数学必修一必修二知识点总结 (菁华3篇)

数学必修一必修二知识点总结1

　　(1)直线的倾斜角

　　定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x轴*行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度.因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

　　(2)直线的斜率

　　①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.

　　当时，；当时，；当时，不存在。

　　②过两点的直线的斜率公式：

　　注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

　　(2)k与P1、P2的顺序无关；

　　(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

　　(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.

　　(3)直线方程

　　①点斜式：直线斜率k，且过点

　　注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1.

　　当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1.

　　②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

　　③两点式：()直线两点，

　　④截矩式：

　　其中直线与轴交于点，与轴交于点，即与轴、轴的截距分别为.

　　⑤一般式：(A，B不全为0)

　　注意：各式的适用范围特殊的方程如：

　　*行于x轴的直线：(b为常数)；*行于y轴的直线：(a为常数)；

　　(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线

　　(一)*行直线系

　　*行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)

　　(二)垂直直线系

　　垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)

　　(三)过定点的直线系

　　(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点；

　　(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为

　　(为参数)，其中直线不在直线系中.

　　(6)两直线*行与垂直

　　注意：利用斜率判断直线的*行与垂直时，要注意斜率的存在与否.

　　(7)两条直线的交点

　　相交

　　交点坐标即方程组的一组解.

　　方程组无解；方程组有无数解与重合

　　(8)两点间距离公式：设是*面直角坐标系中的两个点

　　(9)点到直线距离公式：一点到直线的距离

　　(10)两*行直线距离公式

　　在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解.

数学必修一必修二知识点总结2

　　①异面直线定义：不同在任何一个*面内的两条直线

　　②异面直线性质：既不*行，又不相交.

　　③异面直线判定：过*面外一点与*面内一点的直线与*面内不过该店的直线是异面直线

　　④异面直线所成角：作*行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.

　　求异面直线所成角步骤：

　　A、利用定义构造角，可固定一条，*移另一条，或两条同时*移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角

　　(7)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别*行，那么这两角相等或互补.

　　(8)空间直线与*面之间的位置关系

　　直线在*面内——有无数个公共点.

　　三种位置关系的符号表示：aαa∩α=Aa‖α

　　(9)*面与*面之间的位置关系：*行——没有公共点；α‖β

　　相交——有一条公共直线.α∩β=b

　　5、空间中的*行问题

　　(1)直线与*面*行的判定及其性质

　　线面*行的判定定理：*面外一条直线与此*面内一条直线*行，则该直线与此*面*行.

　　线线*行线面*行

　　线面*行的性质定理：如果一条直线和一个*面*行，经过这条直线的*面和这个*面相交，

　　那么这条直线和交线*行.线面*行线线*行

　　(2)*面与*面*行的判定及其性质

　　两个*面*行的判定定理

　　(1)如果一个*面内的两条相交直线都*行于另一个*面，那么这两个*面*行

　　(线面*行→面面*行)，

　　(2)如果在两个*面内，各有两组相交直线对应*行，那么这两个*面*行.

　　(线线*行→面面*行)，

　　(3)垂直于同一条直线的两个*面*行，

　　两个*面*行的性质定理

　　(1)如果两个*面*行，那么某一个*面内的直线与另一个*面*行.(面面*行→线面*行)

　　(2)如果两个*行*面都和第三个*面相交，那么它们的交线*行.(面面*行→线线*行)

　　7、空间中的垂直问题

　　(1)线线、面面、线面垂直的定义

　　①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.

　　②线面垂直：如果一条直线和一个*面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个*面垂直.

　　③*面和*面垂直：如果两个*面相交，所成的二面角(从一条直线出发的两个半*面所组成的图形)是直二面角(*面角是直角)，就说这两个*面垂直.

　　(2)垂直关系的判定和性质定理

　　①线面垂直判定定理和性质定理

　　判定定理：如果一条直线和一个*面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个*面.

　　性质定理：如果两条直线同垂直于一个*面，那么这两条直线*行.

　　②面面垂直的判定定理和性质定理

　　判定定理：如果一个*面经过另一个*面的一条垂线，那么这两个*面互相垂直.

　　性质定理：如果两个*面互相垂直，那么在一个*面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个*面.

　　9、空间角问题

　　(1)直线与直线所成的角

　　①两*行直线所成的角：规定为.

　　②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角.

　　③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b*行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.

　　(2)直线和*面所成的角

　　①*面的*行线与*面所成的角：规定为.②*面的垂线与*面所成的角：规定为.

　　③*面的斜线与*面所成的角：*面的一条斜线和它在*面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个*面所成的角.

　　求斜线与*面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”.

　　在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

　　在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：(1)斜线上一点到面的垂线；(2)过斜线上的一点或过斜线的*面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线.

　　(3)二面角和二面角的*面角

　　①二面角的定义：从一条直线出发的两个半*面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半*面叫做二面角的面.

　　②二面角的*面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的*面角.

　　③直二面角：*面角是直角的二面角叫直二面角.

　　两相交*面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个*面垂直；反过来，如果两个*面垂直，那么所成的二面角为直二面角

　　④求二面角的方法

　　定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到*面角

　　垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作*面与两个面的交线所成的角为二面角的*面角

数学必修一必修二知识点总结3

　　指数函数

　　(一)指数与指数幂的运算

　　1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈_.

　　当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).

　　当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

　　注意：当是奇数时，当是偶数时，

　　2.分数指数幂

　　正数的分数指数幂的意义，规定：

　　0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

　　指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.

　　3.实数指数幂的运算性质

　　(二)指数函数及其性质

　　1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.

　　注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

　　2、指数函数的图象和性质

数学必修一必修二知识点总结 (菁华3篇)扩展阅读

数学必修一必修二知识点总结 (菁华3篇)（扩展1）

——数学必修一知识点6篇

数学必修一知识点1

　　基本初等函数有哪些

　　基本初等函数包括以下几种：

　　(1)常数函数y = c( c为常数)

　　(2)幂函数y = x^a( a为常数)

　　(3)指数函数y = a^x(a>0, a≠1)

　　(4)对数函数y =log(a) x(a>0, a≠1，真数x>0)

　　(5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数：y =sinx反正弦函数：y = arcsin x等)

　　基本初等函数性质是什么

　　幂函数

　　形如y=x^a的函数，式中a为实常数。

　　指数函数

　　形如y=a^x的函数，式中a为不等于1的正常数。

　　对数函数

　　指数函数的反函数，记作y=loga a x，式中a为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之间成立关系式，loga ax=x。

　　三角函数

　　即正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx，正切函数y=tanx，余切函数y=cotx，正割函数y=secx，余割函数y=cscx(见三角学)。

　　反三角函数

　　三角函数的反函数——反正弦函数y = arc sinx，反余弦函数y=arc cosx (-1≤x≤1，初等函数0≤y≤π)，反正切函数y=arc tanx，反余切函数y = arc cotx(-∞

　　学*数学小窍门

　　建立数学纠错本。

　　把*时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

　　限时训练。

　　可以找一组题(比如10道选择题)，争取限定一个时间完成;也可以找1道大题，限时完成。这主要是创设一种考试情境，检验自己在紧张状态下的思维水*。

　　调整心态，正确对待考试。

　　首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。

　　数学函数的值域与最值知识点

　　1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

　　(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.

　　(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.

　　(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.

　　(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.

　　(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧.

　　(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.

　　(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.

　　(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.

　　2、求函数的最值与值域的区别和联系

　　求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.

　　如函数的值域是(0，16]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.

　　3、函数的最值在实际问题中的应用

　　函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.

数学必修一知识点2

　　一.知识归纳：

　　1.集合的有关概念。

　　1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

　　注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与*面几何中的点与直线的概念类似。

　　②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

　　③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

　　2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

　　3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

　　4)常用数集：N，Z，Q，R，N_

　　.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

　　1)子集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB);

　　2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且)

　　3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}

　　4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}

　　5)补集：CUA={x|xA但x∈U}

　　注意：①?A，若A≠?，则?A;

　　②若，，则;

　　③若且，则A=B(等集)

　　3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。

　　4.有关子集的几个等价关系

　　①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;

　　④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

　　5.交、并集运算的性质

　　①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;

　　③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;

　　6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

　　二.例题讲解：

　　【例1】已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，则M,N,P满足关系

　　A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

　　分析一：从判断元素的共性与区别入手。

　　解答一：对于集合M：{x|x=,m∈Z};对于集合N：{x|x=,n∈Z}

　　对于集合P：{x|x=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以MN=P，故选B。

　　分析二：简单列举集合中的元素。

　　解答二：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

　　=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，

　　=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以选B。

　　点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

　　变式：设集合，，则(B)

　　A.M=NB.MNC.NMD.

　　解：

　　当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B

　　【例2】定义集合A_={x|x∈A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A_的子集个数为

　　A)1B)2C)3D)4

　　分析：确定集合A_子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

　　解答：∵A_={x|x∈A且xB}，∴A_={1,7}，有两个元素，故A_的子集共有22个。选D。

　　变式1：已知非空集合M{1,2,3,4,5}，且若a∈M，则6?a∈M，那么集合M的个数为

　　A)5个B)6个C)7个D)8个

　　变式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.

　　解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

　　集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

　　评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有个.

　　【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

　　解答：∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.

　　∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A

　　∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

　　∴∴

　　变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求实数b,c,m的值.

　　解：∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5

　　∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴

　　又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

　　∴b=-4,c=4,m=-5

　　【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1

　　分析：先化简集合A，然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。

　　解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1]B，而(-∞,-2)∩B=ф。

　　综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

　　变式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

　　点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

　　变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有满足条件的a的集合。

　　解答：M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM

　　①当时，ax-1=0无解，∴a=0②

　　综①②得：所求集合为{-1，0，}

　　【例5】已知集合，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围。

　　分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离求解。

　　解答：(1)若，在内有有解

　　令当时，

　　所以a>-4,所以a的取值范围是

　　变式：若关于x的方程有实根,求实数a的取值范围。

　　解答：

　　点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

　　【同步练*题】

　　一、选择题(每题4分，共40分)

　　1、下列四组对象，能构成集合的是()

　　A某班所有高个子的学生B的艺术家

　　C一切很大的书D倒数等于它自身的实数

　　2、集合{a，b，c}的真子集共有个()

　　A7B8C9D10

　　3、若{1，2}A{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A的个数是()

　　A.6B.7C.8D.9

　　4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则CU(M∪N)=()

　　A.{1，2，3}B.{2}C.{1，3，4}D.{4}

　　5、方程组的解集是()

　　A.{x=0,y=1}B.{0,1}C.{(0,1)}D.{(x,y)|x=0或y=1}

　　6、以下六个关系式：，，,,，是空集中，错误的个数是()

　　A4B3C2D1

　　7、点的集合M={(x,y)|xy≥0｝是指()

　　A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集

　　C.第一、第三象限内的点集D.不在第二、第四象限内的点集

　　8、设集合A=，B=，若AB，则的取值范围是()

　　ABCD

　　9、满足条件M=的集合M的个数是()

　　A1B2C3D4

　　10、集合，，，且，则有()

　　AB

　　CD不属于P、Q、R中的任意一个

　　二、填空题(每题3分，共18分)

　　11、若，，用列举法表示B

　　12、集合A={x|x2+x-6=0},B={x|ax+1=0},若BA，则a=__________

　　13、设全集U=，A=，CA=，则=，=。

　　14、集合，，____________.

　　15、已知集合A={x|},若A∩R=，则实数m的取值范围是

　　16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人.

　　三、解答题(每题10分，共40分)

　　17、已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

　　18、已知二次函数()=,A=,试求的解析式

　　19、已知集合，B=，若，且求实数a，b的值。

　　20、设，集合，，且A=B，求实数x，y的值。

　　数学必修一第一章学*方法

　　掌握数学学*实践阶段:在高中数学学*过程中,我们需要使用正确的学*方法,以及科学合理的学*规则。先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法,曾经说过,尤其是高阶段的数学学*数学,必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。与教学内容的第一周甚至是从基础开始,一周后的头几天,在教学难以提升。以及提升的困难进步一步一步,最好不要去追求所谓的“困难”除了(感兴趣),不利于解决问题方法掌握连续性。同时,根据时间和课程安排的长度适当的审查,只有这样才能记住和使用在长期学*数学知识,不要忘记前面的学*。

　　数学必修一第一章学*技巧

　　重视改错错不重犯。

　　一定要重视改错的这份工作，做到错不再犯。初中数学教学中采用的方法是告诉学生所有可能的错误，只要有一个人犯了错误，就应该提出，以便所有的学生都能从中吸取教训。这叫“一人有病，全体吃药。”

　　高中数学课没有那么多时间，除了一小部分那几种典型错，其它错误，不能一一顾及。只能谁有病，谁吃药 。如果学生“生病”而忘了吃药，那么没有人会一次又一次地提醒他要注意什么。如果能及时改错，那么错误就可能转变为财富，成为预防针。但是，如果不能及时改错，这个错误就将形成一处“地雷”，迟早要惹祸。

　　有的学生认为，自己考试成绩上不去，是因为太粗心。其实，原因并非如此。打一个比方。比如说，学*开汽车。右脚下面，往左踩，是踩刹车。往右踩，是踩油门。其机械原理，设计原因，操作规程都可以讲的清清楚楚。如果初学驾驶的人真正掌握了这一套，请问，可以同意他开车上路吗?恐怕他知道他还缺乏练*。一两次你能正确地完成任务，但这并不意味着你永远不会犯错误。练*的数量不够，才是学生出错的真正原因。大家一定要看到，如果自己的基础知识漏洞百出、隐患无穷，那么，今后的数学将是难以学好的。

数学必修一知识点3

　　1. 函数的奇偶性

　　(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;

　　(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数);

　　(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);

　　(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

　　(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

　　2. 复合函数的有关问题

　　(1)复合函数定义域求法：若已知 的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

　　(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

　　3.函数图像(或方程曲线的对称性)

　　(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

　　(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;

　　(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

　　(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;

　　(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;

　　(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;

　　4.函数的周期性

　　(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

　　(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;

　　(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;

　　(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;

　　(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;

　　(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;

　　5.方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);

　　6.a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;

　　7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

　　(2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);

　　(3) l og a b的.符号由口诀“同正异负”记忆;

　　(4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );

　　8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：

　　(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

　　9. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

　　10.对于反函数，应掌握以下一些结论：(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).

