日期:2023-02-19 00:00:00
数学必修四知识点合集15篇
在学*中,大家最熟悉的就是知识点吧?知识点就是掌握某个问题/知识的学*要点。还在苦恼没有知识点总结吗?下面是小编帮大家整理的数学必修四知识点,欢迎大家分享。
*面向量
戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算:
(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).
向量加法与减法的几何表示:*行四边形法则、三角形法则。
戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律:+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);
两个向量共线的充要条件:
(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= .
(2) 若=(),b=()则‖b .
*面向量基本定理:
若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量,那么对于这一*面内的任一向量,戴氏航天学校老师提醒有且只 有一对实数,,使得= e1+ e2
高考数学必修四学*方法
养成良好的课前和课后学**惯:在当前高中数学学*中,培养正确的学**惯是一项重要的学*技能。虽然有一种刻板印象的`猜疑,但在高中数学学*真的是反复尝试和错误的。学生们不得不预*课本。我准备的数学教科书不是简单的阅读,而是一个例子,至少十分钟的思考。在使用前不能通过学*知识解决问题的情况下,可以在教学内容中找到答案,然后在教材中考察问题的解决过程,掌握解决问题的思路。同时,在课堂上安排笔记也是必要的。在高中数学研究中,建议采用两种形式的笔记,一种是课堂速记,另一种是课后笔记。这不仅提高了课堂记忆的吸收能力,而且有助于对笔记内容的查询。
高考数学必修四学*技巧
养成良好的学*数学*惯
多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学*数学的过程中,要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言,并永久记忆在自己的脑海中。良好的学*数学*惯包括课前自学、专心上课、及时复*、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学*几个方面。
及时了解、掌握常用的数学思想和方法
中学数学学*要重点掌握的的数学思想有以上几个:集合与对应思想,分类讨论思想,数形结合思想,运动思想,转化思想,变换思想。
有了数学思想以后,还要掌握具体的方法,比如:换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中,常用的有:观察与实验,联想与类比,比较与分类,分析与综合,归纳与演绎,一般与特殊,有限与无限,抽象与概括等。
【公式一】
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)
【公式二】
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的`三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=—sinα
cos(π+α)=—cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
【公式三】
任意角α与—α的三角函数值之间的关系:
sin(—α)=—sinα
cos(—α)=cosα
tan(—α)=—tanα
cot(—α)=—cotα
【公式四】
利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π—α)=sinα
cos(π—α)=—cosα
tan(π—α)=—tanα
cot(π—α)=—cotα
【公式五】
利用公式一和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π—α)=—sinα
cos(2π—α)=cosα
tan(2π—α)=—tanα
cot(2π—α)=—cotα
一1.正弦、余弦公式的逆向思维
对于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)这样的形式,运用逆向思维,化解为:
cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α)
2.正切公式的逆向思维。
比如,由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)]
可得:
tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)]
[1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β)
tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β)
3.二倍角公式的灵活转化
比如:1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α)
=[sin(α)+cos(α)]2
cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)]
cos2(α)=[1+cos(2α)]/2
sin2(α)=[1-cos(2α)]/2
1+cos(α)=2cos2(α/2)
1-cos(α)=2sin2(α/2)
sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α)
sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α)
4.两角和差正弦、余弦公式的相加减、相比。
比如:
sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)……1
sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)……2
1式+2式,得到
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin(α)cos(β)
1式-2式,得到
sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β)
1式比2式,得到
sin(α+β)/sin(α-β)=[sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)]/ [sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)]
=[tαn(α)+tαn(β)] / [tαn(α)-tαn(β)]
我们来看两道例题,增加印象。
1.已知cos(α)=1/7,cos(α-β)=13/14,且0<β<α<π/2,求β
本题中,α-β∈(0,π/2)
sin(α)=4√3/7 sin(α-β)=3√3/14
cos(β)=cos[α-(α-β)]=cos(α)cos(α-β)+sin(α)sin(α-β)
=1/2
β=π/3
2.已知3sin2(α)+2sin2(β)=1,3sin(2α)-2sin(2β)=0,且α,β都是锐角。求α+2β
由3sin2(α)+2sin2(β)=1得到:
1-2sin2(β)=cos(2β)=3sin2(α)
由3sin(2α)-2sin(2β)=0得到:
sin(2β)=3sin(2α)/2
cos(α+2β)=cos(α)cos(2β)-sin(α)sin(2β)
=cos(α)3sin2(α)-sin(α)3sin(2α)/2
=3sin2(α)cos(α)-3cos(α)sin2(α)
=0
加之0<α+2β<270o
α+2β=90o
二轨迹知识点
符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹.
轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).
【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤
⒈建立适当的坐标系,设出动点M的`坐标;
⒉写出点M的集合;
⒊列出方程=0;
⒋化简方程为最简形式;
⒌检验。
求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
_直译法:求动点轨迹方程的一般步骤
①建系——建立适当的坐标系;
②设点——设轨迹上的任一点P(x,y);
③列式——列出动点p所满足的关系式;
④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简;
⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
学好数学窍门是什么
文科中的科目大部分都是需要理解记忆的,数学其实也是如此,只不过是需要理解做题,勤加锻炼自己的思维能力,面对数学题的时候,从多方面的去思考,数学学没学好其实也体现在每次考试的成绩上,有一些同学*时会觉得自己成绩不错,但是到了考试,成绩并不是很好,这一部分原因是由于你的基础知识不扎实,还是一部分原因是由于你在面对考试的时候,心态差。
魏德武速算
1,加法速算:计算任意位数的加法速算,方法很简单学*者只要熟记一种加法速算通用口诀 ——“本位相加(针对进位数) 减加补,前位相加多加一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的加法速算方法,比如:(1)67+48=(6+5)×10+(7-2)=115(2)758+496=(7+5)×100+(5-0)×10+8-4=1254即可。
2,减法速算:计算任意位数的减法速算方法也同样是用一种减法速算通用口诀 ——“本位相减(针对借位数) 加减补,前位相减多减一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的减法速算方法,比如:(1),67-48=(6-5)×10+(7+2)=19,(2),758-496=(7-5)×100+(5+1)×10+8-6=262即可。
3,乘法速算:魏氏乘法速算通用公式:ab×cd=(a+1)×c×100+b×d+魏氏速算嬗数×10。
正弦函数
主词条:正弦函数。
格式:sin(θ)。
作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角对边长度比斜边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是csc(θ)的倒数。
函数图像:波形曲线。
值域:-1~1。
余弦函数
主词条:余弦函数。
格式:cos(θ)。
作用:在直角三角形中,将大小为(单位为弧度)的角邻边长度比斜边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是sec(θ)的倒数。
函数图像:波形曲线。
值域:-1~1。
正切函数
主词条:正切函数。
格式:tan(θ)。
作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角对边长度比邻边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是cot(θ)的倒数。
函数图像:右图*面直角坐标系反映。
值域:-∞~∞。
余切函数
主词条:余切函数。
格式:cot(θ)。
作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角邻边长度比对边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是tan(θ)的倒数。
函数图像:右图*面直角坐标系反映。
值域:-∞~∞。
正割函数
主词条:正割函数。
格式:sec(θ)。
作用:在直角三角形中,将斜边长度比大小为θ(单位为弧度)的角邻边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是cos(θ)的倒数。
函数图像:右图*面直角坐标系反映。
值域:≥1或≤-1。
余割函数
主词条:余割函数。
格式:csc(θ)。
作用:在直角三角形中,将斜边长度比大小为θ(单位为弧度)的角对边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是sin(θ)的倒数。
函数图像:右图*面直角坐标系反映。
值域:≥1或≤-1。
学数学的用处
第一,实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。就大多数情况来看,不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动,能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。
第二,数学可以使你的大脑变得更加聪明,增加你思维的严谨性,另外,数学对你其它科目的学*也有很大作用。
第三,数学无处不在,工作学*中都用得着,例如日常逛街买东西都是和数学有关的,这时候才能体会到学*数学的好处。
数学函数的解析式与定义域知识点
1、函数及其定义域是不可分割的整体,没有定义域的函数是不存在的,因此,要正确地写出函数的解析式,必须是在求出变量间的对应法则的同时,求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型:
(1)有时一个函数来自于一个实际问题,这时自变量x有实际意义,求定义域要结合实际意义考虑;
(2)已知一个函数的解析式求其定义域,只要使解析式有意义即可。如:
①分式的分母不得为零;
②偶次方根的被开方数不小于零;
③对数函数的.真数必须大于零;
④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函数y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等。
应注意,一个函数的解析式由几部分组成时,定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集)。
(3)已知一个函数的定义域,求另一个函数的定义域,主要考虑定义域的深刻含义即可。
已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围,而已知f[g(x)]的定义域[a,b]指的是x∈[a,b],此时f(x)的定义域,即g(x)的值域。 2、求函数的解析式一般有四种情况
(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时,必须引入合适的变量,根据数学的有关知识寻求函数的解析式。
(2)有时题设给出函数特征,求函数的解析式,可采用待定系数法。比如函数是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b为待定系数,根据题设条件,列出方程组,求出a,b即可。
(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法求函数f(x)的表达式,这时必须求出g(x)的值域,这相当于求函数的定义域。
(4)若已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还出现其他未知量(如f(-x),等),必须根据已知等式,再构造其他等式组成方程组,利用解方程组法求出f(x)的表达式。
基本初等函数有哪些
基本初等函数包括以下几种:
(1)常数函数y = c( c为常数)
(2)幂函数y = x^a( a为常数)
(3)指数函数y = a^x(a>0, a≠1)
(4)对数函数y =log(a) x(a>0, a≠1,真数x>0)
(5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数:y =sinx反正弦函数:y = arcsin x等)
基本初等函数性质是什么
幂函数
形如y=x^a的函数,式中a为实常数。
指数函数
形如y=a^x的函数,式中a为不等于1的正常数。
对数函数
指数函数的反函数,记作y=loga a x,式中a为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之间成立关系式,loga ax=x。
三角函数
即正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx,余切函数y=cotx,正割函数y=secx,余割函数y=cscx(见三角学)。
反三角函数
三角函数的反函数——反正弦函数y = arc sinx,反余弦函数y=arc cosx (-1≤x≤1,初等函数0≤y≤π),反正切函数y=arc tanx,反余切函数y = arc cotx(-∞ 学*数学小窍门 建立数学纠错本。 把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 限时训练。 可以找一组题(比如10道选择题),争取限定一个时间完成;也可以找1道大题,限时完成。这主要是创设一种考试情境,检验自己在紧张状态下的思维水*。 调整心态,正确对待考试。 首先,应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上,因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目,而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂,认真思考,尽量让自己理出头绪,做完题后要总结归纳。调整好自己的心态,使自己在任何时候镇静,思路有条不紊,克服浮躁的情绪。 数学函数的值域与最值知识点 1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下: (1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域. (2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元. (3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的'定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧. (6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性,可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值. 不等式 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式 ①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的`联系. ③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ②了解二元一次不等式的几何意义,能用*面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. (4)基本不等式: ①了解基本不等式的证明过程. ②会用基本不等式解决简单的(小)值问题圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 1.向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。 2.规定若线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。具有方向和长度的线段叫做有向线段。 3.向量的模:向量的大小,也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。 注:向量的模是非负实数,是可以比较大小的。因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。 4.单位向量:长度为一个单位(即模为1)的向量,叫做单位向量.与向量a同向,且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0。 5.长度为0的向量叫做零向量,记作0。零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的。 向量的计算 1.加法 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 2.减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 加减变换律:a+(-b)=a-b 3.数量积 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作θ并规定0≤θ≤π 向量的数量积的运算律 a·b=b·a(交换律) (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律) (a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 向量的数量积的性质 a·a=|a|的*方。 