sin2(α)-sin(α)3sin(2α)/2 =3sin2(α)cos(α)-3cos(α)sin2(α) =0 加之0<α+2β<270o α+2β=90o 二轨迹知识点 符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹. 轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性). 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标; ⒉写出点M的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验。 求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的'关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 _直译法：求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系; ②设点——设轨迹上的任一点P(x，y); ③列式——列出动点p所满足的关系式; ④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简; ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 学好数学窍门是什么 数学必修一知识点 50句菁华（扩展7） ——高一数学必修五知识点归纳汇总5篇 1.等差数列通项公式 an=a1+(n-1)d n=1时a1=S1 n≥2时an=Sn-Sn-1 an=kn+b(k,b为常数)推导过程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b则得到an=kn+b 2.等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。 有关系：A=(a+b)÷2 3.前n项和 倒序相加法推导前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+·····+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]① Sn=an+an-1+an-2+······+a1 =an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]② 由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an) ∴Sn=n(a1+an)÷2 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半： Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2 Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2) 亦可得 a1=2sn÷n-an=[sn-n(n-1)d÷2]÷n an=2sn÷n-a1 有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 4.等差数列性质 一、任意两项am，an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。 二、从等差数列的`定义、通项公式，前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N 三、若m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq 四、对任意的k∈N，有 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。 1.数列的函数理解： ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。 2.通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。 数列通项公式的特点： (1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不。 (2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。 3.递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 数列递推公式特点： (1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不。 (2)有些数列没有递推公式。 有递推公式不一定有通项公式。 注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。 ⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。 ⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd。 ⑶若{a}、{b}为等差数列，则{a±b}与{ka+b}（k、b为非零常数）也是等差数列。 ⑷对任何m、n，在等差数列{a}中有：a=a+（n—m）d，特别地，当m=1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性。 ⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l+k+p+…=m+n+r+…（两边的自然数个数相等），那么当{a}为等差数列时，有：a+a+a+…=a+a+a+…。 ⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd（k为取出项数之差）。 ⑺如果{a}是等差数列，公差为d，那么，a，a，…，a、a也是等差数列，其公差为—d；在等差数列{a}中，a—a=a—a=md。（其中m、k、） ⑻在等差数列中，从第一项起，每一项（有穷数列末项除外）都是它前后两项的等差中项。 ⑼当公差d>0时，等差数列中的.数随项数的增大而增大；当d<0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d=0时，等差数列中的数等于一个常数。 ⑽设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=（≠—1），则a=。 ⑴数列{a}为等差数列的充要条件是：数列{a}的前n项和S可以写成S=an+bn的形式（其中a、b为常数）。 ⑵在等差数列{a}中，当项数为2n（nN）时，S—S=nd，=；当项数为（2n—1）（n）时，S—S=a，=。
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