　　11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

　　12. 依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题

　　13. 恒成立问题的处理方法：(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;

　　数学旋转的知识点

　　旋转的特征：

　　(1)对应点到旋转中心的距离相等;

　　(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;

　　(3)旋转前后的图形全等。

　　理解以下几点：

　　(1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。

　　(2)对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。

　　(3)图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。

　　学*数学小窍门

　　建立数学纠错本。

　　把*时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。

　　限时训练。

　　可以找一组题(比如10道选择题)，争取限定一个时间完成;也可以找1道大题，限时完成。这主要是创设一种考试情境，检验自己在紧张状态下的思维水*。

数学必修一知识点4

　　一、集合有关概念

　　1、集合的含义

　　2、集合的中元素的三个特性：

　　（1）元素的确定性如：世界上最高的山

　　（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H，A，P，Y}

　　（3）元素的无序性：如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一个集合

　　3、集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太*洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

　　（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}

　　（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

　　注意：常用数集及其记法：XKb1、Com

　　非负整数集（即自然数集）记作：N

　　正整数集：Nx或N+

　　整数集：Z

　　有理数集：Q

　　实数集：R

　　1）列举法：{a，b，c……}

　　2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x？R|x—3>2}，{x|x—3>2}

　　3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4）Venn图：

　　4、集合的分类：

　　（1）有限集含有有限个元素的集合

　　（2）无限集含有无限个元素的集合

　　（3）空集不含任何元素的集合

　　二、集合间的基本关系

　　1、“包含”关系—子集

　　注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

　　反之：集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，记作AB或BA

　　2、“相等”关系：A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）

　　实例：设A={x|x2—1=0}B={—1，1}“元素相同则两集合相等”

　　即：①任何一个集合是它本身的子集。A？A

　　②真子集：如果A？B，且A？B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

　　③如果A？B，B？C，那么A？C

　　④如果A？B同时B？A那么A=B

　　3、不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　4、子集个数：

　　有n个元素的集合，含有2n个子集，2n—1个真子集，含有2n—1个非空子集，含有2n—1个非空真子集

　　三、集合的运算

　　运算类型交集并集补集

　　定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集、记作AB（读作‘A交B’），即AB={x|xA，且xB｝、

　　由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集、记作：AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB}）、

　　数学的学*方法

　　1、养成良好的学*数学*惯。建立良好的学*数学*惯，会使自己学*感到有序而轻松。高中数学的良好*惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学*数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。良好的学*数学*惯包括课前自学、专心上课、及时复*、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学*几个方面。

　　2、及时了解、掌握常用的数学思想和方法，学好高中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学*要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。

　　数学一元二次方程知识点

　　（1）一元二次方程的定义

　　等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

　　注意一下几点：

　　①只含有一个未知数；

　　②未知数的最高次数是2；

　　③是整式方程。

　　（2）一元二次方程的一般形式

　　一般形式：

　　ax2+ bx + c = 0（a ≠0）、

　　其中，ax2是二次项，a是二次项系数；

　　bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

　　（3）一元二次方程的根

　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

数学必修一知识点5

　　⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。

　　⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd。

　　⑶若{a}、{b}为等差数列，则{a±b}与{ka+b}（k、b为非零常数）也是等差数列。

　　⑷对任何m、n，在等差数列{a}中有：a=a+（n—m）d，特别地，当m=1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性。

　　⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l+k+p+…=m+n+r+…（两边的自然数个数相等），那么当{a}为等差数列时，有：a+a+a+…=a+a+a+…。

　　⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd（k为取出项数之差）。

　　⑺如果{a}是等差数列，公差为d，那么，a，a，…，a、a也是等差数列，其公差为—d；在等差数列{a}中，a—a=a—a=md。（其中m、k、）

　　⑻在等差数列中，从第一项起，每一项（有穷数列末项除外）都是它前后两项的等差中项。

　　⑼当公差d>0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d<0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d=0时，等差数列中的数等于一个常数。

　　⑽设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=（≠—1），则a=。

　　⑴数列{a}为等差数列的充要条件是：数列{a}的前n项和S可以写成S=an+bn的形式（其中a、b为常数）。

　　⑵在等差数列{a}中，当项数为2n（nN）时，S—S=nd，=；当项数为（2n—1）（n）时，S—S=a，=。

　　⑶若数列{a}为等差数列，则S，S—S，S—S，…仍然成等差数列，公差为。

　　⑷若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别是S、T（n为奇数），则=。

　　⑸在等差数列{a}中，S=a，S=b（n>m），则S=（a—b）。

　　⑹等差数列{a}中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y=x+（a—）上。

　　⑺记等差数列{a}的前n项和为S。①若a>0，公差d<0，则当a≥0且a≤0时，S；②若a<0，公差d>0，则当a≤0且a≥0时，S最小。

数学必修一知识点6

　　一、集合有关概念

　　1.集合的含义

　　2.集合的中元素的三个特性：

　　(1)元素的确定性如：世界上的山

　　(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

　　(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

　　3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太*洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

　　(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

　　注意：常用数集及其记法：

　　非负整数集(即自然数集)记作：N

　　正整数集N_或N+整数集Z有理数集Q实数集R

　　1)列举法：{a,b,c……}

　　2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

　　3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4)Venn图:

　　4、集合的分类：

　　(1)有限集含有有限个元素的集合

　　(2)无限集含有无限个元素的集合

　　(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

　　二、集合间的基本关系

　　1.“包含”关系—子集

　　注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

　　2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)

　　实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”

　　即：①任何一个集合是它本身的子集。AA

　　②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

　　③如果AB,BC,那么AC

　　④如果AB同时BA那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

　　二、函数

　　1、函数定义域、值域求法综合

　　2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略

　　3、恒成立问题的求解策略

　　4、反函数的几种题型及方法

　　5、二次函数根的问题——一题多解

　　&指数函数y=a^x

　　a^a_a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)

　　(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)

　　(ab)^a=a^a_b^a(a>0,a、b属于Q)

　　指数函数对称规律：

　　1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称

　　2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称

　　3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称

　　&对数函数y=loga^x

　　如果，且，，，那么：

　　○1+;

　　○2-;

　　○3.

　　注意：换底公式

　　(，且;，且;).

　　幂函数y=x^a(a属于R)

　　1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.

　　2、幂函数性质归纳.

　　(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义并且图象都过点(1，1);

　　(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸;

　　(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼*轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼*轴正半轴.

　　方程的根与函数的零点

　　1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

　　2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

　　即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.

　　3、函数零点的求法：

　　○1(代数法)求方程的实数根;

　　○2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

　　4、二次函数的零点：

　　二次函数.

　　(1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.

　　(2)△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.

　　(3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.

　　三、*面向量

　　向量：既有大小，又有方向的量.

　　数量：只有大小，没有方向的量.

　　有向线段的三要素：起点、方向、长度.

　　零向量：长度为的向量.

　　单位向量：长度等于个单位的向量.

　　相等向量：长度相等且方向相同的向量

　　向量的运算

　　加法运算

　　AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

　　已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作*行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的*行四边形法则。

　　对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

　　|a+b|≤|a|+|b|。

　　向量的加法满足所有的加法运算定律。

　　减法运算

　　与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

　　(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。

　　数乘运算

　　实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ=0时，λa=0。

　　设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a=λ(μa)(2)(λμ)a=λaμa(3)λ(a±b)=λa±λb(4)(-λ)a=-(λa)=λ(-a)。

　　向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

　　向量的数量积

　　已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

　　a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

　　两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

　　四、三角函数

　　1、善于用“1“巧解题

　　2、三角问题的非三角化解题策略

　　3、三角函数有界性求最值解题方法

　　4、三角函数向量综合题例析

　　5、三角函数中的数学思想方法

数学必修一必修二知识点总结 (菁华3篇)（扩展2）

——数学必修一必修二知识点总结范本5份

　　数学必修一必修二知识点总结 1

　　1、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

　　x=—b/2a。

　　对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的.对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2、抛物线有一个顶点P，坐标为

　　P（—b/2a，（4ac—b’2）/4a）

　　当—b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b’2—4ac=0时，P在x轴上。

　　3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；

　　当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

　　5、常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c）

　　6、抛物线与x轴交点个数

　　Δ=b’2—4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ=b’2—4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ=b’2—4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=—b±√b’2—4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

　　数学必修一必修二知识点总结 2

　　I、定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

　　（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大、）

　　则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II、二次函数的`三种表达式

　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

　　顶点式：y=a（x—h）^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]

　　交点式：y=a（x—x？）（x—x？）[仅限于与x轴有交点A（x？，0）和B（x？，0）的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

　　h=—b/2ak=（4ac—b^2）/4ax？，x？=（—b±√b^2—4ac）/2a

　　III、二次函数的图像

　　在*面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　IV、抛物线的性质

　　1、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=—b/2a。对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2、抛物线有一个顶点P，坐标为

　　P（—b/2a，（4ac—b^2）/4a）

　　当—b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2—4ac=0时，P在x轴上。

　　3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　数学必修一必修二知识点总结 3

　　(1)直线的倾斜角

　　定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x轴*行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度.因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

　　(2)直线的斜率

　　①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.

　　当时，；当时，；当时，不存在。

　　②过两点的直线的斜率公式：

　　注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

　　(2)k与P1、P2的顺序无关；

　　(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

　　(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.

　　(3)直线方程

　　①点斜式：直线斜率k，且过点

　　注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1.

　　当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的`横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1.

　　②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b

　　③两点式：()直线两点，

　　④截矩式：

　　其中直线与轴交于点，与轴交于点，即与轴、轴的截距分别为.

　　⑤一般式：(A，B不全为0)

　　注意：各式的适用范围特殊的方程如：

　　*行于x轴的直线：(b为常数)；*行于y轴的直线：(a为常数)；

　　(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线

　　(一)*行直线系

　　*行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)

　　(二)垂直直线系

　　垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)

　　(三)过定点的直线系

　　(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点；

　　(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为

　　(为参数)，其中直线不在直线系中.

　　(6)两直线*行与垂直

　　注意：利用斜率判断直线的*行与垂直时，要注意斜率的存在与否.

　　(7)两条直线的交点

　　相交

　　交点坐标即方程组的一组解.

　　方程组无解；方程组有无数解与重合

　　(8)两点间距离公式：设是*面直角坐标系中的两个点

　　(9)点到直线距离公式：一点到直线的距离

　　(10)两*行直线距离公式

　　在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解.

　　数学必修一必修二知识点总结 4

　　①异面直线定义：不同在任何一个*面内的两条直线

　　②异面直线性质：既不*行，又不相交.

　　③异面直线判定：过*面外一点与*面内一点的直线与*面内不过该店的直线是异面直线

　　④异面直线所成角：作*行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.

　　求异面直线所成角步骤：

　　A、利用定义构造角，可固定一条，*移另一条，或两条同时*移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角

　　(7)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别*行，那么这两角相等或互补.

　　(8)空间直线与*面之间的位置关系

　　直线在*面内——有无数个公共点.

　　三种位置关系的符号表示：aαa∩α=Aa‖α

　　(9)*面与*面之间的位置关系：*行——没有公共点；α‖β

　　相交——有一条公共直线.α∩β=b

　　5、空间中的*行问题

　　(1)直线与*面*行的判定及其性质

　　线面*行的判定定理：*面外一条直线与此*面内一条直线*行，则该直线与此*面*行.

　　线线*行线面*行

　　线面*行的性质定理：如果一条直线和一个*面*行，经过这条直线的*面和这个*面相交，

　　那么这条直线和交线*行.线面*行线线*行

　　(2)*面与*面*行的判定及其性质

　　两个*面*行的判定定理

　　(1)如果一个*面内的两条相交直线都*行于另一个*面，那么这两个*面*行

　　(线面*行→面面*行)，

　　(2)如果在两个*面内，各有两组相交直线对应*行，那么这两个*面*行.

　　(线线*行→面面*行)，

　　(3)垂直于同一条直线的两个*面*行，

　　两个*面*行的性质定理

　　(1)如果两个*面*行，那么某一个*面内的直线与另一个*面*行.(面面*行→线面*行)

　　(2)如果两个*行*面都和第三个*面相交，那么它们的交线*行.(面面*行→线线*行)

　　7、空间中的垂直问题

　　(1)线线、面面、线面垂直的定义

　　①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.

　　②线面垂直：如果一条直线和一个*面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个*面垂直.

　　③*面和*面垂直：如果两个*面相交，所成的二面角(从一条直线出发的两个半*面所组成的.图形)是直二面角(*面角是直角)，就说这两个*面垂直.

　　(2)垂直关系的判定和性质定理

　　①线面垂直判定定理和性质定理

　　判定定理：如果一条直线和一个*面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个*面.

　　性质定理：如果两条直线同垂直于一个*面，那么这两条直线*行.

　　②面面垂直的判定定理和性质定理

　　判定定理：如果一个*面经过另一个*面的一条垂线，那么这两个*面互相垂直.

　　性质定理：如果两个*面互相垂直，那么在一个*面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个*面.

　　9、空间角问题

　　(1)直线与直线所成的角

　　①两*行直线所成的角：规定为.

　　②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角.

　　③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b*行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.

　　(2)直线和*面所成的角

　　①*面的*行线与*面所成的角：规定为.②*面的垂线与*面所成的角：规定为.

　　③*面的斜线与*面所成的角：*面的一条斜线和它在*面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个*面所成的角.

　　求斜线与*面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”.

　　在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，

　　在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：(1)斜线上一点到面的垂线；(2)过斜线上的一点或过斜线的*面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线.

　　(3)二面角和二面角的*面角

　　①二面角的定义：从一条直线出发的两个半*面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半*面叫做二面角的面.

　　②二面角的*面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的*面角.

　　③直二面角：*面角是直角的二面角叫直二面角.