a⊥b〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|) 高中学好数学的方法是什么 数学需要沉下心去做,浮躁的人很难学好数学,踏踏实实做题才是硬道理。 数学要想学好,不琢磨是行不通的,遇到难题不能躲,研究明白了才能罢休。 数学最主要的就是解题过程,懂得数学思维很关键,思路通了,数学自然就会了。 数学不是用来看的`,而是用来算的,或许这一秒没思路,当你拿起笔开始计算的那一秒,就豁然开朗了。 数学题目不会做,原因之一就是例题没研究明白,所以数学书上的例题绝对不要放过。 数学函数的奇偶性知识点 1、函数的奇偶性的定义:对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。 1、*面向量基本概念 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段记作或AB; 向量的模:有向线段AB的长度叫做向量的模,记作|AB|; 零向量:长度等于0的向量叫做零向量,记作或0。(注意粗体格式,实数“0”和向量“0”是有区别的,书写时要在实数“0”上加箭头,以免混淆); 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量; *行向量(共线向量):两个方向相同或相反的非零向量叫做*行向量或共线向量,零向量与任意向量*行,即0//a; 单位向量:模等于1个单位长度的向量叫做单位向量,通常用e表示,*行于坐标轴的单位向量*惯上分别用i、j表示。 相反向量:与a长度相等,方向相反的.向量,叫做a的相反向量,—(—a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。 2、*面向量运算 加法与减法的代数运算: (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a b=(x1+x2,y1+y2)。 向量加法与减法的几何表示:*行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律:+ = +(交换律);+(+c)=(+)+c(结合律); 实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量。 (1)| |=| |·| |; (2)当a>0时,与a的方向相同;当a<0时,与a的方向相反;当a=0时,a=0。 两个向量共线的充要条件: (1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= 。 (2)若=(),b=()则‖b 。 3、*面向量基本定理 若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量,那么对于这一*面内的任一向量,有且只有一对实数,,使得= e1+ e2。 4、*面向量有关推论 三角形ABC内一点O,OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是三角形的垂心。 若O是三角形ABC的外心,点M满足OA+OB+OC=OM,则M是三角形ABC的垂心。 若O和三角形ABC共面,且满足OA+OB+OC=0,则O是三角形ABC的重心。 三点共线:三点A,B,C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=1) 一、立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相*行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相*行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边*行的全等多边形;侧面、对角面都是*行四边形;侧棱*行且相等;*行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;*行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的*方。 (3)棱台: 定义:用一个*行于棱锥底面的*面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的*行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴*行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个*行于圆锥底面的*面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体: 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的`截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 二、向量的向量积 定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。 向量的向量积性质: ∣a×b∣是以a和b为边的*行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 三、向量的向量积运算律 a×b=-b×a; (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); (a+b)×c=a×c+b×c. 注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。 四、必修四数学学*方法 数学不是靠老师教会的,而是在老师的引导下,靠自己主动的思维活动去获取的。学*数学一定要讲究“活”,只看书不做题不行,只埋头做题不总结积累也不行。记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 要建立数学纠错本。把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再 犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 五、必修四数学学*技巧 首先:课前复*。就是上课前花两三分钟把书本本节课要学的内容看一遍。仅仅是看一遍,过一遍。这样上课老师讲自己不但可以跟上老师节奏还可以再次巩固。其余不要干其他多余的事。 其次:上课时候一定要专心听讲,如果觉得老师这里讲得都懂了的话可以自己翻书看后面的内容。做*题的时候一定要一道一道往过做,不要越题做。因为对于课本来说这些都是基础,只有基础完全掌握后才能做难题。上课过程中第一次接触到的知识点概念等,一定一定要当堂背过。不然以后很难背过,不要妄想考前抱佛教再背 另外要把笔记记准确,知道自己需要记什么不需要记什么,憋一个劲地往书上搬。字不要求整齐,自己能看懂就行。课本资料书上有例题,多看多记方法。先看课本基础,在看资料书上着重的。例题的方法一定一定要理解,不要去背!接着下课再看笔记,只是略微巩固记住。 复数的概念: 形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。 复数的表示: 复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a叫复数的实部,b叫复数的虚部。 复数的几何意义: (1)复*面、实轴、虚轴: 点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的*面叫做复*面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义:复数集C和复*面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 这是因为,每一个复数有复*面内惟一的一个点和它对应;反过来,复*面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法。 复数的模: 复数z=a+bi(a、b∈R)在复*面上对应的点Z(a,b)到原点的距离叫复数的模,记为|Z|,即|Z|= 虚数单位i: (1)它的*方等于—1,即i2=—1; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与—1的关系:i就是—1的一个*方根,即方程x2=—1的一个根,方程x2=—1的另一个根是—i。 (4)i的周期性:i4n+1=i,i4n+2=—1,i4n+3=—i,i4n=1。 复数模的性质: 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系: 对于复数a+bi(a、b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。 两个复数相等的定义: 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即:如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di a=c,b=d。特殊地,a,b∈R时,a+bi=0 a=0,b=0。 复数相等的充要条件,提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。 复数相等特别提醒: 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如果两个复数都是实数,就可以比较大小,也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 解复数相等问题的方法步骤: (1)把给的复数化成复数的标准形式; (2)根据复数相等的充要条件解之。 数学学*技巧 1、做好预*: 单元预*时粗读,了解*阶段的学*内容,课时预*时细读,注重知识的形成过程,对难以理解的概念、公式和法则等要做好记录,以便带着问题听课。 2、认真听课: 听课应包括听、思、记三个方面。听,听知识形成的来龙去脉,听重点和难点,听例题的解法和要求。思,一是要善于联想、类比和归纳,二是要敢于质疑,提出问题。记,指课堂笔记——记方法,记疑点,记要求,记注意点。 3、认真解题: 课堂练*是最及时最直接的反馈,一定不能错过。不要急于完成作业,要先看看你的笔记本,回顾学*内容,加深理解,强化记忆。 4、及时纠错: 课堂练*、作业、检测,反馈后要及时查阅,分析错题的原因,必要时强化相关计算的训练。不明白的问题要及时向同学和老师请教了,不能将问题处于悬而未解的.状态,养成今日事今日毕的好*惯。 数学中的合数是什么意思? 合数的概念 合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数,而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是4。其中,完全数与相亲数是以它为基础的。 什么是质数 质数又称素数,有无限个。一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。 根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。 质数和合数应用 1、质数与密码学:所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数,编码之后传送给收信人,任何人收到此信息后,若没有此收信人所拥有的密钥,则解密的过程中(实为寻找素数的过程),将会因为找质数的过程(分解质因数)过久,使即使取得信息也会无意义。 2、质数与变速箱:在汽车变速箱齿轮的设计上,相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数,以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数,可增强耐用度减少故障。 初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算及有限次函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。非初等函数是指凡不是初等函数的函数。 初等函数是最常用的一类函数,包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(以上是基本初等函数),以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数,称为初等函数。 非初等函数的研究与发展是*现代数学的重大成就之一,极大拓展了数学在各个领域的应用,在概率论、物理学科各个分支中等有十分广泛的.应用。是函数的一个重要的分支。一般说来,大部分分段函数不是初等函数。如符号函数,狄利克雷函数,gamma函数,误差函数,Weierstrass函数。但是个别分段函数除外。 1、指数函数:函数y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数 a的取值a>1 0 定义域x∈R x∈R 值域y∈(0,+∞) y∈(0,+∞) 单调性全定义域单调递增全定义域单调递减 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 过定点(0,1) (0,1) 注意:⑴由函数的单调性可以看出,在闭区间[a,b]上,指数函数的最值为: a>1时,最小值f(a),最大值f(b);0 ⑵对于任意指数函数y=ax (a>0且a≠1),都有f(1)=a。 2、对数函数:函数y=logax(a>0且a≠1)),叫做对数函数 a的取值a>1 0 定义域x∈(0,+∞) x∈(0,+∞) 值域y∈R y∈R 单调性全定义域单调递全定义域单调递减 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 过定点(1,0) (1,0) 3、幂函数:函数y=xa(a∈R),高中阶段,幂函数只研究第I象限的情况。 ⑴所有幂函数都在(0,+∞)区间内有定义,而且过定点(1,1)。 ⑵a>0时,幂函数图像过原点,且在(0,+∞)区间为增函数,a越大,图像坡度越大。 ⑶a<0时,幂函数在(0,+∞)区间为减函数。 当x从右侧无限接*原点时,图像无限接*y轴正半轴; 当y无限接*正无穷时,图像无限接*x轴正半轴。 幂函数总图见下页。 4、反函数:将原函数y=f(x)的x和y互换即得其反函数x=f-1(y)。 反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。 数学函数的奇偶性知识点 1、函数的奇偶性的定义:对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。 学数学的用处 第一,实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。就大多数情况来看,不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动,能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。 第二,数学可以使你的大脑变得更加聪明,增加你思维的严谨性,另外,数学对你其它科目的学*也有很大作用。 第三,数学无处不在,工作学*中都用得着,例如日常逛街买东西都是和数学有关的,这时候才能体会到学*数学的好处。 解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 数列 (1)数列的概念和简单表示法 ①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). ②了解数列是自变量为正整数的一类函数. (2)等差数列、等比数列 ①理解等差数列、等比数列的概念. ②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式. ③能在具体的问题情境中,识别数列的.等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. ④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 一)两角和差公式(写的都要记) sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA? cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 二)用以上公式可推出下列二倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2 (上面这个余弦的很重要) sin2A=2sinA_osA 三)半角的只需记住这个: tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 四)用二倍角中的余弦可推出降幂公式 (sinA)^2=(1-cos2A)/2 (cosA)^2=(1+cos2A)/2 五)用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式 1-cosA=sin^(A/2)_ 1-sinA=cos^(A/2)_ a(1)=a,a(n)为公差为r的等差数列 通项公式: a(n)=a(n-1)+r=a(n-2)+2r=...=a[n-(n-1)]+(n-1)r=a(1)+(n-1)r=a+(n-1)r. 可用归纳法证明。 n=1时,a(1)=a+(1-1)r=a。成立。 假设n=k时,等差数列的通项公式成立。a(k)=a+(k-1)r 则,n=k+1时,a(k+1)=a(k)+r=a+(k-1)r+r=a+[(k+1)-1]r. 通项公式也成立。 因此,由归纳法知,等差数列的通项公式是正确的。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+(a+r)+...+[a+(n-1)r] =na+r[1+2+...+(n-1)] =na+n(n-1)r/2 同样,可用归纳法证明求和公式。 a(1)=a,a(n)为公比为r(r不等于0)的等比数列 通项公式: a(n)=a(n-1)r=a(n-2)r^2=...=a[n-(n-1)]r^(n-1)=a(1)r^(n-1)=ar^(n-1). 可用归纳法证明等比数列的通项公式。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+ar+...+ar^(n-1) =a[1+r+...+r^(n-1)] r不等于1时, S(n)=a[1-r^n]/[1-r] r=1时, S(n)=na. 同样,可用归纳法证明求和公式。 必修四数学学*方法 掌握数学学*实践阶段:在高中数学学*过程中,我们需要使用正确的学*方法,以及科学合理的学*规则。先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法,曾经说过,尤其是高阶段的数学学*数学,必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。与教学内容的第一周甚至是从基础开始,一周后的头几天,在教学难以提升。以及提升的困难进步一步一步,最好不要去追求所谓的“困难”除了(感兴趣),不利于解决问题方法掌握连续性。同时,根据时间和课程安排的`长度适当的审查,只有这样才能记住和使用在长期学*数学知识,不要忘记前面的学*。 必修四数学学*技巧 重视改错错不重犯。 一定要重视改错的这份工作,做到错不再犯。初中数学教学中采用的方法是告诉学生所有可能的错误,只要有一个人犯了错误,就应该提出,以便所有的学生都能从中吸取教训。这叫“一人有病,全体吃药。” 高中数学课没有那么多时间,除了一小部分那几种典型错,其它错误,不能一一顾及。只能谁有病,谁吃药。如果学生“生病”而忘了吃药,那么没有人会一次又一次地提醒他要注意什么。如果能及时改错,那么错误就可能转变为财富,成为预防针。但是,如果不能及时改错,这个错误就将形成一处“地雷”,迟早要惹祸。 有的学生认为,自己考试成绩上不去,是因为太粗心。其实,原因并非如此。打一个比方。比如说,学*开汽车。右脚下面,往左踩,是踩刹车。往右踩,是踩油门。其机械原理,设计原因,操作规程都可以讲的清清楚楚。如果初学驾驶的人真正掌握了这一套,请问,可以同意他开车上路吗?恐怕他知道他还缺乏练*。一两次你能正确地完成任务,但这并不意味着你永远不会犯错误。练*的数量不够,才是学生出错的真正原因。大家一定要看到,如果自己的基础知识漏洞百出、隐患无穷,那么,今后的数学将是难以学好的。 一、夯实数学基础的方法 首先课堂紧跟老师,认真听每一节课,记好课堂笔记,有些学生喜欢自己课后自学,课堂不爱听讲,这是极错误的,因为老师对于高考的了解和对知识的掌握,远远胜过我们自学,紧跟老师是打好基础最关键的一步。 对课本基础知识的学*,我们强烈建议大家使用思维导图,可以把课本上的知识都画成树状层,这样更容易理解、记忆,这样知识点不再是孤立而是成了一个网,这比光看书效果要好很多很多。 二、数学正确的'做题方法 想学好数学,大量做题确实很有必要,但你真的会做题吗?多数同学虽然也做了大量的题目,但成绩还是不好,核心原因就是做题忽略了最重要的一步,那就是总结反思。每做完一道题目,大家还需要总结一下,问一下自己下面这些问题:它考查了哪些知识、自己有没有掌握、题目的解题思路在哪里、突破口是什么、属于哪种题型、此类题型有什么共同的套路、此类题型应该用什么方法来解答。只有多问自己几个为什么,你才能真正吃透一道题,达到做一道题会一类题。 做题并不是越多越好,要知道题海战术只是手段,我们最终的目的还是通过做题加深对知识的理解,掌握解题套路,提高做题速度,如果做题不总结,你刷再多题效果也不会明显。 