　　两相交*面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个*面垂直；反过来，如果两个*面垂直，那么所成的二面角为直二面角

　　④求二面角的方法

　　定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到*面角

　　垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作*面与两个面的交线所成的角为二面角的*面角

　　数学必修一必修二知识点总结 5

　　对数函数

　　对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的.规定，同样适用于对数函数。

　　可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

　　（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。

　　（2）对数函数的值域为全部实数集合。

　　（3）函数总是通过（1，0）这点。

　　（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

　　（5）显然对数函数。

数学必修一必修二知识点总结 (菁华3篇)（扩展3）

——生物必修二知识点总结 (菁选6篇)

　　1、生态环境问题是全球性的问题。

　　2、生物多样性：生物圈内所有的植物、动物和微生物，它们所拥有的全部基因以及各种各样的生态系统，共同构成了生物多样性。

　　3、生物多样性包括：物种多样性、基因多样性、生态系统多样性

　　4、保护生物多样性的措施：就地保护（自然保护区）、易地保护（动物园）

　　5、全球问题：酸雨、臭氧层破坏、温室效应。

　　1.通过复*旧知识的方式导入新课。

　　从旧知识导入新知识，引导学生去发现问题，明确探索的目标，是生物教学最常用的导入方法。教学过程中，讲授新课之前，从新旧知识的联系中，抓住新旧知识的不同点，对旧知识加以概括，提出即将研究的问题，这样既促进了旧知识的巩固，又明确了本节课的学*目的、任务和重点，而且也能激发学生探求知识的好奇心，产生积极寻找问题答案的强烈愿望。这种方法能使学生掌握问题的实质，给学生学*新知识打好基础。如在讲“植物体内物质的运输”一节时，通过复*茎的结构以及韧皮部、木质部的构成导入新课，为学*植物体内物质的运输作铺垫。

　　2.利用直观演示，让学生从观察实物和教具的方式导入新课。

　　采用直观教学，可以使抽象的知识具体化、形象化，为学生架起由形象向抽象过渡的桥梁。教师若在教学中运用实物、标本、挂图、模型等直观教具导入新课，可以使学生通过视觉心领神会，从而引起学生的注意，活跃课堂气氛。如在讲授骨的结构时，先发给学生纵剖的长骨，让学生观察，在观察时，教师提出观察的重点，提出思考的问题：骨端和骨中部的结构是否一样?长骨骨质的外面有什么样的结构?这种结构存在的部位如何?骨髓腔中有些什么物质?这种导入方法，在让学生观察实物的过程中，既获得大量的感性认识又突出了重点，很自然地为讲解新课《长骨结构》创造了有利的条件。

　　3.利用实验操作的方法导入新课。

　　生物学是一门以实验为基础的自然科学。在新教材中把强化实验、通过实验手段探索知识，培养能力提到重要位置。新教材中的实验探索穿插在正式课文之中，是课本的一个不可分割的重要组成部分。利用实验操作的方法导入新课，能帮助学生认识抽象的知识，激发学生的思维能力，使学生通过分析问题，探索规律。既长了知识，又学到了技能。同时学生通过实验操作，既动脑又动手，拓宽了学生的思路，使课堂气氛活跃，学生产生浓厚的学*兴趣。如在上“根对水分的吸收”时，就运用“植物细胞的吸水和失水”这个实验引入新课，在课前让学生自己用萝卜进行实验，上课时让学生讲述自己观察的现象，并说明两个萝卜条为什么一个更加硬挺，另一个却软缩了。利用这一实验，就很容易引入新课“根对水分的吸收”。

　　4.从生产实验和生活中的一个实际问题出发导入新课，启发学生懂得学*积极性。

　　通过学生生活中熟悉的事例或自身的生理现象导入新课，能使学生有一种亲切感和实用感，容易引起学生学*的兴趣。如在讲到“叶片的结构”时，把学生带到室外去，叫他们轻摇小树，注意观察叶子的下落情况，重复几次后，把他们带*室，问小学生“叶片下落时，是正面向下，还是反面向下?”学生齐声答“正面”。教师问，这是为什么呢?稍停后，接着说，这与我们今天学*的“叶片的结构”有关，就这样很自然地转入新课。再如讲授心脏和血管的生理功能时就要讲到心率、心动周期等有关知识，就可以从实际问题导入来激发学生的求知欲。让学生用右手手指轻按左手腕桡骨头尺侧，摸到脉搏后，说明这是桡动脉，它的搏动和心脏的跳动是一致的。让学生数一数自己脉搏跳动的次数，半分钟后停止，统计每分钟80次的人数，每分钟70—79次的人数，60—69次的人数，然后提出问题：为什么大家都*在教室里，而每个人的脉搏次数却不完全相同呢?心脏在人的一生中都在不停的跳动为什么不会疲劳呢?……从而导入新课。再如讲述“植物的营养繁殖”，通过了解不少学生对果树嫁接有一点感性知识，据此可以设问：“要使一棵苹果树上既结出国光苹果，又结出富士苹果两种果实，应采取什么方法?”学生顿时情绪激昂，跃跃欲试，齐答“嫁接!”接着问：“这是为什么呢?”学生对此回答不上来，我们这节课就来解决这个问题。

　　1、免疫系统的组成

　　（1）组成：免疫器官、免疫细胞和免疫活性物质。

　　吞噬细胞等

　　2）免疫细胞 T细胞淋巴细胞 B细胞

　　迁移到胸腺中成熟

　　在骨髓中成熟

　　（3）免疫活性物质：抗体、淋巴因子、溶菌酶等。

　　2、非特异性免疫和特异性免疫

　　杀菌则为第二道防线。

　　（2）消化道、呼吸道及皮肤表面等都是外界环境，在这些场所中所发生的免疫都属于第一道防线，如胃酸杀菌等。

　　3、特异性免疫

　　（1）体液免疫（抗原没有进入细胞）

　　①参与细胞：吞噬细胞、T细胞、B细胞、记忆细胞、浆细胞。

　　②免疫过程

　　③结果：多数情况下浆细胞产生抗体与抗原结合，形成沉淀或细胞集团，进而被吞噬细胞吞噬消化。

　　（2）细胞免疫（抗原进入细胞）

　　①参与细胞：吞噬细胞、T细胞、记忆细胞、效应T细胞。

　　②结果：效应T细胞可以与靶细胞密切接触，使其裂解死亡，释放出抗原，最终被吞噬细胞吞噬。

　　效应T细胞作用：使靶细胞裂解，抗原暴露，暴露的抗原会被吞噬细胞吞噬消化

　　4、免疫失调疾病

　　（1）免疫过强自身免疫病类风湿、系统性红斑狼疮

　　过敏反应已免疫的机体在再次接受相同抗原时所发生的组织损伤或

　　功能紊乱，有明显的遗传倾向和个体差异。

　　（2）免疫过弱：艾滋病（*） a.是由人类免疫缺陷病毒（HIV）引起的，遗传物质是RNA；艾滋病属于获得性免疫缺陷病，由艾滋病病毒引起，其致病机理是艾滋病病毒攻击人体免疫系统，特别是能够侵入人体的T细胞，使T细胞大量死亡，导致患者丧失免疫功能，各种病原体则乘虚而入。所以，导致艾滋病患者死亡的直接原因是病原微生物的侵染或恶性肿瘤，根本原因是HIV破坏免疫系统。

　　易错警示与免疫细胞有关的4点提示

　　（1）T细胞和B细胞的形成不需要抗原的刺激，而浆细胞和效应T细胞的形成需要抗原的刺激。

　　（2）吞噬细胞不仅参与非特异性免疫，还在特异性免疫中发挥重要作用。

　　（3）免疫活性物质并非都由免疫细胞产生，如唾液腺、泪腺细胞都可产生溶酶菌。

　　（4）有关免疫细胞的“3个”：能产生抗体的细胞是浆细胞，B细胞、记忆细胞都不能产生；没有识别功能的细胞是浆细胞；特异性免疫中除浆细胞外，没有特异性识别功能的细胞是吞噬细胞，其余免疫细胞都有特异性识别功能。

　　5、下图是初次免疫反应和二次免疫反应过程中抗体浓度变化和患病程度曲线图，据图回答相关问题

　　（1）记忆细胞的特点：快速增殖分化、寿命长、对相应抗原十分敏感。

　　（2）二次免疫特点：反应快、反应强烈，能在抗原入侵但尚未患病之前将其消灭。

　　（3）由图示可看出，在二次免疫过程中抗体的产生特点是既快又多。

　　易错警示与免疫过程有关的4点提示

　　（1）只考虑到胸腺产生T细胞，T细胞参与细胞免疫，忽视了T细胞也可参与部分体液免疫，是解答相关试题容易出错的主要原因。（2）对浆细胞和效应T细胞来说，初次免疫只来自B细胞或T细胞的分化；二次免疫不仅来自B细胞或T细胞的分化，而且记忆细胞可以更快地分化出浆细胞或效应T细胞。

　　（3）由淋巴细胞到效应细胞和记忆细胞的增殖分化过程中细胞的遗传物质并未发生改变，分化只是发生了基因的选择性表达。

　　（4）在再次免疫中，记忆细胞非常重要，然而抗体不是由记忆细胞产生的，仍是由浆细胞合成并分泌的。

　　（一）走*细胞

　　一、比较原核与真核细胞（多样性）

　　原核细胞真核细胞

　　细胞较小（1—10um）较大（10——100um）

　　细胞核无成形的细胞核，核物质集中在核区。无核膜，无核仁。DNA不和蛋白质结合有成形的真正的细胞核。有核膜，有核仁。DNA不和蛋白质结合成染色体

　　细胞质除核糖体外，无其他细胞器有各种细胞器

　　细胞壁有。但成分和真核不同，主要是肽聚糖植物细胞、真菌细胞有，动物细胞无

　　代表放线菌、细菌、蓝藻、支原体真菌、植物、动物

　　二、生命系统的层次性

　　植：营养、保护、机械、输导植：根、茎、叶

　　细胞组织分泌器官花、果、种

　　动：上皮、结缔、肌肉、神经动：心、肝……

　　运动、循环

　　消化、呼吸病毒

　　系统（动）个体单细胞种群群落

　　泌尿、生殖多细胞

　　神经、内分泌

　　非生物因素Ⅰ号

　　生态系统生产者生物圈

　　生物因素消费者Ⅱ号

　　分解者

　　三、细胞学说内容（统一性）

　　○从人体的解剖和观察入手：维萨里、比夏

　　○显微镜下的重要发明：虎克、列文虎克

　　○理论思维和科学实验的结合：施来登、施旺

　　1、细胞是一个有机体，一切动植物都由细胞发育而来，并由细胞和细胞产物所构成。

　　2、细胞是一个相对独立的单位，既有它自己的生命，又对与其他细胞共同组成的整体的生命起作用。

　　3、新细胞可以从老细胞中产生。

　　○在修正中前进：细胞通过产生新的细胞。

　　注：现代生物学的三大基石

　　1、1838—1839年细胞学说

　　2、1859年达尔文进化论

　　3、1866年孟德尔遗传学

　　四、结论

　　除病毒以外，细胞是生物体结构和功能的基本单位，也是地球上最基本的生命系统。

　　（二）组成细胞的分子

　　基本：C、H、O、N（90%）

　　大量：C、H、O、N、P、S、（97%）K、Ca、Mg

　　元素微量：Fe、Mo、Zn、Cu、B、Mo等

　　（20种）最基本：C，占干重的48。4%，生物大分子以碳链为骨架

　　物质说明生物界与非生物界的统一性和差异性。

　　基础水：主要组成成分；一切生命活动离不开水

　　无机物无机盐：对维持生物体的.生命活动有重要作用

　　化合物蛋白质：生命活动（或性状）的主要承担者/体现者

　　核酸：携带遗传信息

　　有机物糖类：主要的能源物质

　　脂质：主要的储能物质

　　一、蛋白质（占鲜重7—10%，干重50%）

　　结构元素组成C、H、O、N，有的还有P、S、Fe、Zn、Cu、B、Mn、I等

　　单体氨基酸（约20种，必需8种，非必需12种）

　　化学结构由多个氨基酸分子脱水缩合而成，含有多个肽键的化合物，叫多肽。

　　多肽呈链状结构，叫肽链。一个蛋白质分子含有一条或几条肽链。

　　高级结构多肽链形成不同的空间结构，分二、三、四级。

　　结构特点由于组成蛋白质的氨基酸的种类、数目、排列次序不同，于是肽链的空间结构千差万别，因此蛋白质分子的结构是极其多样的。

　　功能○蛋白质的结构多样性决定了它的特异性/功能多样性。

　　1、构成细胞和生物体的重要物质：如细胞膜、染色体、肌肉中的蛋白质；

　　2、有些蛋白质有催化作用：如各种酶；

　　3、有些蛋白质有运输作用：如血红蛋白、载体蛋白；

　　4、有些蛋白质有调节作用：如胰岛素、生长激素等；

　　5、有些蛋白质有免疫作用：如抗体。

　　备注○连接两个氨基酸分子的键（—NH—CO—）叫肽键。

　　○各种蛋白质在结构上所具有的共同特点（通式）：

　　1、每种氨基酸至少都含有一个氨基和一个羧基连同一碳原子上；

　　2、各种氨基酸的区别在于R基的不同。

　　○变性（熟鸡蛋）&盐析&凝固（豆腐）

　　计算○由N个aa形成的一条肽链围成环状蛋白质时，产生水/肽键N个；

　　○N个aa形成一条肽链时，产生水/肽键N—1个；

　　○N个aa形成M条肽链时，产生水/肽键N—M个；

　　○N个aa形成M条肽链时，每个aa的*均分子量为α，那么由此形成的蛋白质

　　的分子量为N×α—（N—M）×18；

　　二、核酸

　　一切生物的遗传物质，是遗传信息的载体，是生命活动的控制者。

　　元素组成C、H、O、N、P等

　　分类脱氧核糖核酸（DNA双链）核糖核酸（RNA单链）

　　单体

　　成分磷酸H3PO4

　　五碳糖脱氧核糖核糖

　　含氮

　　碱基A、G、C、TA、G、C、U

　　功能主要的遗传物质，编码、复制遗

　　传信息，并决定蛋白质的合成将遗传信息从DNA传递给

　　蛋白质。

　　存在主要存在于细胞核，少量在线粒

　　体和叶绿体中。绿主要存在于细胞质中。吡罗红

　　△每一个单体都以若干个相连的碳原子构成的碳链为基本骨架，由许多单体连接成多聚体。

　　三、糖类和脂质

　　元素类别存在生理功能

　　糖类C、H、O单糖核糖C5H10O5主细胞质核糖核酸的组成成分；

　　脱氧核糖C4H10O5主细胞核脱氧核糖核酸的组成成分；

　　六碳糖：葡萄糖

　　C6H12O6、果糖等主细胞质是生物体进行生命活动的重要能源物质（70%以上）；

　　二糖

　　C12H22O11麦芽糖、蔗糖植物

　　乳糖动物

　　多糖淀粉、纤维素植物（细胞壁的组成成分），

　　重要的储存能量的物质；

　　糖原（肝、肌）动物

　　脂质C、H、O

　　有的还有N、P脂肪动、植物储存能量、维持体温恒定；

　　类脂/磷脂脑、豆构成生物膜的重要成分；

　　固醇胆固醇动物动物的重要成分；

　　性激素促性器官发育和第二性征；

　　维生素D促进钙、磷的吸收和利用；

　　△组成生物体的任何一种化合物都不能够单独地完成某一种生命活动，而只有按照一定的方式有机地组织起来，才能表现出细胞和生物体的生命现象。细胞就是这些物质最基本的结构形式。

　　四、鉴别实验

　　试剂成分实验现象常用材料

　　蛋白质双缩脲A：0.1g/mLNaOH紫色大豆

　　鸡蛋

　　B：0.01g/mLCuSO4

　　脂肪苏丹Ⅲ橘花生

　　还原糖班氏（加热）砖红色沉淀苹果、梨、白萝卜

　　淀粉碘液I2蓝色马铃薯

　　○具有还原性的糖：葡萄糖、麦芽糖、果糖

　　一、生态系统的结构

　　1、生态系统的概念：由生物群落与它的无机环境相互作用而形成的统一整体叫做生态系统。

　　2、地球上最大的生态系统是生物圈

　　3、生态系统类型：

　　可分为水域生态系统和陆地生态系统。水域生态系统主要包括海洋生态系统和淡水生态系统。陆地生态系统有冻原生态系统、荒漠生态系统、草原生态系统、森林生态系统等自然生态系统，以及农业生态系统、城市生态系统等人工生态系统。

　　4、生态系统的结构

　　(1)成分：

　　非生物成分：无机盐、阳光、热能、水、空气等

　　生产者：自养生物，主要是绿色植物(最基本、最关键的的成分)，还有一些化能合成细菌

　　和光合细菌绿色植物通过光合作用将无机物合成有机物

　　生物成分消费者：主要是各种动物

　　分解者：主要某腐生细菌和真菌，也包括蚯蚓等腐生动物。它们能分解动植物遗体、粪便等，

　　最终将有机物分解为无机物。

　　(2)营养结构：食物链、食物网

　　同一种生物在不同食物链中，可以占有不同的营养级。植物(生产者)总是第一营养级;植食性动物(即一级/初级消费者)为第二营养级;肉食性动物和杂食性动物所处的营养级不是一成不变的，如猫头鹰捕食鼠时，则处于第三营养级;当猫头鹰捕食吃虫的小鸟时，则处于第四营养级。

　　二、生态系统的能量流动：定义课本P93

　　1、过程

　　2、特点：

　　单向流动：生态系统内的能量只能从第一营养级流向第二营养级，再依次流向下一个营养级，不能逆向流动，也不能循环流动

　　逐级递减：能量在沿食物链流动的过程中，逐级减少，能量在相邻两个营养级间的传递效率是10%-20%;可用能量金字塔表示。

　　在一个生态系统中，营养级越多，能量流动过程中消耗的能量越多。

　　3、研究能量流动的意义：

　　(1)可以帮助人们科学规划、设计人工生态系统，使能量得到最有效的利用。

　　(2)可以帮助人们合理地调整生态系统中的能量流动关系，使能量持续高效地流向对人类最有益的部分。如农田生态系统中，必须清除杂草、防治农作物的病虫害。

　　三、生态系统中的物质循环

　　1.碳循环

　　1)碳在无机环境中主要以CO2和碳酸盐形式存在;碳在生物群落的各类生物体中以含碳有机物的形式存在，并通过生物链在生物群落中传递;碳循环的形式是CO2

　　2)碳从无机环境进入生物群落的主要途径是光合作用;碳从生物群落进入无机环境的主要途径有生产者和消费者的呼吸作用、分解者的分解作用、化石燃料的燃烧产生CO2

　　2、过程：

　　3、能量流动和物质循环的关系：课本P103

　　四、生态系统中的信息传递

　　1、生态系统的基本功能是进行物质循环、能量流动、信息传递

　　2、生态系统中信息传递的主要形式：

　　(1)物理信息：光、声、热、电、磁、温度等。如植物的向光性

　　(2)化学信息：性外激素、告警外激素、尿液等

　　(3)行为信息：动物求偶时的舞蹈、运动等

　　3、信息传递在生态系统中的作用：生命活动的正常进行，离不开信息的作用;生物种群的繁衍，也离不开信息的传递;信息还能够调节生物的种间关系，以维持生态系统的稳定。

　　4、信息传递在农业生产中的作用：

　　一是提高农、畜产品的产量，如短日照处理能使菊花提前开花;

　　二是对有害动物进行控制，如喷洒人工合成的性外激素类似物干扰害虫交尾的环保型防虫法。

　　五、生态系统的稳定性

　　1、概念：生态系统所具有的保持或恢复自身结构和功能相对稳定的能力

　　2、生态系统之所以能维持相对稳定，是由于生态系统具有自我调节能力。生态系统自我调节能力的。基础是负反馈。物种数目越多，营养结构越复杂，自我调节能力越大。

　　3、生态系统的稳定性具有相对性。当受到大规模干扰或外界压力超过该生态系统自身更新和自我调节能力时，便可能导致生态系统稳定性的破坏、甚至引发系统崩溃。

　　4、生物系统的稳定性：包括抵抗力稳定性和恢复力稳定性生态系统成分越单纯，结构越简朴抵抗力稳定性越低，反之亦然。草原生态系统恢复力稳定性较强，草地破坏后能恢复。而森林恢复很困难。抵抗力稳定性强的生态系统它的恢复力稳定就弱。

　　留意：生态系统有自我调节的能力。但有一定的限度。保持其稳定性，使人与自然协调发展

　　5、提高生态系统稳定性的措施：在草原上适当栽种防护林，可以有效地防止风沙的侵蚀，提高草原生态系统的稳定性(如图)。再比如避免对森林过量砍伐，控制污染物的排放，等等，都是保护生态系统稳定性的有效措施，一方面要控制对生态系统的干扰程度，对生态系统的利用应适度，不应超过生态系统的自我调节能力;

　　另一方面对人类利用强度较大的生态系统，应实施相应的物质和能量的投入，保证生态系统内部结构和功能的协调。

　　神经调节

　　1、神经调节基本方式：反射

　　2、反射的结构基础：反射弧

　　3、反射发生必须具备两个条件：反射弧完整和一定条件的刺激。

　　①感受器，②传入神经，③神经中枢，④传出神经，⑤效应器，⑥神经节(细胞体聚集在一起构成)。

　　2、兴奋在神经纤维上的传导

　　(1)传导形式：兴奋在神经纤维上以电信号的形式传导。

　　(2)静息电位和动作电位

　　(3)局部电流：在兴奋部位和未兴奋部位之间存在电位差，形成了局部电流。

　　(4)传导方向：双向传导。

　　下图所示的兴奋在神经纤维上的传导过程易错警示与兴奋产生与传导有关的3点提示：(1)神经纤维上兴奋的产生主要是Na+内流的结果，Na+的内流需要膜载体(离子通道)，同时从高浓度到低浓度，故属于协助扩散;同理，神经纤维上静息电位的产生过程中K+的外流也属于协助扩散。(2)兴奋在神经纤维上以局部电流或电信号的形式传导。(3)离体和生物体内神经纤维上兴奋传导的差别：①离体神经纤维上兴奋的传导是双向的。②在生物体内，神经纤维上的神经冲动只能来自感受器。因此在生物体内，兴奋在神经纤维上是单向传导的。

　　3、兴奋在神经元之间的传递

　　(1)突触的结构

　　(2)突触间隙内的液体为组织液(填内环境成分)。

　　(3)兴奋在神经元之间单向传递的原因：神经递质只存在于突触前膜内的突触小泡中，只能由突触前膜释放，作用于突触后膜。

　　[解惑]突触前膜和突触后膜是特化的细胞膜，其结构特点是具有一定的流动性，功能特性是具有选择透过性，与细胞膜的结构特点和功能特性分别相同。

　　易错警示有关神经传递中的知识总结

数学必修一必修二知识点总结 (菁华3篇)（扩展4）

——数学必修一知识点 50句菁华

1、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).

2、抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

3、实数指数幂的运算性质

4、语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

5、值域 : 先考虑其定义域

6、分段函数

7、集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

8、并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}

9、补集：CUA={x|xA但x∈U}

10、交、并集运算的性质

11、若{1，2}A{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A的个数是

12、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则CU(M∪N)=

13、集合，，，且，则有

14、集合，，____________.

15、已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

16、集合的三个特性

17、函数的奇偶性

18、a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;

19、(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

20、能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

21、异面直线：

22、*面与*面*行

23、常利用三角形中位线、*行四边形对边、已知直线作一*面找其交线

24、科学的预*方法

25、(xfy有2个零点0)(xf有两个不等实根;0)(xfy有1个零点0)(xf有两个相等实根;0)(xfy无零点0)(xf无实根;对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定.

26、已知α为锐角,且,则α的度数是A.30°B.45°C.60°D.90°

27、任意三位数乘上999的巧算方法，就是将这个任意的三位数减去1，作为积的左面的三位数字，再将1000减去这个任意三位数的差作为积的右边的三位数字，合并起来就是它们的积。例如，781x999=780219，396x999=395604。

28、线性规划问题

29、运用基本不等式求最值要注意：一正二定三相等！

30、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.

31、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：

32、函数零点的求法：

33、开放型创新题：答案不，或是逻辑推理题，以及解答题中的开放型试题的考查，都是重点,理科13，文科14题。

34、“相等”关系：A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）

35、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.

36、函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想;

37、注意下列性质：

38、你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

39、求函数的定义域有哪些常见类型？

40、求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

41、反函数存在的条件是什么？

42、反函数的性质有哪些？

43、二次函数根的问题——一题多解

44、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称

45、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.

46、善于用“1“巧解题

47、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

48、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数．

49、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。

50、函数的模型

数学必修一必修二知识点总结 (菁华3篇)（扩展5）

——必修一知识点总结 40句菁华

1、组成生物体的基本元素：C元素。(碳原子间以共价键构成的碳链，碳链是生物构成生物大分子的基本骨架，称为有机物的碳骨架。)

2、研究细胞膜的常用材料：人或哺乳动物成熟红细胞

3、细胞膜功能：

4、蓝藻是原核生物，自养生物

5、细胞学说建立者是施莱登和施旺，细胞学说建立揭示了细胞的统一性和生物体结构的统一性。细胞学说建立过程，是一个在科学探究中开拓、继承、修正和发展的过程，充满耐人寻味的曲折。

6、水存在形式运送营养物质及代谢废物

7、细胞膜主要由脂质和蛋白质，和少量糖类组成，脂质中磷脂最丰富，功能越复杂的细胞膜，蛋白质种类和数量越多;细胞膜基本支架是磷脂双分子层;细胞膜具有一定的流动性和选择透过性。

8、细胞膜、核膜、细胞器膜共同构成细胞的生物膜系统，它们在结构和功能上紧密联系，协调。

9、本质：活细胞产生的有机物，绝大多数为蛋白质，少数为RNA

10、空气中CO2浓度，土壤中水分多少，光照长短与强弱，光的成分及温度高低等，都是影响光合作用强度的外界因素：可通过适当延长光照，增加CO2浓度等提高产量。

11、自养生物：可将CO2、H2O等无机物合成葡萄糖等有机物，如绿色植物，硝化细菌(化能合成)

12、细胞表面积与体积关系限制了细胞的长大，细胞增殖是生物体生长、发育、繁殖遗传的基础。

13、真核细胞的分裂方式减数分裂：生殖细胞(**，卵细胞)增殖

14、细胞内水分减少，新陈代谢速率减慢

15、明朝产生

16、首倡商鞅变法，为后来的朝代所推崇。

17、摩尔(mol):把含有6、02×1023个粒子的任何粒子集体计量为1摩尔。

18、物质的量=物质所含微粒数目/阿伏加德罗常数n=N/NA

19、物质的量=物质的质量/摩尔质量(n=m/M)

20、物质的量=气体的体积/气体摩尔体积n=V/Vm

21、物质的量浓度、

22、溶液稀释：C(浓溶液)?V(浓溶液)=C(稀溶液)?V(稀溶液)

23、物质之间可以发生各种各样的化学变化，依据一定的标准可以对化学变化进行分类。

24、离子反应

25、氧化还原反应中概念及其相互关系如下：

26、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

27、△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.

28、△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.

29、在低倍镜下找到物象，将物象移至（视野中央）

30、高倍镜：物象（大），视野（暗），看到细胞数目（少）。

31、物镜：（有）螺纹，镜筒越（长），放大倍数越大。

32、圆行视野范围细胞的数量的变化可根据视野范围与放大倍数的*方成反比计算

33、生物体生命活动的物质基础是：组成生物体的各种化学元素和化合物。

34、大量元素： C、H、O、N、P、S、K、Ca、Mg

35、自然界中含量最多的元素是O;占人体细胞干重最多的元素是C， 占细胞鲜重最多的元素是O。

36、斐林试剂要现配现用,必须将甲液(0.1g/ml的NaOH)和乙液(0.05g/ml的CuSO4)先等量混匀后使用;

37、蛋白质的组成元素：C、H、O、N; S是蛋白质的特征元素。

38、组成蛋白质的氨基酸约有20种，其中必需氨基酸有8种(即不能在人体和动物体的细胞内合成，只能从食物中获得的氨基酸，有赖氨酸、色氨酸、苯丙氨酸、亮氨酸、异亮氨酸、苏氨酸、甲硫氨酸、缬氨酸)和12种非必需氨基酸(即在人体和动物体内通过氨基转换作用合成的氨基酸)。

39、用待定系数法求二次函数的解析式

40、从意识的本质来看，意识是客观存在在人脑中的反映。

数学必修一必修二知识点总结 (菁华3篇)（扩展6）

——数学必修一知识点 (菁华5篇)

　　一、集合有关概念

　　1.集合的含义

　　2.集合的中元素的三个特性：

　　(1)元素的确定性如：世界上最高的山

　　(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

　　(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

　　3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太*洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

　　(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

　　注意：常用数集及其记法

　　非负整数集(即自然数集)记作：N

　　正整数集：Nx或N+

　　整数集：Z

　　有理数集：Q

　　实数集：R

　　1)列举法：{a,b,c……}

　　2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

　　3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4)Venn图:

　　4、集合的分类：

　　(1)有限集含有有限个元素的集合

　　(2)无限集含有无限个元素的集合

　　(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

　　二、集合间的基本关系

　　1.“包含”关系—子集

　　注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

　　2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)

　　实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”

　　即：①任何一个集合是它本身的子集。AíA

　　②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

　　③如果AíB,BíC,那么AíC

　　④如果AíB同时BíA那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　4.子集个数：

　　有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集

　　三、集合的运算

　　运算类型交集并集补集

　　定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.