问题提出 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量,如果当一个变量的取值一定时,另一个变量的取值被惟一确定,则这两个变量之间的关系就是一个函数关系. 在中学校园里,有这样一种说法:“如果你的数学成绩好,那么你的物理学*就不会有什么大问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系,我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量,那么这两个变量之间的关系是函数关系吗? 我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少,学*兴趣、学*时间、教学水*等,也是影响物理成绩的一些因素,但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系,有必要从理论上作些探讨,如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计,将有着非常重要的现实意义. 知识探究(一):变量之间的相关关系 思考1:考察下列问题中两个变量之间的关系: (1)商品销售收入与广告支出经费; (2)粮食产量与施肥量; (3)人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗? 思考2:“名师出高徒”可以解释为教师的水*越高,学生的水*就越高,那么学生的学业成绩与教师的教学水*之间的关系是函数关系吗?你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗? 思考3:上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系,称之为相关关系,那么相关关系的含义如何? 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系. 1、球的体积和球的半径具有() A函数关系B相关关系 C不确定关系D无任何关系 2、下列两个变量之间的关系不是 函数关系的是() A角的度数和正弦值 B速度一定时,距离和时间的关系 C正方体的棱长和体积 D日照时间和水稻的亩产量AD练:知识探究(二):散点图 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本*均数. 思考1:对某一个人来说,他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少,但是如果把很多个体放在一起,就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据,大体上看,随着年龄的增加,人体脂肪含量怎样变化? 思考2:为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系,我们需要对数据进行分析,通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含量,你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗? 思考3:上图叫做散点图,你能描述一下散点图的含义吗? 在*面直角坐标系中,表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形,称为散点图. 思考4:观察散点图的大致趋势,人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系? 思考5:在上面的散点图中,这些点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.一般地,如果两个变量成正相关,那么这两个变量的变化趋势如何? 思考6:如果两个变量成负相关,从整体上看这两个变量的变化趋势如何?其散点图有什么特点? 一个变量随另一个变量的变大而变小,散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 一般情况下两个变量之间的'相关关系成正相关或负相关,类似于函数的单调性. 知识探究(一):回归直线 思考1:一组样本数据的*均数是样本数据的中心,那么散点图中样本点的中心如何确定?它一定是散点图中的点吗? 思考2:在各种各样的散点图中,有些散点图中的点是杂乱分布的,有些散点图中的点的分布有一定的规律性,年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点? 这些点大致分布在一条直线附*. 思考3:如果散点图中的点的分布,从整体上看大致在一条直线附*,则称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.对具有线性相关关系的两个变量,其回归直线一定通过样本点的中心吗? 思考4:对一组具有线性相关关系的样本数据,你认为其回归直线是一条还是几条? 思考5:在样本数据的散点图中,能否用直尺准确画出回归直线?借助计算机怎样画出回归直线? 知识探究(二):回归方程 在直角坐标系中,任何一条直线都有相应的方程,回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据,如果能够求出它的回归方程,那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系,并根据回归方程对总体进行估计. 思考1:回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系? 整体上最接* 思考2:对于求回归直线方程,你有哪些想法? 思考4:为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接*程度,你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适%某小卖部为了了解热茶销售量与气温 之间的关系,随机统计并制作了某6天 卖出热茶的杯数与当天气温的对照表: 如果某天的气温是-50C,你能根据这些 数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗? 实例探究 为了了解热茶销量与 气温的大致关系,我们 以横坐标x表示气温, 纵坐标y表示热茶销量, 建立直角坐标系.将表 中数据构成的6个数对 表示的点在坐标系内 标出,得到下图。 你发现这些点有什么规律? 今后我们称这样的图为散点图(scatterplot). 建构数学 所以,我们用类似于估计*均数时的 思想,考虑离差的*方和 当x=-5时,热茶销量约为66杯 线性回归方程: 一般地,设有n个观察数据如下:当a,b使三点(3,10),(7,20),(11,24)的 线性回归方程是() 二、求线性回归方程 例2:观察两相关变量得如下表: 求两变量间的回归方程解1:列表: 阅读课本P73例1 EXCEL作散点图 利用线性回归方程解题步骤: 1、先画出所给数据对应的散点图; 2、观察散点,如果在一条直线附*,则说明所给量具有线性相关关系 3、根据公式求出线性回归方程,并解决其他问题。 (1)如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值;(2)分别说明以上两个模型是确定性 模型还是随机模型. 模型1:y=6+4x;模型2:y=6+4x+ 解(1)模型1:y=6+4x=6+4×3=18; 模型2:y=6+4x+e=6+4×3+线性相关与线性回归方程小结1、变量间相关关系的散点图 2、如何利用“最小二乘法”思想求直线的回归方程 3、学会用回归思想考察现实生活中变量之间的相关关系 数学必修四知识点菁选扩展阅读 数学必修四知识点菁选(扩展1) ——数学必修四知识点菁选 数学必修四知识点(15篇) 在我们*凡无奇的学生时代,是不是经常追着老师要知识点?知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练*我能掌握”的内容。你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗?以下是小编整理的数学必修四知识点,欢迎大家借鉴与参考,希望对大家有所帮助。 问题提出 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量,如果当一个变量的取值一定时,另一个变量的取值被惟一确定,则这两个变量之间的关系就是一个函数关系. 在中学校园里,有这样一种说法:“如果你的数学成绩好,那么你的物理学*就不会有什么大问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系,我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量,那么这两个变量之间的关系是函数关系吗? 我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少,学*兴趣、学*时间、教学水*等,也是影响物理成绩的一些因素,但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系,有必要从理论上作些探讨,如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计,将有着非常重要的现实意义. 知识探究(一):变量之间的相关关系 思考1:考察下列问题中两个变量之间的关系: (1)商品销售收入与广告支出经费; (2)粮食产量与施肥量; (3)人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗? 思考2:“名师出高徒”可以解释为教师的水*越高,学生的水*就越高,那么学生的学业成绩与教师的教学水*之间的关系是函数关系吗?你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗? 思考3:上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系,称之为相关关系,那么相关关系的含义如何? 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系. 1、球的体积和球的半径具有() A函数关系B相关关系 C不确定关系D无任何关系 2、下列两个变量之间的关系不是 函数关系的是() A角的度数和正弦值 B速度一定时,距离和时间的关系 C正方体的棱长和体积 D日照时间和水稻的亩产量AD练:知识探究(二):散点图 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本*均数. 思考1:对某一个人来说,他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少,但是如果把很多个体放在一起,就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据,大体上看,随着年龄的增加,人体脂肪含量怎样变化? 思考2:为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系,我们需要对数据进行分析,通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含量,你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗? 思考3:上图叫做散点图,你能描述一下散点图的含义吗? 在*面直角坐标系中,表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形,称为散点图. 思考4:观察散点图的大致趋势,人的年龄的'与人体脂肪含量具有什么相关关系? 思考5:在上面的散点图中,这些点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.一般地,如果两个变量成正相关,那么这两个变量的变化趋势如何? 思考6:如果两个变量成负相关,从整体上看这两个变量的变化趋势如何?其散点图有什么特点? 一个变量随另一个变量的变大而变小,散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关,类似于函数的单调性. 知识探究(一):回归直线 思考1:一组样本数据的*均数是样本数据的中心,那么散点图中样本点的中心如何确定?它一定是散点图中的点吗? 思考2:在各种各样的散点图中,有些散点图中的点是杂乱分布的,有些散点图中的点的分布有一定的规律性,年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点? 这些点大致分布在一条直线附*. 思考3:如果散点图中的点的分布,从整体上看大致在一条直线附*,则称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.对具有线性相关关系的两个变量,其回归直线一定通过样本点的中心吗? 思考4:对一组具有线性相关关系的样本数据,你认为其回归直线是一条还是几条? 思考5:在样本数据的散点图中,能否用直尺准确画出回归直线?借助计算机怎样画出回归直线? 知识探究(二):回归方程 在直角坐标系中,任何一条直线都有相应的方程,回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据,如果能够求出它的回归方程,那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系,并根据回归方程对总体进行估计. 思考1:回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系? 整体上最接* 思考2:对于求回归直线方程,你有哪些想法? 思考4:为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接*程度,你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适%某小卖部为了了解热茶销售量与气温 之间的关系,随机统计并制作了某6天 卖出热茶的杯数与当天气温的对照表: 如果某天的气温是-50C,你能根据这些 数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗? 实例探究 为了了解热茶销量与 气温的大致关系,我们 以横坐标x表示气温, 纵坐标y表示热茶销量, 建立直角坐标系.将表 中数据构成的6个数对 表示的点在坐标系内 标出,得到下图。 你发现这些点有什么规律? 今后我们称这样的图为散点图(scatterplot). 建构数学 所以,我们用类似于估计*均数时的 思想,考虑离差的*方和 当x=-5时,热茶销量约为66杯 线性回归方程: 一般地,设有n个观察数据如下:当a,b使三点(3,10),(7,20),(11,24)的 线性回归方程是() 二、求线性回归方程 例2:观察两相关变量得如下表: 求两变量间的回归方程解1:列表: 阅读课本P73例1 EXCEL作散点图 利用线性回归方程解题步骤: 1、先画出所给数据对应的散点图; 2、观察散点,如果在一条直线附*,则说明所给量具有线性相关关系 3、根据公式求出线性回归方程,并解决其他问题。 (1)如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值;(2)分别说明以上两个模型是确定性 模型还是随机模型. 模型1:y=6+4x;模型2:y=6+4x+ 解(1)模型1:y=6+4x=6+4×3=18; 模型2:y=6+4x+e=6+4×3+线性相关与线性回归方程小结1、变量间相关关系的散点图 2、如何利用“最小二乘法”思想求直线的回归方程 3、学会用回归思想考察现实生活中变量之间的相关关系 一】 a(1)=a,a(n)为公差为r的等差数列 通项公式: a(n)=a(n—1)+r=a(n—2)+2r=...=a[n—(n—1)]+(n—1)r=a(1)+(n—1)r=a+(n—1)r。 可用归纳法证明。 n=1时,a(1)=a+(1—1)r=a。成立。 假设n=k时,等差数列的通项公式成立。a(k)=a+(k—1)r 则,n=k+1时,a(k+1)=a(k)+r=a+(k—1)r+r=a+[(k+1)—1]r。 通项公式也成立。 因此,由归纳法知,等差数列的通项公式是正确的。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+(a+r)+...+[a+(n—1)r] =na+r[1+2+...+(n—1)] =na+n(n—1)r/2 同样,可用归纳法证明求和公式。 a(1)=a,a(n)为公比为r(r不等于0)的等比数列 通项公式: a(n)=a(n—1)r=a(n—2)r^2=...=a[n—(n—1)]r^(n—1)=a(1)r^(n—1)=ar^(n—1)。 可用归纳法证明等比数列的通项公式。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+ar+...+ar^(n—1) =a[1+r+...+r^(n—1)] r不等于1时, S(n)=a[1—r^n]/[1—r] r=1时, S(n)=na。 同样,可用归纳法证明求和公式。 二】 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹。 轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系,设出动点M的坐标; ⒉写出点M的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验。 二、求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 译法:求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系; ②设点——设轨迹上的任一点P(x,y); ③列式——列出动点p所满足的关系式; ④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简; ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 高考数学必修四学*方法 1、先看笔记后做作业。 有的同学感到,老师讲过的,自己已经听得明明白白了。但是为什么你这么做有那么多困难呢?原因是学生对教师所说的理解没有达到教师要求的水*。 因此,每天做作业之前,我们必须先看一下课本的相关内容和当天的课堂笔记。能否如此坚持,常常是好学生与差学生的最大区别。尤其是当练*不匹配时,老师通常没有刚刚讲过的练*类型,因此它们不能被比较和消化。如果你不重视这个实施,在很长一段时间内,会造成很大的损失。 2、做题之后加强反思。 学生一定要明确,现在正做着的题,一定不是考试的题目。但使用现在做主题的解决问题的思路和方法。因此,我们应该反思我们所做的每一个问题,并总结我们自己的收获。 要总结出:这是一道什么内容的题,用的是什么方法。做到知识成片,问题成串。日复一日,建立科学的网络系统的内容和方法。俗话说:有钱难买回头看。做完作业,回头细看,价值极大。这一回顾,是学*过程中一个非常重要的环节。 高考数学必修四学*技巧 1、科学的预*方法 预*中发现的难点,就是听课的重点;对预*中遇到的没有掌握好的有关的旧知识,可进行补缺,以减听课过程中的`困难;有助于提高思维能力,预*后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水*;预*后将课本的例题及老师要讲授的*题提前完成,还可以培养自己的自学能力,与老师的方法进行比较,可以发现更多的方法与技巧。总之,这样会使你的听课更加有的放矢,你会知道哪些该重点听,哪些该重点记。 2、科学的听课方式 听课的过程不是一个被动参预的过程,要全身心地投入课堂学*,耳到、眼到、心到、口到、手到。还要想在老师前面,不断思考:面对这个问题我会怎么想?当老师讲解时,又要思考:老师为什么这样想?这里用了什么思想方法?这样做的目的是什么?这个题有没有更好的方法?问题多了,思路自然就开阔了。 3、科学的记录笔记 记问题——将课堂上未听懂的问题及时记下来,便于课后请教同学或老师,把问题弄懂弄通。 记疑点——对老师在课堂上讲的内容有疑问应及时记下,这类疑点,有可能是自己理解错造成的,也有可能是老师讲课疏忽大意造成的,记下来后,便于课后与老师商榷。 记方法——勤记老师讲的解题技巧、思路及方法,这对于启迪思维,开阔视野,开发智力,培养能力,并对提高解题水*大有益处。 记总结——注意记住老师的课后总结,这对于浓缩一堂课的内容,找出重点及各部分之间的联系,掌握基本概念、公式、定理,寻找存在问题、找到规律,融会贯通课堂内容都很有作用。 1、*面向量基本概念 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段记作或AB; 向量的模:有向线段AB的长度叫做向量的模,记作|AB|; 零向量:长度等于0的向量叫做零向量,记作或0。(注意粗体格式,实数“0”和向量“0”是有区别的,书写时要在实数“0”上加箭头,以免混淆); 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量; *行向量(共线向量):两个方向相同或相反的非零向量叫做*行向量或共线向量,零向量与任意向量*行,即0//a; 单位向量:模等于1个单位长度的向量叫做单位向量,通常用e表示,*行于坐标轴的单位向量*惯上分别用i、j表示。 相反向量:与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,—(—a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。 