　　由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：AB(读作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).

　　基本初等函数

　　一、指数函数

　　(一)指数与指数幂的运算

　　1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(nthroot)，其中>1，且∈x.

　　当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).

　　当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。

　　注意：当是奇数时，当是偶数时，

　　2.分数指数幂

　　正数的分数指数幂的意义，规定：

　　0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

　　指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.

　　3.实数指数幂的运算性质

　　(二)指数函数及其性质

　　1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.

　　注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

　　2、指数函数的图象和性质

　　函数的应用

　　1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

　　2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：

　　方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.

　　3、函数零点的求法：

　　求函数的零点：

　　1(代数法)求方程的实数根;

　　2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

　　4、二次函数的零点：

　　二次函数.

　　1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.

　　2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.

　　3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.

　　数学向量知识点

　　1.向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.

　　2.几个概念：零向量、单位向量(与共线的单位向量是，*行(共线)向量(无传递性，是因为有)、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影(在上的投影是).

　　3.两非零向量*行(共线)的充要条件

　　4.*面向量的基本定理：如果e1和e2是同一*面内的两个不共线向量，那么对该*面内的任一向量a，有且只有一对实数，使a= e1+ e2.

　　5.三点共线;

　　怎么学好数学

　　1、要有学*数学的兴趣。“兴趣是最好的老师”。做任何事情，只要有兴趣，就会积极、主动去做，就会想方设法把它做好。但培养数学兴趣的关键是必须先掌握好数学基础知识和基本技能。有的同学老想做难题，看到别人上数奥班，自己也要去。如果这些同学连课内的基础知识都掌握不好，在里面学*只能滥竽充数，对学*并没有帮助，反而使自己失去学*数学的信心。我建议同学们可以看一些数学名人小故事、趣味数学等知识来增强学*的自信心。

　　2、要有端正的学*态度。首先，要明确学*是为了自己，而不是为了老师和父母。因此，上课要专心、积极思考并勇于发言。其次，回家后要认真完成作业，及时地把当天学*的知识进行复*，再把明天要学的内容做一下预*，这样，学起来会轻松，理解得更加深刻些。

　　3、要有“持之以恒”的精神。要使学*成绩提高，不能着急，要一步一步地进行，不要指望一夜之间什么都学会了。即使进步慢一点，只要坚持不懈，也一定能在数学的学*道路上获得成功!还要有“不耻下问”的精神，不要怕丢面子。其实无论知识难易，只要学会了，弄懂了，那才是最大的面子!

　　高一数学集合有关概念

　　集合的含义

　　集合的中元素的三个特性：

　　元素的确定性如：世界上的山

　　元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H，A，P，Y}

　　元素的无序性：如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一个集合

　　3。集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太*洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

　　用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}

　　集合的表示方法：列举法与描述法。

　　注意：常用数集及其记法：

　　非负整数集（即自然数集）记作：N

　　正整数集N_N+整数集Z有理数集Q实数集R

　　列举法：{a，b，c……}

　　描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x（R|x—3>2}，{x|x—3>2}

　　语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　Venn图：

　　4、集合的分类：

　　有限集含有有限个元素的集合

　　无限集含有无限个元素的集合

　　空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝

　　一、集合有关概念

　　1、集合的含义

　　2、集合的中元素的三个特性：

　　（1）元素的确定性如：世界上最高的山

　　（2）元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H，A，P，Y}

　　（3）元素的无序性：如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一个集合

　　3、集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太*洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

　　（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}

　　（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

　　注意：常用数集及其记法：XKb1、Com

　　非负整数集（即自然数集）记作：N

　　正整数集：Nx或N+

　　整数集：Z

　　有理数集：Q

　　实数集：R

　　1）列举法：{a，b，c……}

　　2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x？R|x—3>2}，{x|x—3>2}

　　3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4）Venn图：

　　4、集合的分类：

　　（1）有限集含有有限个元素的集合

　　（2）无限集含有无限个元素的集合

　　（3）空集不含任何元素的集合

　　二、集合间的基本关系

　　1、“包含”关系—子集

　　注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

　　反之：集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，记作AB或BA

　　2、“相等”关系：A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）

　　实例：设A={x|x2—1=0}B={—1，1}“元素相同则两集合相等”

　　即：①任何一个集合是它本身的子集。A？A

　　②真子集：如果A？B，且A？B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

　　③如果A？B，B？C，那么A？C

　　④如果A？B同时B？A那么A=B

　　3、不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　4、子集个数：

　　有n个元素的集合，含有2n个子集，2n—1个真子集，含有2n—1个非空子集，含有2n—1个非空真子集

　　三、集合的运算

　　运算类型交集并集补集

　　定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集、记作AB（读作‘A交B’），即AB={x|xA，且xB｝、

　　由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集、记作：AB（读作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB}）、

　　数学的学*方法

　　1、养成良好的学*数学*惯。建立良好的学*数学*惯，会使自己学*感到有序而轻松。高中数学的良好*惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学*数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。良好的学*数学*惯包括课前自学、专心上课、及时复*、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学*几个方面。

　　2、及时了解、掌握常用的数学思想和方法，学好高中数学，需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学*要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。

　　数学一元二次方程知识点

　　（1）一元二次方程的定义

　　等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

　　注意一下几点：

　　①只含有一个未知数；

　　②未知数的最高次数是2；

　　③是整式方程。

　　（2）一元二次方程的一般形式

　　一般形式：

　　ax2+ bx + c = 0（a ≠0）、

　　其中，ax2是二次项，a是二次项系数；

　　bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

　　（3）一元二次方程的根

　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

　　⑴如果数列{a}是公比为q的等比数列，那么，它的前n项和公式是S=

　　也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处。因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论。

　　⑵当已知a，q，n时，用公式S=；当已知a，q，a时，用公式S=。

　　⑶若S是以q为公比的等比数列，则有S=S+qS。⑵

　　⑷若数列{a}为等比数列，则S，S—S，S—S，…仍然成等比数列。

　　⑸若项数为3n的等比数列（q≠—1）前n项和与前n项积分别为S与T，次n项和与次n项积分别为S与T，最后n项和与n项积分别为S与T，则S，S，S成等比数列，T，T，T亦成等比数列

　　万能公式：sin2α=2tanα/（1+tan^2α）（注：tan^2α是指tan*方α）

　　cos2α=（1—tan^2α）/（1+tan^2α）tan2α=2tanα/（1—tan^2α）

　　升幂公式：1+cosα=2cos^2（α/2）1—cosα=2sin^2（α/2）1±sinα=（sin（α/2）±cos（α/2））^2

　　降幂公式：cos^2α=（1+cos2α）/2sin^2α=（1—cos2α）/21）sin（2kπ+α）=sinα，cos（2kπ+α）=cosα，tan（2kπ+α）=tanα，cot（2kπ+α）=cotα，其中k∈Z；

　　（2）sin（—α）=—sinα，cos（—α）=cosα，tan（—α）=—tanα，cot（—α）=—cotα

　　（3）sin（π+α）=—sinα，cos（π+α）=—cosα，tan（π+α）=tanα，cot（π+α）=cotα

　　（4）sin（π—α）=sinα，cos（π—α）=—cosα，tan（π—α）=—tanα，cot（π—α）=—cotα

　　（5）sin（π/2—α）=cosα，cos（π/2—α）=sinα，tan（π/2—α）=cotα，cot（π/2—α）=tanα

　　（6）sin（π/2+α）=cosα，cos（π/2+α）=—sinα，

　　tan（π/2+α）=—cotα，cot（π/2+α）=—tanα

　　（7）sin（3π/2+α）=—cosα，cos（3π/2+α）=sinα，

　　tan（3π/2+α）=—cotα，cot（3π/2+α）=—tanα

　　（8）sin（3π/2—α）=—cosα，cos（3π/2—α）=—sinα，

　　tan（3π/2—α）=cotα，cot（3π/2—α）=tanα（k·π/2±α），其中k∈Z

　　注意：为方便做题，*惯我们把α看成是一个位于第一象限且小于90°的角；

　　当k是奇数的时候，等式右边的三角函数发生变化，如sin变成cos。偶数则不变；

　　用角（k·π/2±α）所在的象限确定等式右边三角函数的正负。例：tan（3π/2+α）=—cotα

　　∵在这个式子中k=3，是奇数，因此等式右边应变为cot

　　又，∵角（3π/2+α）在第四象限，tan在第四象限为负值，因此为使等式成立，等式右边应为—cotα。三角函数在各象限中的正负分布

　　sin：第一第二象限中为正；第三第四象限中为负cos：第一第四象限中为正；第二第三象限中为负cot、tan：第一第三象限中为正；第二第四象限中为负。

　　1、对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

　　中元素各表示什么？

　　注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

　　空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

　　3、注意下列性质：

　　（3）德摩根定律：

　　4、你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

　　的取值范围。

　　6、命题的四种形式及其相互关系是什么？

　　（互为逆否关系的命题是等价命题。）

　　原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

　　7、对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的性，哪几种对应能构成映射？

　　（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

　　8、函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

　　（定义域、对应法则、值域）

　　9、求函数的定义域有哪些常见类型？

　　10、如何求复合函数的定义域？

　　义域是_____________。

　　11、求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

　　12、反函数存在的条件是什么？

　　（一一对应函数）

　　求反函数的步骤掌握了吗？

　　（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

　　13、反函数的性质有哪些？

　　①互为反函数的图象关于直线y=x对称；

数学必修一必修二知识点总结 (菁华3篇)（扩展7）

——数学必修四知识点菁选

数学必修四知识点(15篇)

　　在我们*凡无奇的学生时代，是不是经常追着老师要知识点？知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练*我能掌握”的内容。你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗？以下是小编整理的数学必修四知识点，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

　　问题提出

　　函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量,如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系.

　　在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好,那么你的物理学*就不会有什么大问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系,我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量,那么这两个变量之间的关系是函数关系吗?

　　我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少,学*兴趣、学*时间、教学水*等,也是影响物理成绩的一些因素,但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系,有必要从理论上作些探讨,如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计,将有着非常重要的现实意义.

　　知识探究(一)：变量之间的相关关系

　　思考1:考察下列问题中两个变量之间的关系:

　　(1)商品销售收入与广告支出经费;

　　(2)粮食产量与施肥量;

　　(3)人体内的脂肪含量与年龄.

　　这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗?

　　思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水*越高，学生的水*就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水*之间的关系是函数关系吗?你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗?

　　思考3:上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系,称之为相关关系,那么相关关系的含义如何?

　　自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.

　　1、球的体积和球的半径具有()

　　A函数关系B相关关系

　　C不确定关系D无任何关系

　　2、下列两个变量之间的关系不是

　　函数关系的是()

　　A角的度数和正弦值

　　B速度一定时，距离和时间的关系

　　C正方体的棱长和体积

　　D日照时间和水稻的亩产量AD练:知识探究(二)：散点图

　　【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据:

　　其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本*均数.

　　思考1:对某一个人来说,他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少,但是如果把很多个体放在一起，就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据,大体上看,随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化?

　　思考2:为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系,我们需要对数据进行分析,通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含量,你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗?

　　思考3：上图叫做散点图，你能描述一下散点图的含义吗?

　　在*面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.

　　思考4:观察散点图的大致趋势,人的年龄的'与人体脂肪含量具有什么相关关系?

　　思考5：在上面的散点图中,这些点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.一般地,如果两个变量成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何?

　　思考6：如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何?其散点图有什么特点?

　　一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.

　　一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关，类似于函数的单调性.

　　知识探究(一)：回归直线

　　思考1:一组样本数据的*均数是样本数据的中心,那么散点图中样本点的中心如何确定?它一定是散点图中的点吗?

　　思考2:在各种各样的散点图中,有些散点图中的点是杂乱分布的,有些散点图中的点的分布有一定的规律性,年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点?

　　这些点大致分布在一条直线附*.

　　思考3:如果散点图中的点的分布,从整体上看大致在一条直线附*,则称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.对具有线性相关关系的两个变量,其回归直线一定通过样本点的中心吗?

　　思考4:对一组具有线性相关关系的样本数据,你认为其回归直线是一条还是几条?

　　思考5:在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线?借助计算机怎样画出回归直线?

　　知识探究(二)：回归方程

　　在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计.

　　思考1：回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系?

　　整体上最接*

　　思考2:对于求回归直线方程，你有哪些想法?

　　思考4：为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接*程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适%某小卖部为了了解热茶销售量与气温

　　之间的关系，随机统计并制作了某6天

　　卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：

　　如果某天的气温是-50C，你能根据这些

　　数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗?

　　实例探究

　　为了了解热茶销量与

　　气温的大致关系,我们

　　以横坐标x表示气温，

　　纵坐标y表示热茶销量，

　　建立直角坐标系.将表

　　中数据构成的6个数对

　　表示的点在坐标系内

　　标出，得到下图。

　　你发现这些点有什么规律?

　　今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).

　　建构数学

　　所以,我们用类似于估计*均数时的

　　思想,考虑离差的*方和

　　当x=-5时，热茶销量约为66杯

　　线性回归方程：

　　一般地,设有n个观察数据如下：当a,b使三点(3,10),(7,20),(11,24)的

　　线性回归方程是()

　　二、求线性回归方程

　　例2：观察两相关变量得如下表：

　　求两变量间的回归方程解1：列表：

　　阅读课本P73例1

　　EXCEL作散点图

　　利用线性回归方程解题步骤：

　　1、先画出所给数据对应的散点图;

　　2、观察散点，如果在一条直线附*，则说明所给量具有线性相关关系

　　3、根据公式求出线性回归方程，并解决其他问题。

　　(1)如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值;(2)分别说明以上两个模型是确定性

　　模型还是随机模型.