2、*面向量运算 加法与减法的.代数运算: (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a b=(x1+x2,y1+y2)。 向量加法与减法的几何表示:*行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律:+ = +(交换律);+(+c)=(+)+c(结合律); 实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量。 (1)| |=| |·| |; (2)当a>0时,与a的方向相同;当a<0时,与a的方向相反;当a=0时,a=0。 两个向量共线的充要条件: (1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= 。 (2)若=(),b=()则‖b 。 3、*面向量基本定理 若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量,那么对于这一*面内的任一向量,有且只有一对实数,,使得= e1+ e2。 4、*面向量有关推论 三角形ABC内一点O,OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是三角形的垂心。 若O是三角形ABC的外心,点M满足OA+OB+OC=OM,则M是三角形ABC的垂心。 若O和三角形ABC共面,且满足OA+OB+OC=0,则O是三角形ABC的重心。 三点共线:三点A,B,C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=1) 1.向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。 2.规定若线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。具有方向和长度的线段叫做有向线段。 3.向量的模:向量的大小,也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。 注:向量的模是非负实数,是可以比较大小的。因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。 4.单位向量:长度为一个单位(即模为1)的向量,叫做单位向量.与向量a同向,且长度为单位1的.向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0。 5.长度为0的向量叫做零向量,记作0。零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的。 向量的计算 1.加法 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 2.减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 加减变换律:a+(-b)=a-b 3.数量积 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作θ并规定0≤θ≤π 向量的数量积的运算律 a·b=b·a(交换律) (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律) (a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 向量的数量积的性质 a·a=|a|的*方。 a⊥b〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|) 高中学好数学的方法是什么 数学需要沉下心去做,浮躁的人很难学好数学,踏踏实实做题才是硬道理。 数学要想学好,不琢磨是行不通的,遇到难题不能躲,研究明白了才能罢休。 数学最主要的就是解题过程,懂得数学思维很关键,思路通了,数学自然就会了。 数学不是用来看的,而是用来算的,或许这一秒没思路,当你拿起笔开始计算的那一秒,就豁然开朗了。 数学题目不会做,原因之一就是例题没研究明白,所以数学书上的例题绝对不要放过。 数学函数的奇偶性知识点 1、函数的奇偶性的定义:对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。 复数的概念: 形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。 复数的表示: 复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a叫复数的实部,b叫复数的虚部。 复数的几何意义: (1)复*面、实轴、虚轴: 点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的*面叫做复*面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义:复数集C和复*面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 这是因为,每一个复数有复*面内惟一的一个点和它对应;反过来,复*面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法。 复数的模: 复数z=a+bi(a、b∈R)在复*面上对应的点Z(a,b)到原点的距离叫复数的模,记为|Z|,即|Z|= 虚数单位i: (1)它的`*方等于—1,即i2=—1; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与—1的关系:i就是—1的一个*方根,即方程x2=—1的一个根,方程x2=—1的另一个根是—i。 (4)i的周期性:i4n+1=i,i4n+2=—1,i4n+3=—i,i4n=1。 复数模的性质: 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系: 对于复数a+bi(a、b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。 两个复数相等的定义: 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即:如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di a=c,b=d。特殊地,a,b∈R时,a+bi=0 a=0,b=0。 复数相等的充要条件,提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。 复数相等特别提醒: 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如果两个复数都是实数,就可以比较大小,也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 解复数相等问题的方法步骤: (1)把给的复数化成复数的标准形式; (2)根据复数相等的充要条件解之。 数学学*技巧 1、做好预*: 单元预*时粗读,了解*阶段的学*内容,课时预*时细读,注重知识的形成过程,对难以理解的概念、公式和法则等要做好记录,以便带着问题听课。 2、认真听课: 听课应包括听、思、记三个方面。听,听知识形成的来龙去脉,听重点和难点,听例题的解法和要求。思,一是要善于联想、类比和归纳,二是要敢于质疑,提出问题。记,指课堂笔记——记方法,记疑点,记要求,记注意点。 3、认真解题: 课堂练*是最及时最直接的反馈,一定不能错过。不要急于完成作业,要先看看你的笔记本,回顾学*内容,加深理解,强化记忆。 4、及时纠错: 课堂练*、作业、检测,反馈后要及时查阅,分析错题的原因,必要时强化相关计算的训练。不明白的问题要及时向同学和老师请教了,不能将问题处于悬而未解的状态,养成今日事今日毕的好*惯。 数学中的合数是什么意思? 合数的概念 合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数,而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是4。其中,完全数与相亲数是以它为基础的。 什么是质数 质数又称素数,有无限个。一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。 根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。 质数和合数应用 1、质数与密码学:所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数,编码之后传送给收信人,任何人收到此信息后,若没有此收信人所拥有的密钥,则解密的过程中(实为寻找素数的过程),将会因为找质数的过程(分解质因数)过久,使即使取得信息也会无意义。 2、质数与变速箱:在汽车变速箱齿轮的设计上,相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数,以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数,可增强耐用度减少故障。 不等式 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式 ①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ②了解二元一次不等式的`几何意义,能用*面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. (4)基本不等式: ①了解基本不等式的证明过程. ②会用基本不等式解决简单的(小)值问题圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 一、两个定理 1、共线向量定理: 两向量共线(*行)等价于两个向量满足数乘关系(与实数相乘的向量不是零向量),且数乘系数唯一。用坐标形式表示就是两向量共线则两向量坐标的“内积等于外积”。此定理可以用来证向量*行或者使用向两*行的条件。此定理的延伸是三点共线!三点共线可以向两个向量的等式转化:1.三个点中任意找两组点构成的两个向量共线,满足数乘关系;2.以同一个点为始点、三个点为终点构造三个向量,其中一个可由另外两个线性表示,且系数和为1。 2、*面向量基本定理: *面内两个不共线的向量可以线性表示任何一个向量,且系数唯一。这两个不共线的向量构成一组基底,这两个向量叫基向量。此定理的作用有两个:1.可以统一题目中向量的形式;2.可以利用系数的唯一性求向量的系数(固定的算法模式)。 二、三种形式 *面向量有三种形式,字母形式、几何形式、坐标形式。字母形式要注意带箭头,多考虑几何形式画图解题,特别是能得到特殊的三角形和四边形的情况,向量的坐标和点的坐标不要混淆,向量的坐标是其终点坐标减始点坐标,特殊情况下,若始点在原点,则向量的坐标就是终点坐标。 选择合适的向量形式解决问题是解题的一个关键,优先考虑用几何形式画图做,然后是坐标形式,最后考虑字母形式的变形运算。 三、四种运算 加、减、数乘、数量积。前三种运算是线性运算,结果是向量(0乘以任何向量结果都是零向量,零向量乘以任何实数都是零向量);数量积不是线性运算,结果是实数(零向量乘以任何向量都是0)。线性运算符合所有的实数运算律,数量积不符合消去律和结合律。 向量运算也有三种形式:字母形式、几何形式和坐标形式。 加减法的字母形式注意首尾相接和始点重合。数量积的字母形式公式很重要,要能熟练灵活的使用。 加减法的几何意义是*行四边形和三角形法则,数乘的几何意义是长度的伸缩和方向的共线,数量积的几何意义是一个向量的模乘以另一个向量在第一个向量方向上的射影的数量。向量的夹角用尖括号表示,是两向量始点重合或者终点重合时形成的角,首尾相接形成的角为向量夹角的补角。射影数量有两种求法:1.向量的模乘以夹角余弦;2.两向量数量积除以另一向量的模。 加减法的坐标形式是横纵坐标分别加减,数乘的坐标形式是实数乘以横、纵坐标,数量积的坐标形式是横坐标的乘积加纵坐标的乘积。 四、五个应用 求长度、求夹角、证垂直、证*行、向量和差积的模与模的和差积的关系。前三个应用是数量积的运算性质,证*行的数乘运算性质,零向量不能说和哪个向量方向相同或相反,规定零向量和任意向量都*行且都垂直;一个向量乘以自己再开方就是长度;两个向量数量积除以模的乘积就是夹角的余弦;两个向量满足数乘关系则必定共线(*行)。一个向量除以自己的模得到和自己同方向的.单位向量,加符号是反方向的单位向量 数学函数的值域与最值知识点 1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下: (1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域. (2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元. (3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧. (6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性,可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值. 解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 数列 (1)数列的概念和简单表示法 ①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). ②了解数列是自变量为正整数的一类函数. (2)等差数列、等比数列 ①理解等差数列、等比数列的概念. ②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式. ③能在具体的问题情境中,识别数列的.等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. ④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 一、夯实数学基础的方法 首先课堂紧跟老师,认真听每一节课,记好课堂笔记,有些学生喜欢自己课后自学,课堂不爱听讲,这是极错误的,因为老师对于高考的了解和对知识的掌握,远远胜过我们自学,紧跟老师是打好基础最关键的一步。 对课本基础知识的学*,我们强烈建议大家使用思维导图,可以把课本上的知识都画成树状层,这样更容易理解、记忆,这样知识点不再是孤立而是成了一个网,这比光看书效果要好很多很多。 二、数学正确的做题方法 想学好数学,大量做题确实很有必要,但你真的会做题吗?多数同学虽然也做了大量的题目,但成绩还是不好,核心原因就是做题忽略了最重要的一步,那就是总结反思。每做完一道题目,大家还需要总结一下,问一下自己下面这些问题:它考查了哪些知识、自己有没有掌握、题目的'解题思路在哪里、突破口是什么、属于哪种题型、此类题型有什么共同的套路、此类题型应该用什么方法来解答。只有多问自己几个为什么,你才能真正吃透一道题,达到做一道题会一类题。 做题并不是越多越好,要知道题海战术只是手段,我们最终的目的还是通过做题加深对知识的理解,掌握解题套路,提高做题速度,如果做题不总结,你刷再多题效果也不会明显。 一1.正弦、余弦公式的逆向思维 对于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)这样的形式,运用逆向思维,化解为: cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α) 2.正切公式的逆向思维。 比如,由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)] 可得: tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)] [1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β) tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β) 3.二倍角公式的灵活转化 比如:1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α) =[sin(α)+cos(α)]2 cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)] cos2(α)=[1+cos(2α)]/2 sin2(α)=[1-cos(2α)]/2 1+cos(α)=2cos2(α/2) 1-cos(α)=2sin2(α/2) sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α) sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α) 4.两角和差正弦、余弦公式的相加减、相比。 比如: sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)……1 sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)……2 1式+2式,得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin(α)cos(β) 1式-2式,得到 sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β) 1式比2式,得到 sin(α+β)/sin(α-β)=[sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)]/ [sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)] =[tαn(α)+tαn(β)] / [tαn(α)-tαn(β)] 我们来看两道例题,增加印象。 1.已知cos(α)=1/7,cos(α-β)=13/14,且0<β<α<π/2,求β 本题中,α-β∈(0,π/2) sin(α)=4√3/7 sin(α-β)=3√3/14 cos(β)=cos[α-(α-β)]=cos(α)cos(α-β)+sin(α)sin(α-β) =1/2 β=π/3 2.已知3sin2(α)+2sin2(β)=1,3sin(2α)-2sin(2β)=0,且α,β都是锐角。求α+2β 由3sin2(α)+2sin2(β)=1得到: 1-2sin2(β)=cos(2β)=3sin2(α) 由3sin(2α)-2sin(2β)=0得到: sin(2β)=3sin(2α)/2 cos(α+2β)=cos(α)cos(2β)-sin(α)sin(2β) =cos(α)3sin2(α)-sin(α)3sin(2α)/2 =3sin2(α)cos(α)-3cos(α)sin2(α) =0 加之0<α+2β<270o α+2β=90o 二轨迹知识点 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹. 轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性). 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系,设出动点M的坐标; ⒉写出点M的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验。 求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的`有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 _直译法:求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系; ②设点——设轨迹上的任一点P(x,y); ③列式——列出动点p所满足的关系式; ④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简; ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 学好数学窍门是什么 文科中的科目大部分都是需要理解记忆的,数学其实也是如此,只不过是需要理解做题,勤加锻炼自己的思维能力,面对数学题的时候,从多方面的去思考,数学学没学好其实也体现在每次考试的成绩上,有一些同学*时会觉得自己成绩不错,但是到了考试,成绩并不是很好,这一部分原因是由于你的基础知识不扎实,还是一部分原因是由于你在面对考试的时候,心态差。 魏德武速算 1,加法速算:计算任意位数的加法速算,方法很简单学*者只要熟记一种加法速算通用口诀 ——“本位相加(针对进位数) 减加补,前位相加多加一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的加法速算方法,比如:(1)67+48=(6+5)×10+(7-2)=115(2)758+496=(7+5)×100+(5-0)×10+8-4=1254即可。 2,减法速算:计算任意位数的减法速算方法也同样是用一种减法速算通用口诀 ——“本位相减(针对借位数) 加减补,前位相减多减一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的减法速算方法,比如:(1),67-48=(6-5)×10+(7+2)=19,(2),758-496=(7-5)×100+(5+1)×10+8-6=262即可。 