　　模型1：y=6+4x;模型2：y=6+4x+

　　解(1)模型1：y=6+4x=6+4×3=18;

　　模型2：y=6+4x+e=6+4×3+线性相关与线性回归方程小结1、变量间相关关系的散点图

　　2、如何利用“最小二乘法”思想求直线的回归方程

　　3、学会用回归思想考察现实生活中变量之间的相关关系

　　一】

　　a（1）=a，a（n）为公差为r的等差数列

　　通项公式：

　　a（n）=a（n—1）+r=a（n—2）+2r=...=a[n—（n—1）]+（n—1）r=a（1）+（n—1）r=a+（n—1）r。

　　可用归纳法证明。

　　n=1时，a（1）=a+（1—1）r=a。成立。

　　假设n=k时，等差数列的通项公式成立。a（k）=a+（k—1）r

　　则，n=k+1时，a（k+1）=a（k）+r=a+（k—1）r+r=a+[（k+1）—1]r。

　　通项公式也成立。

　　因此，由归纳法知，等差数列的通项公式是正确的。

　　求和公式：

　　S（n）=a（1）+a（2）+...+a（n）

　　=a+（a+r）+...+[a+（n—1）r]

　　=na+r[1+2+...+（n—1）]

　　=na+n（n—1）r/2

　　同样，可用归纳法证明求和公式。

　　a（1）=a，a（n）为公比为r（r不等于0）的等比数列

　　通项公式：

　　a（n）=a（n—1）r=a（n—2）r^2=...=a[n—（n—1）]r^（n—1）=a（1）r^（n—1）=ar^（n—1）。

　　可用归纳法证明等比数列的通项公式。

　　求和公式：

　　S（n）=a（1）+a（2）+...+a（n）

　　=a+ar+...+ar^（n—1）

　　=a[1+r+...+r^（n—1）]

　　r不等于1时，

　　S（n）=a[1—r^n]/[1—r]

　　r=1时，

　　S（n）=na。

　　同样，可用归纳法证明求和公式。

　　二】

　　符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。

　　轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）。

　　【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

　　一、求动点的轨迹方程的基本步骤

　　⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标；

　　⒉写出点M的集合；

　　⒊列出方程=0；

　　⒋化简方程为最简形式；

　　⒌检验。

　　二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

　　⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

　　⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

　　⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

　　⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

　　⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

　　译法：求动点轨迹方程的一般步骤

　　①建系——建立适当的坐标系；

　　②设点——设轨迹上的任一点P（x，y）；

　　③列式——列出动点p所满足的关系式；

　　④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简；

　　⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

　　高考数学必修四学*方法

　　1、先看笔记后做作业。

　　有的同学感到，老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是为什么你这么做有那么多困难呢？原因是学生对教师所说的理解没有达到教师要求的水*。

　　因此，每天做作业之前，我们必须先看一下课本的相关内容和当天的课堂笔记。能否如此坚持，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其是当练*不匹配时，老师通常没有刚刚讲过的练*类型，因此它们不能被比较和消化。如果你不重视这个实施，在很长一段时间内，会造成很大的损失。

　　2、做题之后加强反思。

　　学生一定要明确，现在正做着的题，一定不是考试的题目。但使用现在做主题的解决问题的思路和方法。因此，我们应该反思我们所做的每一个问题，并总结我们自己的收获。

　　要总结出：这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串。日复一日，建立科学的网络系统的内容和方法。俗话说：有钱难买回头看。做完作业，回头细看，价值极大。这一回顾，是学*过程中一个非常重要的环节。

　　高考数学必修四学*技巧

　　1、科学的预*方法

　　预*中发现的难点，就是听课的重点；对预*中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减听课过程中的`困难；有助于提高思维能力，预*后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水*；预*后将课本的例题及老师要讲授的*题提前完成，还可以培养自己的自学能力，与老师的方法进行比较，可以发现更多的方法与技巧。总之，这样会使你的听课更加有的放矢，你会知道哪些该重点听，哪些该重点记。

　　2、科学的听课方式

　　听课的过程不是一个被动参预的过程，要全身心地投入课堂学*，耳到、眼到、心到、口到、手到。还要想在老师前面，不断思考：面对这个问题我会怎么想？当老师讲解时，又要思考：老师为什么这样想？这里用了什么思想方法？这样做的目的是什么？这个题有没有更好的方法？问题多了，思路自然就开阔了。

　　3、科学的记录笔记

　　记问题——将课堂上未听懂的问题及时记下来，便于课后请教同学或老师，把问题弄懂弄通。

　　记疑点——对老师在课堂上讲的内容有疑问应及时记下，这类疑点，有可能是自己理解错造成的，也有可能是老师讲课疏忽大意造成的，记下来后，便于课后与老师商榷。

　　记方法——勤记老师讲的解题技巧、思路及方法，这对于启迪思维，开阔视野，开发智力，培养能力，并对提高解题水*大有益处。

　　记总结——注意记住老师的课后总结，这对于浓缩一堂课的内容，找出重点及各部分之间的联系，掌握基本概念、公式、定理，寻找存在问题、找到规律，融会贯通课堂内容都很有作用。

　　1、*面向量基本概念

　　有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB；

　　向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|；

　　零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）；

　　相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；

　　*行向量（共线向量）：两个方向相同或相反的非零向量叫做*行向量或共线向量，零向量与任意向量*行，即0//a；

　　单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示，*行于坐标轴的单位向量*惯上分别用i、j表示。

　　相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，—（—a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

　　2、*面向量运算

　　加法与减法的.代数运算：

　　（1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2）则a b=（x1+x2，y1+y2）。

　　向量加法与减法的几何表示：*行四边形法则、三角形法则。

　　向量加法有如下规律：+ = +（交换律）；+（+c）=（+）+c（结合律）；

　　实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。

　　（1）| |=| |·| |；

　　（2）当a>0时，与a的方向相同；当a<0时，与a的方向相反；当a=0时，a=0。

　　两个向量共线的充要条件：

　　（1）向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= 。

　　（2）若=（），b=（）则‖b 。

　　3、*面向量基本定理

　　若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量，那么对于这一*面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得= e1+ e2。

　　4、*面向量有关推论

　　三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。

　　若O是三角形ABC的外心，点M满足OA+OB+OC=OM，则M是三角形ABC的垂心。

　　若O和三角形ABC共面，且满足OA+OB+OC=0，则O是三角形ABC的重心。

　　三点共线：三点A，B，C共线推出OA=μOB+aOC（μ+a=1）

　　1.向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。

　　2.规定若线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。具有方向和长度的线段叫做有向线段。

　　3.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。

　　注：向量的模是非负实数，是可以比较大小的。因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

　　4.单位向量：长度为一个单位(即模为1)的向量，叫做单位向量.与向量a同向，且长度为单位1的.向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0。

　　5.长度为0的向量叫做零向量，记作0。零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。

　　向量的计算

　　1.加法

　　交换律：a+b=b+a;

　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

　　2.减法

　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0

　　加减变换律：a+(-b)=a-b

　　3.数量积

　　定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作θ并规定0≤θ≤π

　　向量的数量积的运算律

　　a·b=b·a(交换律)

　　(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)

　　(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)

　　向量的数量积的性质

　　a·a=|a|的*方。

　　a⊥b〈=〉a·b=0。

　　|a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|)

　　高中学好数学的方法是什么

　　数学需要沉下心去做，浮躁的人很难学好数学，踏踏实实做题才是硬道理。

　　数学要想学好，不琢磨是行不通的，遇到难题不能躲，研究明白了才能罢休。

　　数学最主要的就是解题过程，懂得数学思维很关键，思路通了，数学自然就会了。

　　数学不是用来看的，而是用来算的，或许这一秒没思路，当你拿起笔开始计算的那一秒，就豁然开朗了。

　　数学题目不会做，原因之一就是例题没研究明白，所以数学书上的例题绝对不要放过。

　　数学函数的奇偶性知识点

　　1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).

　　正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).

　　2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。

　　复数的概念：

　　形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。

　　复数的表示：

　　复数通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。

　　复数的几何意义：

　　（1）复*面、实轴、虚轴：

　　点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi（a、b∈R）可用点Z（a，b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的*面叫做复*面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

　　（2）复数的几何意义：复数集C和复*面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

　　这是因为，每一个复数有复*面内惟一的一个点和它对应；反过来，复*面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

　　这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

　　复数的模：

　　复数z=a+bi（a、b∈R）在复*面上对应的点Z（a，b）到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=

　　虚数单位i：

　　（1）它的`*方等于—1，即i2=—1；

　　（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

　　（3）i与—1的关系：i就是—1的一个*方根，即方程x2=—1的一个根，方程x2=—1的另一个根是—i。

　　（4）i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=—1，i4n+3=—i，i4n=1。

　　复数模的性质：

　　复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

　　对于复数a+bi（a、b∈R），当且仅当b=0时，复数a+bi（a、b∈R）是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0。

　　两个复数相等的定义：

　　如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di

　　a=c，b=d。特殊地，a，b∈R时，a+bi=0

　　a=0，b=0。

　　复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。

　　复数相等特别提醒：

　　一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小，也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。

　　解复数相等问题的方法步骤：

　　（1）把给的复数化成复数的标准形式；

　　（2）根据复数相等的充要条件解之。

　　数学学*技巧

　　1、做好预*：

　　单元预*时粗读，了解*阶段的学*内容，课时预*时细读，注重知识的形成过程，对难以理解的概念、公式和法则等要做好记录，以便带着问题听课。

　　2、认真听课：

　　听课应包括听、思、记三个方面。听，听知识形成的来龙去脉，听重点和难点，听例题的解法和要求。思，一是要善于联想、类比和归纳，二是要敢于质疑，提出问题。记，指课堂笔记——记方法，记疑点，记要求，记注意点。

　　3、认真解题：

　　课堂练*是最及时最直接的反馈，一定不能错过。不要急于完成作业，要先看看你的笔记本，回顾学*内容，加深理解，强化记忆。

　　4、及时纠错：

　　课堂练*、作业、检测，反馈后要及时查阅，分析错题的原因，必要时强化相关计算的训练。不明白的问题要及时向同学和老师请教了，不能将问题处于悬而未解的状态，养成今日事今日毕的好*惯。

　　数学中的合数是什么意思？

　　合数的概念

　　合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是4。其中，完全数与相亲数是以它为基础的。

　　什么是质数

　　质数又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。

　　根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。

　　质数和合数应用

　　1、质数与密码学：所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。

　　2、质数与变速箱：在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。

　　不等式

　　不等关系

　　了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.

　　(2)一元二次不等式

　　①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.

　　②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.

　　③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.

　　(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题

　　①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

　　②了解二元一次不等式的`几何意义,能用*面区域表示二元一次不等式组.

　　③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.

　　(4)基本不等式：

　　①了解基本不等式的证明过程.

　　②会用基本不等式解决简单的(小)值问题圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

　　一、两个定理

　　1、共线向量定理：

　　两向量共线(*行)等价于两个向量满足数乘关系(与实数相乘的向量不是零向量)，且数乘系数唯一。用坐标形式表示就是两向量共线则两向量坐标的“内积等于外积”。此定理可以用来证向量*行或者使用向两*行的条件。此定理的延伸是三点共线!三点共线可以向两个向量的等式转化：1.三个点中任意找两组点构成的两个向量共线，满足数乘关系;2.以同一个点为始点、三个点为终点构造三个向量，其中一个可由另外两个线性表示，且系数和为1。

　　2、*面向量基本定理：

　　*面内两个不共线的向量可以线性表示任何一个向量，且系数唯一。这两个不共线的向量构成一组基底，这两个向量叫基向量。此定理的作用有两个：1.可以统一题目中向量的形式;2.可以利用系数的唯一性求向量的系数(固定的算法模式)。

　　二、三种形式

　　*面向量有三种形式，字母形式、几何形式、坐标形式。字母形式要注意带箭头，多考虑几何形式画图解题，特别是能得到特殊的三角形和四边形的情况，向量的坐标和点的坐标不要混淆，向量的坐标是其终点坐标减始点坐标，特殊情况下，若始点在原点，则向量的坐标就是终点坐标。

　　选择合适的向量形式解决问题是解题的一个关键，优先考虑用几何形式画图做，然后是坐标形式，最后考虑字母形式的变形运算。

　　三、四种运算

　　加、减、数乘、数量积。前三种运算是线性运算，结果是向量(0乘以任何向量结果都是零向量，零向量乘以任何实数都是零向量);数量积不是线性运算，结果是实数(零向量乘以任何向量都是0)。线性运算符合所有的实数运算律，数量积不符合消去律和结合律。

　　向量运算也有三种形式：字母形式、几何形式和坐标形式。

　　加减法的字母形式注意首尾相接和始点重合。数量积的字母形式公式很重要，要能熟练灵活的使用。

　　加减法的几何意义是*行四边形和三角形法则，数乘的几何意义是长度的伸缩和方向的共线，数量积的几何意义是一个向量的模乘以另一个向量在第一个向量方向上的射影的数量。向量的夹角用尖括号表示，是两向量始点重合或者终点重合时形成的角，首尾相接形成的角为向量夹角的补角。射影数量有两种求法：1.向量的模乘以夹角余弦;2.两向量数量积除以另一向量的模。

　　加减法的坐标形式是横纵坐标分别加减，数乘的坐标形式是实数乘以横、纵坐标，数量积的坐标形式是横坐标的乘积加纵坐标的乘积。

　　四、五个应用

　　求长度、求夹角、证垂直、证*行、向量和差积的模与模的和差积的关系。前三个应用是数量积的运算性质，证*行的数乘运算性质，零向量不能说和哪个向量方向相同或相反，规定零向量和任意向量都*行且都垂直;一个向量乘以自己再开方就是长度;两个向量数量积除以模的乘积就是夹角的余弦;两个向量满足数乘关系则必定共线(*行)。一个向量除以自己的模得到和自己同方向的.单位向量，加符号是反方向的单位向量

　　数学函数的值域与最值知识点

　　1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

　　(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.

　　(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.

　　(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.

　　(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.

　　(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧.

　　(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.

　　(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.

　　(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.

　　2、求函数的最值与值域的区别和联系

　　求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.

　　如函数的值域是(0，16]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.

　　3、函数的最值在实际问题中的应用

　　函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.

　　解三角形

　　(1)正弦定理和余弦定理

　　掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

　　(2)应用

　　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

　　数列

　　(1)数列的概念和简单表示法

　　①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

　　②了解数列是自变量为正整数的一类函数.

　　(2)等差数列、等比数列

　　①理解等差数列、等比数列的概念.

　　②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.

　　③能在具体的问题情境中,识别数列的.等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.

　　④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.

　　一、夯实数学基础的方法

　　首先课堂紧跟老师，认真听每一节课，记好课堂笔记，有些学生喜欢自己课后自学，课堂不爱听讲，这是极错误的，因为老师对于高考的了解和对知识的掌握，远远胜过我们自学，紧跟老师是打好基础最关键的一步。

　　对课本基础知识的学*，我们强烈建议大家使用思维导图，可以把课本上的知识都画成树状层，这样更容易理解、记忆，这样知识点不再是孤立而是成了一个网，这比光看书效果要好很多很多。

　　二、数学正确的做题方法

　　想学好数学，大量做题确实很有必要，但你真的会做题吗？多数同学虽然也做了大量的题目，但成绩还是不好，核心原因就是做题忽略了最重要的一步，那就是总结反思。每做完一道题目，大家还需要总结一下，问一下自己下面这些问题：它考查了哪些知识、自己有没有掌握、题目的'解题思路在哪里、突破口是什么、属于哪种题型、此类题型有什么共同的套路、此类题型应该用什么方法来解答。只有多问自己几个为什么，你才能真正吃透一道题，达到做一道题会一类题。

　　做题并不是越多越好，要知道题海战术只是手段，我们最终的目的还是通过做题加深对知识的理解，掌握解题套路，提高做题速度，如果做题不总结，你刷再多题效果也不会明显。

　　一1.正弦、余弦公式的逆向思维

　　对于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)这样的形式，运用逆向思维，化解为：

　　cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α)

　　2.正切公式的逆向思维。

　　比如，由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)]

　　可得：

　　tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)]

　　[1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β)

　　tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β)

　　3.二倍角公式的灵活转化

　　比如：1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α)

　　=[sin(α)+cos(α)]2

　　cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)]

　　cos2(α)=[1+cos(2α)]/2

　　sin2(α)=[1-cos(2α)]/2

　　1+cos(α)=2cos2(α/2)

　　1-cos(α)=2sin2(α/2)

　　sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α)

　　sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α)

　　4.两角和差正弦、余弦公式的相加减、相比。

　　比如：

　　sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)……1

　　sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)……2

　　1式+2式，得到

　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin(α)cos(β)

　　1式-2式，得到

　　sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β)

　　1式比2式，得到

　　sin(α+β)/sin(α-β)=[sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)]/ [sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)]

　　=[tαn(α)+tαn(β)] / [tαn(α)-tαn(β)]

　　我们来看两道例题，增加印象。

　　1.已知cos(α)=1/7,cos(α-β)=13/14,且0<β<α<π/2,求β

　　本题中，α-β∈(0,π/2)

　　sin(α)=4√3/7 sin(α-β)=3√3/14

　　cos(β)=cos[α-(α-β)]=cos(α)cos(α-β)+sin(α)sin(α-β)

　　=1/2

　　β=π/3

　　2.已知3sin2(α)+2sin2(β)=1,3sin(2α)-2sin(2β)=0,且α,β都是锐角。求α+2β

　　由3sin2(α)+2sin2(β)=1得到：

　　1-2sin2(β)=cos(2β)=3sin2(α)

　　由3sin(2α)-2sin(2β)=0得到：

　　sin(2β)=3sin(2α)/2

　　cos(α+2β)=cos(α)cos(2β)-sin(α)sin(2β)

　　=cos(α)3sin2(α)-sin(α)3sin(2α)/2

　　=3sin2(α)cos(α)-3cos(α)sin2(α)

　　=0

　　加之0<α+2β<270o

　　α+2β=90o

　　二轨迹知识点

　　符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.

　　轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).

　　【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

　　一、求动点的轨迹方程的基本步骤

　　⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;

　　⒉写出点M的集合;

　　⒊列出方程=0;

　　⒋化简方程为最简形式;

　　⒌检验。

　　求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的`有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

　　⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

　　⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

　　⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

　　⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

　　⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

　　_直译法：求动点轨迹方程的一般步骤

　　①建系——建立适当的坐标系;

　　②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);

　　③列式——列出动点p所满足的关系式;

　　④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;

　　⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

　　学好数学窍门是什么

　　文科中的科目大部分都是需要理解记忆的，数学其实也是如此，只不过是需要理解做题，勤加锻炼自己的思维能力，面对数学题的时候，从多方面的去思考，数学学没学好其实也体现在每次考试的成绩上，有一些同学*时会觉得自己成绩不错，但是到了考试，成绩并不是很好，这一部分原因是由于你的基础知识不扎实，还是一部分原因是由于你在面对考试的时候，心态差。

　　魏德武速算

　　1，加法速算：计算任意位数的加法速算，方法很简单学*者只要熟记一种加法速算通用口诀 ——“本位相加(针对进位数) 减加补，前位相加多加一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的加法速算方法，比如：(1)67+48=(6+5)×10+(7-2)=115(2)758+496=(7+5)×100+(5-0)×10+8-4=1254即可。

　　2，减法速算：计算任意位数的减法速算方法也同样是用一种减法速算通用口诀 ——“本位相减(针对借位数) 加减补，前位相减多减一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的减法速算方法，比如：(1)，67-48=(6-5)×10+(7+2)=19，(2)，758-496=(7-5)×100+(5+1)×10+8-6=262即可。

　　3，乘法速算：魏氏乘法速算通用公式：ab×cd=(a+1)×c×100+b×d+魏氏速算嬗数×10。

　　*面向量

　　戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算：

　　(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).

　　向量加法与减法的几何表示：*行四边形法则、三角形法则。

　　戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律：+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);

　　两个向量共线的充要条件：

　　(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= .

　　(2) 若=(),b=()则‖b .

　　*面向量基本定理：

　　若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量，那么对于这一*面内的任一向量，戴氏航天学校老师提醒有且只 有一对实数，，使得= e1+ e2

　　高考数学必修四学*方法

　　养成良好的课前和课后学**惯：在当前高中数学学*中，培养正确的学**惯是一项重要的学*技能。虽然有一种刻板印象的猜疑，但在高中数学学*真的是反复尝试和错误的。学生们不得不预*课本。我准备的数学教科书不是简单的阅读，而是一个例子，至少十分钟的思考。在使用前不能通过学*知识解决问题的情况下，可以在教学内容中找到答案，然后在教材中考察问题的解决过程，掌握解决问题的思路。同时，在课堂上安排笔记也是必要的。在高中数学研究中，建议采用两种形式的笔记，一种是课堂速记，另一种是课后笔记。这不仅提高了课堂记忆的吸收能力，而且有助于对笔记内容的查询。

　　高考数学必修四学*技巧

　　养成良好的学*数学*惯

　　多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学*数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的'脑海中。良好的学*数学*惯包括课前自学、专心上课、及时复*、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学*几个方面。

　　及时了解、掌握常用的数学思想和方法

　　中学数学学*要重点掌握的的数学思想有以上几个：集合与对应思想，分类讨论思想，数形结合思想，运动思想，转化思想，变换思想。

　　有了数学思想以后，还要掌握具体的方法，比如：换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中，常用的有：观察与实验，联想与类比，比较与分类，分析与综合，归纳与演绎，一般与特殊，有限与无限，抽象与概括等。

　　正弦函数

　　主词条：正弦函数。

　　格式：sin（θ）。

　　作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数。

　　函数图像：波形曲线。

　　值域：-1~1。

　　余弦函数

　　主词条：余弦函数。

　　格式：cos（θ）。

　　作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数。

　　函数图像：波形曲线。

　　值域：-1~1。

　　正切函数

　　主词条：正切函数。

　　格式：tan（θ）。

　　作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。

　　函数图像：右图*面直角坐标系反映。

　　值域：-∞~∞。

　　余切函数

　　主词条：余切函数。

　　格式：cot（θ）。

　　作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数。

　　函数图像：右图*面直角坐标系反映。

　　值域：-∞~∞。

　　正割函数

　　主词条：正割函数。

　　格式：sec（θ）。

　　作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数。

　　函数图像：右图*面直角坐标系反映。

　　值域：≥1或≤-1。

　　余割函数

　　主词条：余割函数。

　　格式：csc（θ）。

　　作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数。

　　函数图像：右图*面直角坐标系反映。

　　值域：≥1或≤-1。

　　学数学的用处

　　第一，实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。就大多数情况来看，不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动，能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。

　　第二，数学可以使你的大脑变得更加聪明，增加你思维的严谨性，另外，数学对你其它科目的学*也有很大作用。

　　第三，数学无处不在，工作学*中都用得着，例如日常逛街买东西都是和数学有关的，这时候才能体会到学*数学的好处。

　　数学函数的解析式与定义域知识点

　　1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型：

　　（1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑；

　　（2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可。如：

　　①分式的'分母不得为零；

　　②偶次方根的被开方数不小于零；

　　③对数函数的真数必须大于零；

　　④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

　　⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。

　　应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）。

　　（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可。

　　已知f（x）的定义域是[a，b]，求f[g（x）]的定义域是指满足a≤g（x）≤b的x的取值范围，而已知f[g（x）]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f（x）的定义域，即g（x）的值域。 2、求函数的解析式一般有四种情况

　　（1）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式。

　　（2）有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法。比如函数是一次函数，可设f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可。

　　（3）若题设给出复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法求函数f（x）的表达式，这时必须求出g（x）的值域，这相当于求函数的定义域。

　　（4）若已知f（x）满足某个等式，这个等式除f（x）是未知量外，还出现其他未知量（如f（-x），等），必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f（x）的表达式。

　　【公式一】

　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin（2kπ+α）=sinα（k∈Z）

　　cos（2kπ+α）=cosα（k∈Z）

　　tan（2kπ+α）=tanα（k∈Z）

　　cot（2kπ+α）=cotα（k∈Z）

　　【公式二】

　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π+α）=—sinα

　　cos（π+α）=—cosα

　　tan（π+α）=tanα

　　cot（π+α）=cotα

　　【公式三】

　　任意角α与—α的三角函数值之间的关系：

　　sin（—α）=—sinα

　　cos（—α）=cosα

　　tan（—α）=—tanα

　　cot（—α）=—cotα

　　【公式四】

　　利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的`关系：

　　sin（π—α）=sinα

　　cos（π—α）=—cosα

　　tan（π—α）=—tanα

　　cot（π—α）=—cotα

　　【公式五】

　　利用公式一和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（2π—α）=—sinα

　　cos（2π—α）=cosα

　　tan（2π—α）=—tanα

　　cot（2π—α）=—cotα

　　一、立体几何初步

　　(1)棱柱：

　　定义：有两个面互相*行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相*行，由这些面所围成的几何体。

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

　　表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱

　　几何特征：两底面是对应边*行的全等多边形;侧面、对角面都是*行四边形;侧棱*行且相等;*行于底面的截面是与底面全等的多边形。

　　(2)棱锥

　　定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

　　表示：用各顶点字母，如五棱锥

　　几何特征：侧面、对角面都是三角形;*行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的*方。

　　(3)棱台：

　　定义：用一个*行于棱锥底面的*面去截棱锥，截面和底面之间的部分

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

　　表示：用各顶点字母，如五棱台

　　几何特征：①上下底面是相似的*行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

　　(4)圆柱：

　　定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

　　几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴*行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

　　(5)圆锥：

　　定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体

　　几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

　　(6)圆台：

　　定义：用一个*行于圆锥底面的*面去截圆锥，截面和底面之间的部分

　　几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

　　(7)球体：

　　定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

　　几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

数学必修一必修二知识点总结 (菁华3篇)（扩展8）

——数学必修一知识点(十)份

　　一】

　　a（1）=a，a（n）为公差为r的等差数列

　　通项公式：

　　a（n）=a（n—1）+r=a（n—2）+2r=...=a[n—（n—1）]+（n—1）r=a（1）+（n—1）r=a+（n—1）r。

　　可用归纳法证明。

　　n=1时，a（1）=a+（1—1）r=a。成立。

　　假设n=k时，等差数列的通项公式成立。a（k）=a+（k—1）r

　　则，n=k+1时，a（k+1）=a（k）+r=a+（k—1）r+r=a+[（k+1）—1]r。

　　通项公式也成立。

　　因此，由归纳法知，等差数列的通项公式是正确的。

　　求和公式：

　　S（n）=a（1）+a（2）+...+a（n）

　　=a+（a+r）+...+[a+（n—1）r]

　　=na+r[1+2+...+（n—1）]

　　=na+n（n—1）r/2

　　同样，可用归纳法证明求和公式。

　　a（1）=a，a（n）为公比为r（r不等于0）的等比数列

　　通项公式：

　　a（n）=a（n—1）r=a（n—2）r^2=...=a[n—（n—1）]r^（n—1）=a（1）r^（n—1）=ar^（n—1）。

　　可用归纳法证明等比数列的通项公式。

　　求和公式：

　　S（n）=a（1）+a（2）+...+a（n）

　　=a+ar+...+ar^（n—1）

　　=a[1+r+...+r^（n—1）]

　　r不等于1时，

　　S（n）=a[1—r^n]/[1—r]

　　r=1时，

　　S（n）=na。

　　同样，可用归纳法证明求和公式。

　　二】

　　符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。

　　轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）。

　　【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。

　　一、求动点的轨迹方程的基本步骤

　　⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标；

　　⒉写出点M的集合；

　　⒊列出方程=0；

　　⒋化简方程为最简形式；

　　⒌检验。

　　二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。

　　⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。

　　⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

　　⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

　　⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

　　⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

　　译法：求动点轨迹方程的一般步骤

　　①建系——建立适当的坐标系；

　　②设点——设轨迹上的任一点P（x，y）；

　　③列式——列出动点p所满足的关系式；

　　④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简；

　　⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。

　　高考数学必修四学*方法

　　1、先看笔记后做作业。

　　有的同学感到，老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是为什么你这么做有那么多困难呢？原因是学生对教师所说的理解没有达到教师要求的水*。