3,乘法速算:魏氏乘法速算通用公式:ab×cd=(a+1)×c×100+b×d+魏氏速算嬗数×10。 *面向量 戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算: (1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ). 向量加法与减法的几何表示:*行四边形法则、三角形法则。 戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律:+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律); 两个向量共线的充要条件: (1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= . (2) 若=(),b=()则‖b . *面向量基本定理: 若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量,那么对于这一*面内的任一向量,戴氏航天学校老师提醒有且只 有一对实数,,使得= e1+ e2 高考数学必修四学*方法 养成良好的课前和课后学**惯:在当前高中数学学*中,培养正确的学**惯是一项重要的学*技能。虽然有一种刻板印象的猜疑,但在高中数学学*真的是反复尝试和错误的。学生们不得不预*课本。我准备的数学教科书不是简单的阅读,而是一个例子,至少十分钟的思考。在使用前不能通过学*知识解决问题的情况下,可以在教学内容中找到答案,然后在教材中考察问题的解决过程,掌握解决问题的思路。同时,在课堂上安排笔记也是必要的。在高中数学研究中,建议采用两种形式的笔记,一种是课堂速记,另一种是课后笔记。这不仅提高了课堂记忆的吸收能力,而且有助于对笔记内容的查询。 高考数学必修四学*技巧 养成良好的学*数学*惯 多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学*数学的过程中,要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言,并永久记忆在自己的'脑海中。良好的学*数学*惯包括课前自学、专心上课、及时复*、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学*几个方面。 及时了解、掌握常用的数学思想和方法 中学数学学*要重点掌握的的数学思想有以上几个:集合与对应思想,分类讨论思想,数形结合思想,运动思想,转化思想,变换思想。 有了数学思想以后,还要掌握具体的方法,比如:换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中,常用的有:观察与实验,联想与类比,比较与分类,分析与综合,归纳与演绎,一般与特殊,有限与无限,抽象与概括等。 正弦函数 主词条:正弦函数。 格式:sin(θ)。 作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角对边长度比斜边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是csc(θ)的倒数。 函数图像:波形曲线。 值域:-1~1。 余弦函数 主词条:余弦函数。 格式:cos(θ)。 作用:在直角三角形中,将大小为(单位为弧度)的角邻边长度比斜边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是sec(θ)的倒数。 函数图像:波形曲线。 值域:-1~1。 正切函数 主词条:正切函数。 格式:tan(θ)。 作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角对边长度比邻边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是cot(θ)的倒数。 函数图像:右图*面直角坐标系反映。 值域:-∞~∞。 余切函数 主词条:余切函数。 格式:cot(θ)。 作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角邻边长度比对边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是tan(θ)的倒数。 函数图像:右图*面直角坐标系反映。 值域:-∞~∞。 正割函数 主词条:正割函数。 格式:sec(θ)。 作用:在直角三角形中,将斜边长度比大小为θ(单位为弧度)的角邻边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是cos(θ)的倒数。 函数图像:右图*面直角坐标系反映。 值域:≥1或≤-1。 余割函数 主词条:余割函数。 格式:csc(θ)。 作用:在直角三角形中,将斜边长度比大小为θ(单位为弧度)的角对边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是sin(θ)的倒数。 函数图像:右图*面直角坐标系反映。 值域:≥1或≤-1。 学数学的用处 第一,实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。就大多数情况来看,不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动,能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。 第二,数学可以使你的大脑变得更加聪明,增加你思维的严谨性,另外,数学对你其它科目的学*也有很大作用。 第三,数学无处不在,工作学*中都用得着,例如日常逛街买东西都是和数学有关的,这时候才能体会到学*数学的好处。 数学函数的解析式与定义域知识点 1、函数及其定义域是不可分割的整体,没有定义域的函数是不存在的,因此,要正确地写出函数的解析式,必须是在求出变量间的对应法则的同时,求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型: (1)有时一个函数来自于一个实际问题,这时自变量x有实际意义,求定义域要结合实际意义考虑; (2)已知一个函数的解析式求其定义域,只要使解析式有意义即可。如: ①分式的'分母不得为零; ②偶次方根的被开方数不小于零; ③对数函数的真数必须大于零; ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1; ⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函数y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等。 应注意,一个函数的解析式由几部分组成时,定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集)。 (3)已知一个函数的定义域,求另一个函数的定义域,主要考虑定义域的深刻含义即可。 已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围,而已知f[g(x)]的定义域[a,b]指的是x∈[a,b],此时f(x)的定义域,即g(x)的值域。 2、求函数的解析式一般有四种情况 (1)根据某实际问题需建立一种函数关系时,必须引入合适的变量,根据数学的有关知识寻求函数的解析式。 (2)有时题设给出函数特征,求函数的解析式,可采用待定系数法。比如函数是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b为待定系数,根据题设条件,列出方程组,求出a,b即可。 (3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法求函数f(x)的表达式,这时必须求出g(x)的值域,这相当于求函数的定义域。 (4)若已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还出现其他未知量(如f(-x),等),必须根据已知等式,再构造其他等式组成方程组,利用解方程组法求出f(x)的表达式。 【公式一】 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) 【公式二】 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=—sinα cos(π+α)=—cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 【公式三】 任意角α与—α的三角函数值之间的关系: sin(—α)=—sinα cos(—α)=cosα tan(—α)=—tanα cot(—α)=—cotα 【公式四】 利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的`关系: sin(π—α)=sinα cos(π—α)=—cosα tan(π—α)=—tanα cot(π—α)=—cotα 【公式五】 利用公式一和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π—α)=—sinα cos(2π—α)=cosα tan(2π—α)=—tanα cot(2π—α)=—cotα 一、立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相*行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相*行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边*行的全等多边形;侧面、对角面都是*行四边形;侧棱*行且相等;*行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;*行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的*方。 (3)棱台: 定义:用一个*行于棱锥底面的*面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的*行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴*行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个*行于圆锥底面的*面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体: 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 二、向量的向量积 定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。 向量的向量积性质: ∣a×b∣是以a和b为边的*行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 三、向量的向量积运算律 a×b=-b×a; (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); (a+b)×c=a×c+b×c. 注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。 四、必修四数学学*方法 数学不是靠老师教会的,而是在老师的`引导下,靠自己主动的思维活动去获取的。学*数学一定要讲究“活”,只看书不做题不行,只埋头做题不总结积累也不行。记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 要建立数学纠错本。把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再 犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 五、必修四数学学*技巧 首先:课前复*。就是上课前花两三分钟把书本本节课要学的内容看一遍。仅仅是看一遍,过一遍。这样上课老师讲自己不但可以跟上老师节奏还可以再次巩固。其余不要干其他多余的事。 其次:上课时候一定要专心听讲,如果觉得老师这里讲得都懂了的话可以自己翻书看后面的内容。做*题的时候一定要一道一道往过做,不要越题做。因为对于课本来说这些都是基础,只有基础完全掌握后才能做难题。上课过程中第一次接触到的知识点概念等,一定一定要当堂背过。不然以后很难背过,不要妄想考前抱佛教再背 另外要把笔记记准确,知道自己需要记什么不需要记什么,憋一个劲地往书上搬。字不要求整齐,自己能看懂就行。课本资料书上有例题,多看多记方法。先看课本基础,在看资料书上着重的。例题的方法一定一定要理解,不要去背!接着下课再看笔记,只是略微巩固记住。 基本初等函数有哪些 基本初等函数包括以下几种: (1)常数函数y = c( c为常数) (2)幂函数y = x^a( a为常数) (3)指数函数y = a^x(a>0, a≠1) (4)对数函数y =log(a) x(a>0, a≠1,真数x>0) (5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数:y =sinx反正弦函数:y = arcsin x等) 基本初等函数性质是什么 幂函数 形如y=x^a的函数,式中a为实常数。 指数函数 形如y=a^x的函数,式中a为不等于1的正常数。 对数函数 指数函数的反函数,记作y=loga a x,式中a为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之间成立关系式,loga ax=x。 三角函数 即正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx,余切函数y=cotx,正割函数y=secx,余割函数y=cscx(见三角学)。 反三角函数 三角函数的反函数——反正弦函数y = arc sinx,反余弦函数y=arc cosx (-1≤x≤1,初等函数0≤y≤π),反正切函数y=arc tanx,反余切函数y = arc cotx(-∞ 学*数学小窍门 建立数学纠错本。 把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 限时训练。 可以找一组题(比如10道选择题),争取限定一个时间完成;也可以找1道大题,限时完成。这主要是创设一种考试情境,检验自己在紧张状态下的思维水*。 调整心态,正确对待考试。 首先,应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上,因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目,而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂,认真思考,尽量让自己理出头绪,做完题后要总结归纳。调整好自己的心态,使自己在任何时候镇静,思路有条不紊,克服浮躁的情绪。 数学函数的值域与最值知识点 1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下: (1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域. (2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元. (3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧. (6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的.单调性,可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值. 数学必修四知识点菁选(扩展2) ——数学必修四知识点菁选 数学必修四知识点 在年少学*的日子里,很多人都经常追着老师们要知识点吧,知识点在教育实践中,是指对某一个知识的泛称。你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗?下面是小编为大家收集的数学必修四知识点,供大家参考借鉴,希望可以帮助到有需要的朋友。 一】 a(1)=a,a(n)为公差为r的等差数列 通项公式: a(n)=a(n—1)+r=a(n—2)+2r=...=a[n—(n—1)]+(n—1)r=a(1)+(n—1)r=a+(n—1)r。 可用归纳法证明。 n=1时,a(1)=a+(1—1)r=a。成立。 假设n=k时,等差数列的通项公式成立。a(k)=a+(k—1)r 则,n=k+1时,a(k+1)=a(k)+r=a+(k—1)r+r=a+[(k+1)—1]r。 通项公式也成立。 因此,由归纳法知,等差数列的通项公式是正确的。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+(a+r)+...+[a+(n—1)r] =na+r[1+2+...+(n—1)] =na+n(n—1)r/2 同样,可用归纳法证明求和公式。 a(1)=a,a(n)为公比为r(r不等于0)的等比数列 通项公式: a(n)=a(n—1)r=a(n—2)r^2=...=a[n—(n—1)]r^(n—1)=a(1)r^(n—1)=ar^(n—1)。 可用归纳法证明等比数列的通项公式。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+ar+...+ar^(n—1) =a[1+r+...+r^(n—1)] r不等于1时, S(n)=a[1—r^n]/[1—r] r=1时, S(n)=na。 同样,可用归纳法证明求和公式。 二】 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹。 轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系,设出动点M的坐标; ⒉写出点M的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验。 二、求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 译法:求动点轨迹方程的.一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系; ②设点——设轨迹上的任一点P(x,y); ③列式——列出动点p所满足的关系式; ④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简; ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 高考数学必修四学*方法 1、先看笔记后做作业。 有的同学感到,老师讲过的,自己已经听得明明白白了。但是为什么你这么做有那么多困难呢?原因是学生对教师所说的理解没有达到教师要求的水*。 因此,每天做作业之前,我们必须先看一下课本的相关内容和当天的课堂笔记。能否如此坚持,常常是好学生与差学生的最大区别。尤其是当练*不匹配时,老师通常没有刚刚讲过的练*类型,因此它们不能被比较和消化。如果你不重视这个实施,在很长一段时间内,会造成很大的损失。 2、做题之后加强反思。 学生一定要明确,现在正做着的题,一定不是考试的题目。但使用现在做主题的解决问题的思路和方法。因此,我们应该反思我们所做的每一个问题,并总结我们自己的收获。 要总结出:这是一道什么内容的题,用的是什么方法。做到知识成片,问题成串。日复一日,建立科学的网络系统的内容和方法。俗话说:有钱难买回头看。做完作业,回头细看,价值极大。这一回顾,是学*过程中一个非常重要的环节。 高考数学必修四学*技巧 1、科学的预*方法 预*中发现的难点,就是听课的重点;对预*中遇到的没有掌握好的有关的旧知识,可进行补缺,以减听课过程中的困难;有助于提高思维能力,预*后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水*;预*后将课本的例题及老师要讲授的*题提前完成,还可以培养自己的自学能力,与老师的方法进行比较,可以发现更多的方法与技巧。总之,这样会使你的听课更加有的放矢,你会知道哪些该重点听,哪些该重点记。 2、科学的听课方式 听课的过程不是一个被动参预的过程,要全身心地投入课堂学*,耳到、眼到、心到、口到、手到。还要想在老师前面,不断思考:面对这个问题我会怎么想?当老师讲解时,又要思考:老师为什么这样想?这里用了什么思想方法?这样做的目的是什么?这个题有没有更好的方法?问题多了,思路自然就开阔了。 3、科学的记录笔记 记问题——将课堂上未听懂的问题及时记下来,便于课后请教同学或老师,把问题弄懂弄通。 记疑点——对老师在课堂上讲的内容有疑问应及时记下,这类疑点,有可能是自己理解错造成的,也有可能是老师讲课疏忽大意造成的,记下来后,便于课后与老师商榷。 记方法——勤记老师讲的解题技巧、思路及方法,这对于启迪思维,开阔视野,开发智力,培养能力,并对提高解题水*大有益处。 记总结——注意记住老师的课后总结,这对于浓缩一堂课的内容,找出重点及各部分之间的联系,掌握基本概念、公式、定理,寻找存在问题、找到规律,融会贯通课堂内容都很有作用。 一1.正弦、余弦公式的逆向思维 对于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)这样的形式,运用逆向思维,化解为: cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α) 2.正切公式的逆向思维。 比如,由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)] 可得: tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)] [1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β) tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β) 3.二倍角公式的灵活转化 比如:1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α) =[sin(α)+cos(α)]2 cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)] cos2(α)=[1+cos(2α)]/2 sin2(α)=[1-cos(2α)]/2 1+cos(α)=2cos2(α/2) 1-cos(α)=2sin2(α/2) sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α) sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α) 4.两角和差正弦、余弦公式的相加减、相比。 比如: sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)……1 sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)……2 1式+2式,得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin(α)cos(β) 1式-2式,得到 sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β) 1式比2式,得到 sin(α+β)/sin(α-β)=[sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)]/ [sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)] =[tαn(α)+tαn(β)] / [tαn(α)-tαn(β)] 我们来看两道例题,增加印象。 1.已知cos(α)=1/7,cos(α-β)=13/14,且0<β<α<π/2,求β 本题中,α-β∈(0,π/2) sin(α)=4√3/7 sin(α-β)=3√3/14 cos(β)=cos[α-(α-β)]=cos(α)cos(α-β)+sin(α)sin(α-β) =1/2 β=π/3 2.已知3sin2(α)+2sin2(β)=1,3sin(2α)-2sin(2β)=0,且α,β都是锐角。求α+2β 由3sin2(α)+2sin2(β)=1得到: 1-2sin2(β)=cos(2β)=3sin2(α) 由3sin(2α)-2sin(2β)=0得到: sin(2β)=3sin(2α)/2 cos(α+2β)=cos(α)cos(2β)-sin(α)sin(2β) =cos(α)3sin2(α)-sin(α)3sin(2α)/2 =3sin2(α)cos(α)-3cos(α)sin2(α) =0 加之0<α+2β<270o α+2β=90o 二轨迹知识点 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹. 轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性). 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系,设出动点M的坐标; ⒉写出点M的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验。 求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的'关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 _直译法:求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系; ②设点——设轨迹上的任一点P(x,y); ③列式——列出动点p所满足的关系式; ④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简; ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 学好数学窍门是什么 文科中的科目大部分都是需要理解记忆的,数学其实也是如此,只不过是需要理解做题,勤加锻炼自己的思维能力,面对数学题的时候,从多方面的去思考,数学学没学好其实也体现在每次考试的成绩上,有一些同学*时会觉得自己成绩不错,但是到了考试,成绩并不是很好,这一部分原因是由于你的基础知识不扎实,还是一部分原因是由于你在面对考试的时候,心态差。 魏德武速算 1,加法速算:计算任意位数的加法速算,方法很简单学*者只要熟记一种加法速算通用口诀 ——“本位相加(针对进位数) 减加补,前位相加多加一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的加法速算方法,比如:(1)67+48=(6+5)×10+(7-2)=115(2)758+496=(7+5)×100+(5-0)×10+8-4=1254即可。 2,减法速算:计算任意位数的减法速算方法也同样是用一种减法速算通用口诀 ——“本位相减(针对借位数) 加减补,前位相减多减一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的减法速算方法,比如:(1),67-48=(6-5)×10+(7+2)=19,(2),758-496=(7-5)×100+(5+1)×10+8-6=262即可。 3,乘法速算:魏氏乘法速算通用公式:ab×cd=(a+1)×c×100+b×d+魏氏速算嬗数×10。 1.向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。 2.规定若线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。具有方向和长度的线段叫做有向线段。 3.向量的模:向量的大小,也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。 注:向量的模是非负实数,是可以比较大小的。因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。 4.单位向量:长度为一个单位(即模为1)的向量,叫做单位向量.与向量a同向,且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0。 5.长度为0的向量叫做零向量,记作0。零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的。 向量的计算 1.加法 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 2.减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 加减变换律:a+(-b)=a-b 3.数量积 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作θ并规定0≤θ≤π 向量的数量积的运算律 a·b=b·a(交换律) (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律) (a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 向量的数量积的性质 a·a=|a|的*方。 a⊥b〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|) 高中学好数学的方法是什么 数学需要沉下心去做,浮躁的人很难学好数学,踏踏实实做题才是硬道理。 数学要想学好,不琢磨是行不通的,遇到难题不能躲,研究明白了才能罢休。 数学最主要的就是解题过程,懂得数学思维很关键,思路通了,数学自然就会了。 数学不是用来看的,而是用来算的,或许这一秒没思路,当你拿起笔开始计算的那一秒,就豁然开朗了。 数学题目不会做,原因之一就是例题没研究明白,所以数学书上的例题绝对不要放过。 数学函数的奇偶性知识点 1、函数的'奇偶性的定义:对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。 一、两个定理 1、共线向量定理: 两向量共线(*行)等价于两个向量满足数乘关系(与实数相乘的向量不是零向量),且数乘系数唯一。用坐标形式表示就是两向量共线则两向量坐标的“内积等于外积”。此定理可以用来证向量*行或者使用向两*行的条件。此定理的延伸是三点共线!三点共线可以向两个向量的等式转化:1.三个点中任意找两组点构成的两个向量共线,满足数乘关系;2.以同一个点为始点、三个点为终点构造三个向量,其中一个可由另外两个线性表示,且系数和为1。 2、*面向量基本定理: *面内两个不共线的向量可以线性表示任何一个向量,且系数唯一。这两个不共线的向量构成一组基底,这两个向量叫基向量。此定理的作用有两个:1.可以统一题目中向量的形式;2.可以利用系数的唯一性求向量的系数(固定的算法模式)。 二、三种形式 *面向量有三种形式,字母形式、几何形式、坐标形式。字母形式要注意带箭头,多考虑几何形式画图解题,特别是能得到特殊的三角形和四边形的情况,向量的坐标和点的坐标不要混淆,向量的坐标是其终点坐标减始点坐标,特殊情况下,若始点在原点,则向量的坐标就是终点坐标。 选择合适的向量形式解决问题是解题的一个关键,优先考虑用几何形式画图做,然后是坐标形式,最后考虑字母形式的变形运算。 三、四种运算 加、减、数乘、数量积。前三种运算是线性运算,结果是向量(0乘以任何向量结果都是零向量,零向量乘以任何实数都是零向量);数量积不是线性运算,结果是实数(零向量乘以任何向量都是0)。线性运算符合所有的实数运算律,数量积不符合消去律和结合律。 向量运算也有三种形式:字母形式、几何形式和坐标形式。 加减法的字母形式注意首尾相接和始点重合。数量积的字母形式公式很重要,要能熟练灵活的使用。 加减法的几何意义是*行四边形和三角形法则,数乘的几何意义是长度的伸缩和方向的共线,数量积的几何意义是一个向量的模乘以另一个向量在第一个向量方向上的射影的数量。向量的夹角用尖括号表示,是两向量始点重合或者终点重合时形成的角,首尾相接形成的角为向量夹角的补角。射影数量有两种求法:1.向量的模乘以夹角余弦;2.两向量数量积除以另一向量的模。 加减法的坐标形式是横纵坐标分别加减,数乘的坐标形式是实数乘以横、纵坐标,数量积的坐标形式是横坐标的乘积加纵坐标的乘积。 四、五个应用 求长度、求夹角、证垂直、证*行、向量和差积的模与模的和差积的关系。前三个应用是数量积的运算性质,证*行的数乘运算性质,零向量不能说和哪个向量方向相同或相反,规定零向量和任意向量都*行且都垂直;一个向量乘以自己再开方就是长度;两个向量数量积除以模的乘积就是夹角的余弦;两个向量满足数乘关系则必定共线(*行)。一个向量除以自己的模得到和自己同方向的单位向量,加符号是反方向的单位向量 数学函数的值域与最值知识点 1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下: (1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域. (2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元. (3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的.定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧. (6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性,可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值. 解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 数列 (1)数列的概念和简单表示法 ①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). ②了解数列是自变量为正整数的一类函数. (2)等差数列、等比数列 ①理解等差数列、等比数列的`概念. ②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式. ③能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. ④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 基本初等函数有哪些 基本初等函数包括以下几种: (1)常数函数y = c( c为常数) (2)幂函数y = x^a( a为常数) (3)指数函数y = a^x(a>0, a≠1) (4)对数函数y =log(a) x(a>0, a≠1,真数x>0) (5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数:y =sinx反正弦函数:y = arcsin x等) 基本初等函数性质是什么 幂函数 形如y=x^a的函数,式中a为实常数。 指数函数 形如y=a^x的函数,式中a为不等于1的正常数。 对数函数 指数函数的反函数,记作y=loga a x,式中a为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之间成立关系式,loga ax=x。 三角函数 即正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx,余切函数y=cotx,正割函数y=secx,余割函数y=cscx(见三角学)。 反三角函数 三角函数的反函数——反正弦函数y = arc sinx,反余弦函数y=arc cosx (-1≤x≤1,初等函数0≤y≤π),反正切函数y=arc tanx,反余切函数y = arc cotx(-∞ 学*数学小窍门 建立数学纠错本。 把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 限时训练。 可以找一组题(比如10道选择题),争取限定一个时间完成;也可以找1道大题,限时完成。这主要是创设一种考试情境,检验自己在紧张状态下的思维水*。 调整心态,正确对待考试。 首先,应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上,因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目,而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂,认真思考,尽量让自己理出头绪,做完题后要总结归纳。调整好自己的心态,使自己在任何时候镇静,思路有条不紊,克服浮躁的情绪。 数学函数的值域与最值知识点 1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下: (1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域. (2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元. (3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧. (6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的'子集上)的单调性,可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值. 一、夯实数学基础的方法 首先课堂紧跟老师,认真听每一节课,记好课堂笔记,有些学生喜欢自己课后自学,课堂不爱听讲,这是极错误的,因为老师对于高考的了解和对知识的掌握,远远胜过我们自学,紧跟老师是打好基础最关键的一步。 对课本基础知识的`学*,我们强烈建议大家使用思维导图,可以把课本上的知识都画成树状层,这样更容易理解、记忆,这样知识点不再是孤立而是成了一个网,这比光看书效果要好很多很多。 二、数学正确的做题方法 想学好数学,大量做题确实很有必要,但你真的会做题吗?多数同学虽然也做了大量的题目,但成绩还是不好,核心原因就是做题忽略了最重要的一步,那就是总结反思。每做完一道题目,大家还需要总结一下,问一下自己下面这些问题:它考查了哪些知识、自己有没有掌握、题目的解题思路在哪里、突破口是什么、属于哪种题型、此类题型有什么共同的套路、此类题型应该用什么方法来解答。只有多问自己几个为什么,你才能真正吃透一道题,达到做一道题会一类题。 做题并不是越多越好,要知道题海战术只是手段,我们最终的目的还是通过做题加深对知识的理解,掌握解题套路,提高做题速度,如果做题不总结,你刷再多题效果也不会明显。 【公式一】 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) 【公式二】 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=—sinα cos(π+α)=—cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 【公式三】 任意角α与—α的三角函数值之间的关系: sin(—α)=—sinα cos(—α)=cosα tan(—α)=—tanα cot(—α)=—cotα 【公式四】 利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的`关系: sin(π—α)=sinα cos(π—α)=—cosα tan(π—α)=—tanα cot(π—α)=—cotα 【公式五】 利用公式一和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π—α)=—sinα cos(2π—α)=cosα tan(2π—α)=—tanα cot(2π—α)=—cotα 不等式 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式 ①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ②了解二元一次不等式的几何意义,能用*面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. (4)基本不等式: ①了解基本不等式的'证明过程. ②会用基本不等式解决简单的(小)值问题圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 问题提出 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量,如果当一个变量的取值一定时,另一个变量的取值被惟一确定,则这两个变量之间的关系就是一个函数关系. 在中学校园里,有这样一种说法:“如果你的数学成绩好,那么你的物理学*就不会有什么大问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系,我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量,那么这两个变量之间的关系是函数关系吗? 我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少,学*兴趣、学*时间、教学水*等,也是影响物理成绩的一些因素,但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系,有必要从理论上作些探讨,如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计,将有着非常重要的现实意义. 知识探究(一):变量之间的相关关系 思考1:考察下列问题中两个变量之间的关系: (1)商品销售收入与广告支出经费; (2)粮食产量与施肥量; (3)人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗? 思考2:“名师出高徒”可以解释为教师的水*越高,学生的水*就越高,那么学生的学业成绩与教师的教学水*之间的关系是函数关系吗?你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗? 思考3:上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系,称之为相关关系,那么相关关系的含义如何? 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系. 1、球的体积和球的半径具有() A函数关系B相关关系 C不确定关系D无任何关系 2、下列两个变量之间的关系不是 函数关系的是() A角的度数和正弦值 B速度一定时,距离和时间的关系 C正方体的棱长和体积 D日照时间和水稻的亩产量AD练:知识探究(二):散点图 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本*均数. 