　　因此，每天做作业之前，我们必须先看一下课本的相关内容和当天的课堂笔记。能否如此坚持，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其是当练*不匹配时，老师通常没有刚刚讲过的练*类型，因此它们不能被比较和消化。如果你不重视这个实施，在很长一段时间内，会造成很大的损失。

　　2、做题之后加强反思。

　　学生一定要明确，现在正做着的题，一定不是考试的题目。但使用现在做主题的解决问题的思路和方法。因此，我们应该反思我们所做的每一个问题，并总结我们自己的收获。

　　要总结出：这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串。日复一日，建立科学的网络系统的内容和方法。俗话说：有钱难买回头看。做完作业，回头细看，价值极大。这一回顾，是学*过程中一个非常重要的环节。

　　高考数学必修四学*技巧

　　1、科学的预*方法

　　预*中发现的难点，就是听课的重点；对预*中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减听课过程中的困难；有助于提高思维能力，预*后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水*；预*后将课本的例题及老师要讲授的*题提前完成，还可以培养自己的自学能力，与老师的方法进行比较，可以发现更多的方法与技巧。总之，这样会使你的听课更加有的放矢，你会知道哪些该重点听，哪些该重点记。

　　2、科学的听课方式

　　听课的过程不是一个被动参预的过程，要全身心地投入课堂学*，耳到、眼到、心到、口到、手到。还要想在老师前面，不断思考：面对这个问题我会怎么想？当老师讲解时，又要思考：老师为什么这样想？这里用了什么思想方法？这样做的目的是什么？这个题有没有更好的方法？问题多了，思路自然就开阔了。

　　3、科学的记录笔记

　　记问题——将课堂上未听懂的问题及时记下来，便于课后请教同学或老师，把问题弄懂弄通。

　　记疑点——对老师在课堂上讲的内容有疑问应及时记下，这类疑点，有可能是自己理解错造成的，也有可能是老师讲课疏忽大意造成的，记下来后，便于课后与老师商榷。

　　记方法——勤记老师讲的解题技巧、思路及方法，这对于启迪思维，开阔视野，开发智力，培养能力，并对提高解题水*大有益处。

　　记总结——注意记住老师的课后总结，这对于浓缩一堂课的内容，找出重点及各部分之间的联系，掌握基本概念、公式、定理，寻找存在问题、找到规律，融会贯通课堂内容都很有作用。

　　知识点总结

　　本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学*函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。

　　一、函数的单调性

　　1、函数单调性的定义

　　2、函数单调性的判断和证明：(1)定义法 (2)复合函数分析法 (3)导数证明法 (4)图象法

　　二、函数的奇偶性和周期性

　　1、函数的奇偶性和周期性的定义

　　2、函数的奇偶性的判定和证明方法

　　3、函数的周期性的判定方法

　　三、函数的图象

　　1、函数图象的作法 (1)描点法 (2)图象变换法

　　2、图象变换包括图象：*移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。

　　常见考法

　　本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。多考查函数的单调性、最值和图象等。

　　误区提醒

　　1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。

　　2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。

　　3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。

　　4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。

　　5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。

　　函数简介

　　函数的定义通常分为传统定义和*代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而*代定义是从集合、映射的观点出发。

　　函数的*代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f(x)，得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示。

　　函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

　　函数最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

　　一、一次函数定义与定义式：

　　自变量x和因变量y有如下关系：

　　y=kx+b

　　则此时称y是x的一次函数。

　　特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

　　即：y=kx(k为常数，k≠0)

　　二、一次函数的性质：

　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

　　即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)

　　2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

　　三、一次函数的图像及性质：

　　1.作法与图形：通过如下3个步骤

　　(1)列表;

　　(2)描点;

　　(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

　　2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

　　3.k，b与函数图像所在象限：

　　当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

　　当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

　　当b>0时，直线必通过一、二象限;

　　当b=0时，直线通过原点

　　当b<0时，直线必通过三、四象限。

　　特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

　　这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。

　　四、确定一次函数的表达式：

　　已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

　　(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

　　(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

　　(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。

　　(4)最后得到一次函数的表达式。

　　五、一次函数在生活中的应用：

　　1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

　　2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

　　六、常用公式：

　　1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

　　2.求与x轴*行线段的中点：|x1-x2|/2

　　3.求与y轴*行线段的中点：|y1-y2|/2

　　4.求任意线段的长：√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的*方和)

　　数学集合与集合之间的关系知识点

　　某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。(说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作A B。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作A属于B。中学教材课本里将符号下加了一个不等于符号，不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。)

　　高中数学的学*方法

　　多看辅导书

　　老师布置的作业我肯定都要做完，但我不会满足于老师布置的作业，我还要看一些辅导书籍，做一些辅导书籍上的作业，直到我能理解定义、定理和公式的含义，一道题尽量用多种办法去解题，做到举一反三。我经常买和课程有关的辅导书籍看，每一门课程我都有好几本相关的辅导书籍。

　　定期整理归纳

　　每学完一章的内容，我都要进行小结。把这章的内容归纳一下，把定义、定理、公式和这个定义、定理、公式有代表行的练*题写出来，最后就是用几句话把这一章的内容概括一下，目的是方便记忆。我写在一张纸上，放在口袋里，随时会拿出这张纸来看一下。我一般不看完，只看前面几个字，然后去想后面的内容，实在想不出来才再看一下的。考试前每一科目我都是把内容归纳后，写在纸上放在口袋里，跑到没人的大树底下，一会看一下归纳的纸条，背诵内容和例题。

　　二次函数

　　I.定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)

　　则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II.二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

　　顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]

　　交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

　　h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　III.二次函数的图像

　　在*面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　IV.抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为

　　P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

　　当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　1.数列的函数理解：

　　①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

　　2.通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

　　数列通项公式的特点：

　　(1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不。

　　(2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。

　　3.递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

　　数列递推公式特点：

　　(1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不。

　　(2)有些数列没有递推公式。

　　有递推公式不一定有通项公式。

　　注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。

　　二次函数

　　I.定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)

　　则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II.二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

　　顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]

　　交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

　　h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　III.二次函数的图像

　　在*面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　IV.抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为

　　P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

　　当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　【基本初等函数】

　　一、指数函数

　　（一）指数与指数幂的运算

　　1、根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（nthroot），其中>1，且∈

　　当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数。此时，的次方根用符号表示。式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radicalexponent），叫做被开方数（radicand）。

　　当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数。此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号—表示。正的次方根与负的次方根可以合并成±（>0）。由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

　　注意：当是奇数时，当是偶数时，

　　2、分数指数幂

　　正数的分数指数幂的意义，规定：

　　0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

　　指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂。

　　3、实数指数幂的运算性质

　　（二）指数函数及其性质

　　1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（exponential），其中x是自变量，函数的定义域为R。

　　注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1。

　　2、指数函数的图象和性质

　　1、函数零点的定义

　　(1)对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy）的零点。

　　(2)方程0)(xf有实根函数(yfx）的图像与x轴有交点函数(yfx）有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(xf，所得实数根就是(fx）的零点(3)变号零点与不变号零点

　　①若函数(fx）在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数(fx）的变号零点。②若函数(fx）在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数(fx）的不变号零点。

　　③若函数(fx）在区间,ab上的图像是一条连续的曲线，则0

　　2、函数零点的判定

　　(1)零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线，并且有(fa）（fb），那么，函数(xfy）在区间,ab内有零点，即存在,(0bax，使得0)(0xf，这个0x也就是方程0)(xf的根。

　　(2)函数)(xfy零点个数(或方程0)(xf实数根的个数)确定方法

　　①代数法：函数)(xfy的零点0)(xf的根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

　　(3)零点个数确定

　　0)(xfy有2个零点0)(xf有两个不等实根;0)(xfy有1个零点0)(xf有两个相等实根;0)(xfy无零点0)(xf无实根;对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定.

　　3、二分法

　　(1)二分法的定义:对于在区间[,]ab上连续不断且(fa）（fb）的函数(yfx）,通过不断地把函数(yfx）的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼*零点,进而得到零点的*似值的方法叫做二分法;

　　(2)用二分法求方程的*似解的步骤:

　　①确定区间[,]ab,验证(fa）（fb）给定精确度e;

　　②求区间(,)ab的中点c;

　　③计算(fc）;

　　(ⅰ)若(fc）,则c就是函数的零点;

　　(ⅱ)若(fa）（fc）,则令bc(此时零点0(,)xac);(ⅲ)若(fc）（fb）,则令ac(此时零点0(,)xcb);

　　④判断是否达到精确度e,即ab,则得到零点*似值为a(或b);否则重复②至④步.

　　一、集合有关概念

　　1.集合的含义

　　2.集合的中元素的三个特性：

　　(1)元素的确定性如：世界上的山

　　(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

　　(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

　　3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太*洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

数学必修一必修二知识点总结 (菁华3篇)（扩展9）

——高一数学必修一知识点通用五篇

　　两个*面的位置关系：

　　(1)两个*面互相*行的定义：空间两*面没有公共点

　　(2)两个*面的位置关系：

　　两个*面*行-----没有公共点;两个*面相交-----有一条公共直线。

　　a、*行

　　两个*面*行的判定定理：如果一个*面内有两条相交直线都*行于另一个*面，那么这两个*面*行。

　　两个*面*行的性质定理：如果两个*行*面同时和第三个*面相交，那么交线*行。

　　b、相交

　　二面角

　　(1)半*面：*面内的一条直线把这个*面分成两个部分，其中每一个部分叫做半*面。

　　(2)二面角：从一条直线出发的两个半*面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0°，180°]

　　(3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

　　(4)二面角的面：这两个半*面叫做二面角的面。

　　(5)二面角的*面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的*面角。

　　(6)直二面角：*面角是直角的二面角叫做直二面角。

　　esp.两*面垂直

　　两*面垂直的定义：两*面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个*面互相垂直。记为⊥

　　两*面垂直的判定定理：如果一个*面经过另一个*面的一条垂线，那么这两个*面互相垂直

　　两个*面垂直的性质定理：如果两个*面互相垂直，那么在一个*面内垂直于交线的直线垂直于另一个*面。

　　Attention：

　　二面角求法：直接法(作出*面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)多面体

　　棱柱

　　棱柱的定义：有两个面互相*行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相*行，这些面围成的几何体叫做棱柱。

　　棱柱的性质

　　(1)侧棱都相等，侧面是*行四边形

　　(2)两个底面与*行于底面的截面是全等的多边形

　　(3)过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是*行四边形

　　棱锥

　　棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥

　　棱锥的性质：

　　(1)侧棱交于一点。侧面都是三角形

　　(2)*行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的*方

　　正棱锥

　　正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

　　正棱锥的性质：

　　(1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

　　(3)多个特殊的直角三角形

　　esp：

　　a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

　　b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

　　1.函数知识：基本初等函数性质的考查，以导数知识为背景的函数问题;以向量知识为背景的函数问题;从具体函数的考查转向抽象函数考查;从重结果考查转向重过程考查;从熟悉情景的考查转向新颖情景的考查。

　　2.向量知识：向量具有数与形的双重性，高考中向量试题的命题趋向：考查*面向量的基本概念和运算律;考查*面向量的坐标运算;考查*面向量与几何、三角、代数等学科的综合性问题。

　　3.不等式知识：突出工具性，淡化独立性，突出解，是不等式命题的新取向。高考中不等式试题的命题趋向：基本的线性规划问题为必考内容，不等式的性质与指数函数、对数函数、三角函数、二交函数等结合起来，考查不等式的性质、最值、函数的单调性等;证明不等式的试题，多以函数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性强，能力要求高;解不等式的试题，往往与公式、根式和参数的讨论联系在一起。考查学生的等价转化能力和分类讨论能力;以当前经济、社会生产、生活为背景与不等式综合的应用题仍将是高考的热点，主要考查学生阅读理解能力以及分析问题、解决问题的能力。

　　4.立体几何知识：20xx年已经变得简单，20xx年难度依然不大，基本的三视图的考查难点不大，以及球与几何体的组合体，涉及切，接的问题，线面垂直、*行位置关系的考查，已经线面角，面面角和几何体的体积计算等问题，都是重点考查内容。

　　5.解析几何知识：小题主要涉及圆锥曲线方程，和直线与圆的位置关系，以及圆锥曲线几何性质的考查，极坐标下的解析几何知识，解答题主要考查直线和圆的知识，直线与圆锥曲线的知识，涉及圆锥曲线方程，直线与圆锥曲线方程联立，定点，定值，范围的考查，考试的难度降低。

　　6.导数知识：导数的考查还是以理科19题，文科20题的形式给出，从常见函数入手，导数工具作用(切线和单调性)的考查，综合性强，能力要求高;往往与公式、导数往往与参数的讨论联系在一起，考查转化与化归能力，但今年的难点整体偏低。

　　7.开放型创新题：答案不，或是逻辑推理题，以及解答题中的开放型试题的考查，都是重点,理科13，文科14题。

　　集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。

　　将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。

　　常用的有列举法和描述法。

　　1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}

　　2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0

　　3.图示法(venn图)﹕为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈)，用它的内部表示一个集合。集合

　　自然语言常用数集的符号：

　　(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N

　　(2)非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z

　　(3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z

　　(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)

　　(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)

　　(6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合

　　Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。

　　集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求补律A∪CuA=UA∩CuA=Φ设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)～(BUC)=~B∩~C(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q

　　1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想;

　　2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：

　　(1)根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题;

　　(2)根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题;

　　(3)方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或(方程组)，通过解方程(或方程组)求出它们，这就是方程思想;

　　3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。

　　1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

　　解析式

　　顶点坐标

　　对称轴

　　y=ax^2

　　(0，0)

　　x=0

　　y=a(x-h)^2

　　(h，0)

　　x=h

　　y=a(x-h)^2+k

　　(h，k)

　　x=h

　　y=ax^2+bx+c

　　(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)

　　x=-b/2a

　　当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位得到，

　　当h<0时，则向左*行移动|h|个单位得到.

　　当h>0，k>0时，将抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;

知识点总结,数学