思考1:对某一个人来说,他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少,但是如果把很多个体放在一起,就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据,大体上看,随着年龄的增加,人体脂肪含量怎样变化? 思考2:为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系,我们需要对数据进行分析,通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含量,你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗? 思考3:上图叫做散点图,你能描述一下散点图的含义吗? 在*面直角坐标系中,表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形,称为散点图. 思考4:观察散点图的大致趋势,人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系? 思考5:在上面的散点图中,这些点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.一般地,如果两个变量成正相关,那么这两个变量的变化趋势如何? 思考6:如果两个变量成负相关,从整体上看这两个变量的变化趋势如何?其散点图有什么特点? 一个变量随另一个变量的变大而变小,散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关,类似于函数的.单调性. 知识探究(一):回归直线 思考1:一组样本数据的*均数是样本数据的中心,那么散点图中样本点的中心如何确定?它一定是散点图中的点吗? 思考2:在各种各样的散点图中,有些散点图中的点是杂乱分布的,有些散点图中的点的分布有一定的规律性,年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点? 这些点大致分布在一条直线附*. 思考3:如果散点图中的点的分布,从整体上看大致在一条直线附*,则称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.对具有线性相关关系的两个变量,其回归直线一定通过样本点的中心吗? 思考4:对一组具有线性相关关系的样本数据,你认为其回归直线是一条还是几条? 思考5:在样本数据的散点图中,能否用直尺准确画出回归直线?借助计算机怎样画出回归直线? 知识探究(二):回归方程 在直角坐标系中,任何一条直线都有相应的方程,回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据,如果能够求出它的回归方程,那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系,并根据回归方程对总体进行估计. 思考1:回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系? 整体上最接* 思考2:对于求回归直线方程,你有哪些想法? 思考4:为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接*程度,你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适%某小卖部为了了解热茶销售量与气温 之间的关系,随机统计并制作了某6天 卖出热茶的杯数与当天气温的对照表: 如果某天的气温是-50C,你能根据这些 数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗? 实例探究 为了了解热茶销量与 气温的大致关系,我们 以横坐标x表示气温, 纵坐标y表示热茶销量, 建立直角坐标系.将表 中数据构成的6个数对 表示的点在坐标系内 标出,得到下图。 你发现这些点有什么规律? 今后我们称这样的图为散点图(scatterplot). 建构数学 所以,我们用类似于估计*均数时的 思想,考虑离差的*方和 当x=-5时,热茶销量约为66杯 线性回归方程: 一般地,设有n个观察数据如下:当a,b使三点(3,10),(7,20),(11,24)的 线性回归方程是() 二、求线性回归方程 例2:观察两相关变量得如下表: 求两变量间的回归方程解1:列表: 阅读课本P73例1 EXCEL作散点图 利用线性回归方程解题步骤: 1、先画出所给数据对应的散点图; 2、观察散点,如果在一条直线附*,则说明所给量具有线性相关关系 3、根据公式求出线性回归方程,并解决其他问题。 (1)如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值;(2)分别说明以上两个模型是确定性 模型还是随机模型. 模型1:y=6+4x;模型2:y=6+4x+ 解(1)模型1:y=6+4x=6+4×3=18; 模型2:y=6+4x+e=6+4×3+线性相关与线性回归方程小结1、变量间相关关系的散点图 2、如何利用“最小二乘法”思想求直线的回归方程 3、学会用回归思想考察现实生活中变量之间的相关关系 一、立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相*行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相*行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边*行的全等多边形;侧面、对角面都是*行四边形;侧棱*行且相等;*行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;*行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的`比的*方。 (3)棱台: 定义:用一个*行于棱锥底面的*面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的*行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴*行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个*行于圆锥底面的*面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体: 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 二、向量的向量积 定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。 向量的向量积性质: ∣a×b∣是以a和b为边的*行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 三、向量的向量积运算律 a×b=-b×a; (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); (a+b)×c=a×c+b×c. 注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。 四、必修四数学学*方法 数学不是靠老师教会的,而是在老师的引导下,靠自己主动的思维活动去获取的。学*数学一定要讲究“活”,只看书不做题不行,只埋头做题不总结积累也不行。记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 要建立数学纠错本。把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再 犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 五、必修四数学学*技巧 首先:课前复*。就是上课前花两三分钟把书本本节课要学的内容看一遍。仅仅是看一遍,过一遍。这样上课老师讲自己不但可以跟上老师节奏还可以再次巩固。其余不要干其他多余的事。 其次:上课时候一定要专心听讲,如果觉得老师这里讲得都懂了的话可以自己翻书看后面的内容。做*题的时候一定要一道一道往过做,不要越题做。因为对于课本来说这些都是基础,只有基础完全掌握后才能做难题。上课过程中第一次接触到的知识点概念等,一定一定要当堂背过。不然以后很难背过,不要妄想考前抱佛教再背 另外要把笔记记准确,知道自己需要记什么不需要记什么,憋一个劲地往书上搬。字不要求整齐,自己能看懂就行。课本资料书上有例题,多看多记方法。先看课本基础,在看资料书上着重的。例题的方法一定一定要理解,不要去背!接着下课再看笔记,只是略微巩固记住。 初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算及有限次函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。非初等函数是指凡不是初等函数的函数。 初等函数是最常用的一类函数,包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(以上是基本初等函数),以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数,称为初等函数。 非初等函数的研究与发展是*现代数学的重大成就之一,极大拓展了数学在各个领域的应用,在概率论、物理学科各个分支中等有十分广泛的应用。是函数的一个重要的分支。一般说来,大部分分段函数不是初等函数。如符号函数,狄利克雷函数,gamma函数,误差函数,Weierstrass函数。但是个别分段函数除外。 1、指数函数:函数y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数 a的取值a>1 0 定义域x∈R x∈R 值域y∈(0,+∞) y∈(0,+∞) 单调性全定义域单调递增全定义域单调递减 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 过定点(0,1) (0,1) 注意:⑴由函数的单调性可以看出,在闭区间[a,b]上,指数函数的最值为: a>1时,最小值f(a),最大值f(b);0 ⑵对于任意指数函数y=ax (a>0且a≠1),都有f(1)=a。 2、对数函数:函数y=logax(a>0且a≠1)),叫做对数函数 a的'取值a>1 0 定义域x∈(0,+∞) x∈(0,+∞) 值域y∈R y∈R 单调性全定义域单调递全定义域单调递减 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 过定点(1,0) (1,0) 3、幂函数:函数y=xa(a∈R),高中阶段,幂函数只研究第I象限的情况。 ⑴所有幂函数都在(0,+∞)区间内有定义,而且过定点(1,1)。 ⑵a>0时,幂函数图像过原点,且在(0,+∞)区间为增函数,a越大,图像坡度越大。 ⑶a<0时,幂函数在(0,+∞)区间为减函数。 当x从右侧无限接*原点时,图像无限接*y轴正半轴; 当y无限接*正无穷时,图像无限接*x轴正半轴。 幂函数总图见下页。 4、反函数:将原函数y=f(x)的x和y互换即得其反函数x=f-1(y)。 反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。 数学函数的奇偶性知识点 1、函数的奇偶性的定义:对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。 学数学的用处 第一,实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。就大多数情况来看,不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动,能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。 第二,数学可以使你的大脑变得更加聪明,增加你思维的严谨性,另外,数学对你其它科目的学*也有很大作用。 第三,数学无处不在,工作学*中都用得着,例如日常逛街买东西都是和数学有关的,这时候才能体会到学*数学的好处。 1、*面向量基本概念 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段记作或AB; 向量的模:有向线段AB的长度叫做向量的模,记作|AB|; 零向量:长度等于0的向量叫做零向量,记作或0。(注意粗体格式,实数“0”和向量“0”是有区别的,书写时要在实数“0”上加箭头,以免混淆); 相等向量:长度相等且方向相同的.向量叫做相等向量; *行向量(共线向量):两个方向相同或相反的非零向量叫做*行向量或共线向量,零向量与任意向量*行,即0//a; 单位向量:模等于1个单位长度的向量叫做单位向量,通常用e表示,*行于坐标轴的单位向量*惯上分别用i、j表示。 相反向量:与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,—(—a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。 2、*面向量运算 加法与减法的代数运算: (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a b=(x1+x2,y1+y2)。 向量加法与减法的几何表示:*行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律:+ = +(交换律);+(+c)=(+)+c(结合律); 实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量。 (1)| |=| |·| |; (2)当a>0时,与a的方向相同;当a<0时,与a的方向相反;当a=0时,a=0。 两个向量共线的充要条件: (1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= 。 (2)若=(),b=()则‖b 。 3、*面向量基本定理 若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量,那么对于这一*面内的任一向量,有且只有一对实数,,使得= e1+ e2。 4、*面向量有关推论 三角形ABC内一点O,OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是三角形的垂心。 若O是三角形ABC的外心,点M满足OA+OB+OC=OM,则M是三角形ABC的垂心。 若O和三角形ABC共面,且满足OA+OB+OC=0,则O是三角形ABC的重心。 三点共线:三点A,B,C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=1) 一)两角和差公式(写的都要记) sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA? cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 二)用以上公式可推出下列二倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2 (上面这个余弦的很重要) sin2A=2sinA_osA 三)半角的只需记住这个: tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 四)用二倍角中的余弦可推出降幂公式 (sinA)^2=(1-cos2A)/2 (cosA)^2=(1+cos2A)/2 五)用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式 1-cosA=sin^(A/2)_ 1-sinA=cos^(A/2)_ a(1)=a,a(n)为公差为r的等差数列 通项公式: a(n)=a(n-1)+r=a(n-2)+2r=...=a[n-(n-1)]+(n-1)r=a(1)+(n-1)r=a+(n-1)r. 可用归纳法证明。 n=1时,a(1)=a+(1-1)r=a。成立。 假设n=k时,等差数列的通项公式成立。a(k)=a+(k-1)r 则,n=k+1时,a(k+1)=a(k)+r=a+(k-1)r+r=a+[(k+1)-1]r. 通项公式也成立。 因此,由归纳法知,等差数列的通项公式是正确的。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+(a+r)+...+[a+(n-1)r] =na+r[1+2+...+(n-1)] =na+n(n-1)r/2 同样,可用归纳法证明求和公式。 a(1)=a,a(n)为公比为r(r不等于0)的等比数列 通项公式: a(n)=a(n-1)r=a(n-2)r^2=...=a[n-(n-1)]r^(n-1)=a(1)r^(n-1)=ar^(n-1). 可用归纳法证明等比数列的通项公式。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+ar+...+ar^(n-1) =a[1+r+...+r^(n-1)] r不等于1时, S(n)=a[1-r^n]/[1-r] r=1时, S(n)=na. 同样,可用归纳法证明求和公式。 必修四数学学*方法 掌握数学学*实践阶段:在高中数学学*过程中,我们需要使用正确的学*方法,以及科学合理的学*规则。先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法,曾经说过,尤其是高阶段的数学学*数学,必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。与教学内容的第一周甚至是从基础开始,一周后的头几天,在教学难以提升。以及提升的困难进步一步一步,最好不要去追求所谓的“困难”除了(感兴趣),不利于解决问题方法掌握连续性。同时,根据时间和课程安排的长度适当的审查,只有这样才能记住和使用在长期学*数学知识,不要忘记前面的学*。 必修四数学学*技巧 重视改错错不重犯。 一定要重视改错的这份工作,做到错不再犯。初中数学教学中采用的`方法是告诉学生所有可能的错误,只要有一个人犯了错误,就应该提出,以便所有的学生都能从中吸取教训。这叫“一人有病,全体吃药。” 高中数学课没有那么多时间,除了一小部分那几种典型错,其它错误,不能一一顾及。只能谁有病,谁吃药。如果学生“生病”而忘了吃药,那么没有人会一次又一次地提醒他要注意什么。如果能及时改错,那么错误就可能转变为财富,成为预防针。但是,如果不能及时改错,这个错误就将形成一处“地雷”,迟早要惹祸。 有的学生认为,自己考试成绩上不去,是因为太粗心。其实,原因并非如此。打一个比方。比如说,学*开汽车。右脚下面,往左踩,是踩刹车。往右踩,是踩油门。其机械原理,设计原因,操作规程都可以讲的清清楚楚。如果初学驾驶的人真正掌握了这一套,请问,可以同意他开车上路吗?恐怕他知道他还缺乏练*。一两次你能正确地完成任务,但这并不意味着你永远不会犯错误。练*的数量不够,才是学生出错的真正原因。大家一定要看到,如果自己的基础知识漏洞百出、隐患无穷,那么,今后的数学将是难以学好的。 *面向量 戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算: (1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ). 向量加法与减法的几何表示:*行四边形法则、三角形法则。 戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律:+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律); 两个向量共线的充要条件: (1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= . (2) 若=(),b=()则‖b . *面向量基本定理: 若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量,那么对于这一*面内的任一向量,戴氏航天学校老师提醒有且只 有一对实数,,使得= e1+ e2 高考数学必修四学*方法 养成良好的课前和课后学**惯:在当前高中数学学*中,培养正确的学**惯是一项重要的学*技能。虽然有一种刻板印象的猜疑,但在高中数学学*真的是反复尝试和错误的。学生们不得不预*课本。我准备的数学教科书不是简单的阅读,而是一个例子,至少十分钟的思考。在使用前不能通过学*知识解决问题的情况下,可以在教学内容中找到答案,然后在教材中考察问题的解决过程,掌握解决问题的思路。同时,在课堂上安排笔记也是必要的。在高中数学研究中,建议采用两种形式的笔记,一种是课堂速记,另一种是课后笔记。这不仅提高了课堂记忆的吸收能力,而且有助于对笔记内容的查询。 高考数学必修四学*技巧 养成良好的学*数学*惯 多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学*数学的过程中,要把教师所传授的知识翻译成为自己的`特殊语言,并永久记忆在自己的脑海中。良好的学*数学*惯包括课前自学、专心上课、及时复*、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学*几个方面。 及时了解、掌握常用的数学思想和方法 中学数学学*要重点掌握的的数学思想有以上几个:集合与对应思想,分类讨论思想,数形结合思想,运动思想,转化思想,变换思想。 有了数学思想以后,还要掌握具体的方法,比如:换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中,常用的有:观察与实验,联想与类比,比较与分类,分析与综合,归纳与演绎,一般与特殊,有限与无限,抽象与概括等。 数学必修四知识点菁选(扩展3) ——数学必修四知识点菁选 数学必修四知识点15篇 上学期间,大家最熟悉的就是知识点吧?知识点有时候特指教科书上或考试的知识。哪些才是我们真正需要的知识点呢?下面是小编为大家收集的数学必修四知识点,希望能够帮助到大家。 基本初等函数有哪些 基本初等函数包括以下几种: (1)常数函数y = c( c为常数) (2)幂函数y = x^a( a为常数) (3)指数函数y = a^x(a>0, a≠1) (4)对数函数y =log(a) x(a>0, a≠1,真数x>0) (5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数:y =sinx反正弦函数:y = arcsin x等) 基本初等函数性质是什么 幂函数 形如y=x^a的函数,式中a为实常数。 指数函数 形如y=a^x的函数,式中a为不等于1的正常数。 对数函数 指数函数的反函数,记作y=loga a x,式中a为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之间成立关系式,loga ax=x。 三角函数 即正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx,余切函数y=cotx,正割函数y=secx,余割函数y=cscx(见三角学)。 反三角函数 三角函数的反函数——反正弦函数y = arc sinx,反余弦函数y=arc cosx (-1≤x≤1,初等函数0≤y≤π),反正切函数y=arc tanx,反余切函数y = arc cotx(-∞ 学*数学小窍门 建立数学纠错本。 把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 限时训练。 可以找一组题(比如10道选择题),争取限定一个时间完成;也可以找1道大题,限时完成。这主要是创设一种考试情境,检验自己在紧张状态下的思维水*。 调整心态,正确对待考试。 首先,应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上,因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目,而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂,认真思考,尽量让自己理出头绪,做完题后要总结归纳。调整好自己的心态,使自己在任何时候镇静,思路有条不紊,克服浮躁的情绪。 数学函数的值域与最值知识点 1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下: (1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域. (2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元. (3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧. (6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性,可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的`区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值. 一)两角和差公式(写的都要记) sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA? cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 二)用以上公式可推出下列二倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2 (上面这个余弦的很重要) sin2A=2sinA_osA 三)半角的只需记住这个: tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 四)用二倍角中的余弦可推出降幂公式 (sinA)^2=(1-cos2A)/2 (cosA)^2=(1+cos2A)/2 五)用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式 1-cosA=sin^(A/2)_ 1-sinA=cos^(A/2)_ a(1)=a,a(n)为公差为r的等差数列 通项公式: a(n)=a(n-1)+r=a(n-2)+2r=...=a[n-(n-1)]+(n-1)r=a(1)+(n-1)r=a+(n-1)r. 可用归纳法证明。 n=1时,a(1)=a+(1-1)r=a。成立。 假设n=k时,等差数列的通项公式成立。a(k)=a+(k-1)r 则,n=k+1时,a(k+1)=a(k)+r=a+(k-1)r+r=a+[(k+1)-1]r. 通项公式也成立。 因此,由归纳法知,等差数列的通项公式是正确的。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+(a+r)+...+[a+(n-1)r] =na+r[1+2+...+(n-1)] =na+n(n-1)r/2 同样,可用归纳法证明求和公式。 a(1)=a,a(n)为公比为r(r不等于0)的等比数列 通项公式: a(n)=a(n-1)r=a(n-2)r^2=...=a[n-(n-1)]r^(n-1)=a(1)r^(n-1)=ar^(n-1). 可用归纳法证明等比数列的通项公式。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+ar+...+ar^(n-1) =a[1+r+...+r^(n-1)] r不等于1时, S(n)=a[1-r^n]/[1-r] r=1时, S(n)=na. 同样,可用归纳法证明求和公式。 必修四数学学*方法 掌握数学学*实践阶段:在高中数学学*过程中,我们需要使用正确的学*方法,以及科学合理的学*规则。先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法,曾经说过,尤其是高阶段的数学学*数学,必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。与教学内容的第一周甚至是从基础开始,一周后的头几天,在教学难以提升。以及提升的困难进步一步一步,最好不要去追求所谓的“困难”除了(感兴趣),不利于解决问题方法掌握连续性。同时,根据时间和课程安排的长度适当的.审查,只有这样才能记住和使用在长期学*数学知识,不要忘记前面的学*。 必修四数学学*技巧 重视改错错不重犯。 一定要重视改错的这份工作,做到错不再犯。初中数学教学中采用的方法是告诉学生所有可能的错误,只要有一个人犯了错误,就应该提出,以便所有的学生都能从中吸取教训。这叫“一人有病,全体吃药。” 高中数学课没有那么多时间,除了一小部分那几种典型错,其它错误,不能一一顾及。只能谁有病,谁吃药。如果学生“生病”而忘了吃药,那么没有人会一次又一次地提醒他要注意什么。如果能及时改错,那么错误就可能转变为财富,成为预防针。但是,如果不能及时改错,这个错误就将形成一处“地雷”,迟早要惹祸。 有的学生认为,自己考试成绩上不去,是因为太粗心。其实,原因并非如此。打一个比方。比如说,学*开汽车。右脚下面,往左踩,是踩刹车。往右踩,是踩油门。其机械原理,设计原因,操作规程都可以讲的清清楚楚。如果初学驾驶的人真正掌握了这一套,请问,可以同意他开车上路吗?恐怕他知道他还缺乏练*。一两次你能正确地完成任务,但这并不意味着你永远不会犯错误。练*的数量不够,才是学生出错的真正原因。大家一定要看到,如果自己的基础知识漏洞百出、隐患无穷,那么,今后的数学将是难以学好的。 1.向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。 2.规定若线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。具有方向和长度的线段叫做有向线段。 3.向量的模:向量的大小,也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。 注:向量的模是非负实数,是可以比较大小的。因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。 4.单位向量:长度为一个单位(即模为1)的向量,叫做单位向量.与向量a同向,且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0。 5.长度为0的.向量叫做零向量,记作0。零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的。 向量的计算 1.加法 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 2.减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 加减变换律:a+(-b)=a-b 3.数量积 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作θ并规定0≤θ≤π 向量的数量积的运算律 a·b=b·a(交换律) (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律) (a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 向量的数量积的性质 a·a=|a|的*方。 a⊥b〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|) 高中学好数学的方法是什么 数学需要沉下心去做,浮躁的人很难学好数学,踏踏实实做题才是硬道理。 数学要想学好,不琢磨是行不通的,遇到难题不能躲,研究明白了才能罢休。 数学最主要的就是解题过程,懂得数学思维很关键,思路通了,数学自然就会了。 数学不是用来看的,而是用来算的,或许这一秒没思路,当你拿起笔开始计算的那一秒,就豁然开朗了。 数学题目不会做,原因之一就是例题没研究明白,所以数学书上的例题绝对不要放过。 数学函数的奇偶性知识点 1、函数的奇偶性的定义:对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。 问题提出 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量,如果当一个变量的取值一定时,另一个变量的取值被惟一确定,则这两个变量之间的关系就是一个函数关系. 在中学校园里,有这样一种说法:“如果你的数学成绩好,那么你的物理学*就不会有什么大问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系,我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量,那么这两个变量之间的关系是函数关系吗? 我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少,学*兴趣、学*时间、教学水*等,也是影响物理成绩的一些因素,但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系,有必要从理论上作些探讨,如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计,将有着非常重要的现实意义. 知识探究(一):变量之间的相关关系 思考1:考察下列问题中两个变量之间的关系: (1)商品销售收入与广告支出经费; (2)粮食产量与施肥量; (3)人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗? 思考2:“名师出高徒”可以解释为教师的水*越高,学生的水*就越高,那么学生的学业成绩与教师的教学水*之间的关系是函数关系吗?你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗? 思考3:上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系,称之为相关关系,那么相关关系的含义如何? 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系. 1、球的体积和球的半径具有() A函数关系B相关关系 C不确定关系D无任何关系 2、下列两个变量之间的关系不是 函数关系的是() A角的度数和正弦值 B速度一定时,距离和时间的关系 C正方体的棱长和体积 D日照时间和水稻的亩产量AD练:知识探究(二):散点图 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本*均数. 思考1:对某一个人来说,他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少,但是如果把很多个体放在一起,就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据,大体上看,随着年龄的增加,人体脂肪含量怎样变化? 思考2:为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系,我们需要对数据进行分析,通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含量,你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗? 思考3:上图叫做散点图,你能描述一下散点图的含义吗? 在*面直角坐标系中,表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形,称为散点图. 思考4:观察散点图的大致趋势,人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系? 思考5:在上面的散点图中,这些点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.一般地,如果两个变量成正相关,那么这两个变量的变化趋势如何? 思考6:如果两个变量成负相关,从整体上看这两个变量的变化趋势如何?其散点图有什么特点? 一个变量随另一个变量的变大而变小,散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关,类似于函数的单调性. 知识探究(一):回归直线 思考1:一组样本数据的*均数是样本数据的中心,那么散点图中样本点的中心如何确定?它一定是散点图中的点吗? 思考2:在各种各样的散点图中,有些散点图中的点是杂乱分布的,有些散点图中的`点的分布有一定的规律性,年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点? 这些点大致分布在一条直线附*. 思考3:如果散点图中的点的分布,从整体上看大致在一条直线附*,则称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.对具有线性相关关系的两个变量,其回归直线一定通过样本点的中心吗? 思考4:对一组具有线性相关关系的样本数据,你认为其回归直线是一条还是几条? 思考5:在样本数据的散点图中,能否用直尺准确画出回归直线?借助计算机怎样画出回归直线? 知识探究(二):回归方程 在直角坐标系中,任何一条直线都有相应的方程,回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据,如果能够求出它的回归方程,那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系,并根据回归方程对总体进行估计. 思考1:回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系? 整体上最接* 思考2:对于求回归直线方程,你有哪些想法? 思考4:为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接*程度,你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适%某小卖部为了了解热茶销售量与气温 之间的关系,随机统计并制作了某6天 卖出热茶的杯数与当天气温的对照表: 如果某天的气温是-50C,你能根据这些 数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗? 实例探究 为了了解热茶销量与 气温的大致关系,我们 以横坐标x表示气温, 纵坐标y表示热茶销量, 建立直角坐标系.将表 中数据构成的6个数对 表示的点在坐标系内 标出,得到下图。 你发现这些点有什么规律? 今后我们称这样的图为散点图(scatterplot). 建构数学 所以,我们用类似于估计*均数时的 思想,考虑离差的*方和 当x=-5时,热茶销量约为66杯 线性回归方程: 一般地,设有n个观察数据如下:当a,b使三点(3,10),(7,20),(11,24)的 线性回归方程是() 二、求线性回归方程 例2:观察两相关变量得如下表: 求两变量间的回归方程解1:列表: 阅读课本P73例1 EXCEL作散点图 利用线性回归方程解题步骤: 1、先画出所给数据对应的散点图; 2、观察散点,如果在一条直线附*,则说明所给量具有线性相关关系 3、根据公式求出线性回归方程,并解决其他问题。 (1)如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值;(2)分别说明以上两个模型是确定性 模型还是随机模型. 模型1:y=6+4x;模型2:y=6+4x+ 解(1)模型1:y=6+4x=6+4×3=18; 模型2:y=6+4x+e=6+4×3+线性相关与线性回归方程小结1、变量间相关关系的散点图 2、如何利用“最小二乘法”思想求直线的回归方程 3、学会用回归思想考察现实生活中变量之间的相关关系 一】 a(1)=a,a(n)为公差为r的等差数列 通项公式: a(n)=a(n—1)+r=a(n—2)+2r=...=a[n—(n—1)]+(n—1)r=a(1)+(n—1)r=a+(n—1)r。 可用归纳法证明。 n=1时,a(1)=a+(1—1)r=a。成立。 假设n=k时,等差数列的通项公式成立。a(k)=a+(k—1)r 则,n=k+1时,a(k+1)=a(k)+r=a+(k—1)r+r=a+[(k+1)—1]r。 通项公式也成立。 因此,由归纳法知,等差数列的通项公式是正确的。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+(a+r)+...+[a+(n—1)r] =na+r[1+2+...+(n—1)] =na+n(n—1)r/2 同样,可用归纳法证明求和公式。 a(1)=a,a(n)为公比为r(r不等于0)的等比数列 通项公式: a(n)=a(n—1)r=a(n—2)r^2=...=a[n—(n—1)]r^(n—1)=a(1)r^(n—1)=ar^(n—1)。 可用归纳法证明等比数列的通项公式。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+ar+...+ar^(n—1) =a[1+r+...+r^(n—1)] r不等于1时, S(n)=a[1—r^n]/[1—r] r=1时, S(n)=na。 同样,可用归纳法证明求和公式。 二】 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹。 轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系,设出动点M的坐标; ⒉写出点M的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验。 二、求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的.轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 译法:求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系; ②设点——设轨迹上的任一点P(x,y); ③列式——列出动点p所满足的关系式; ④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简; ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 高考数学必修四学*方法 1、先看笔记后做作业。 有的同学感到,老师讲过的,自己已经听得明明白白了。但是为什么你这么做有那么多困难呢?原因是学生对教师所说的理解没有达到教师要求的水*。 因此,每天做作业之前,我们必须先看一下课本的相关内容和当天的课堂笔记。能否如此坚持,常常是好学生与差学生的最大区别。尤其是当练*不匹配时,老师通常没有刚刚讲过的练*类型,因此它们不能被比较和消化。如果你不重视这个实施,在很长一段时间内,会造成很大的损失。 2、做题之后加强反思。 学生一定要明确,现在正做着的题,一定不是考试的题目。但使用现在做主题的解决问题的思路和方法。因此,我们应该反思我们所做的每一个问题,并总结我们自己的收获。 要总结出:这是一道什么内容的题,用的是什么方法。做到知识成片,问题成串。日复一日,建立科学的网络系统的内容和方法。俗话说:有钱难买回头看。做完作业,回头细看,价值极大。这一回顾,是学*过程中一个非常重要的环节。 高考数学必修四学*技巧 1、科学的预*方法 预*中发现的难点,就是听课的重点;对预*中遇到的没有掌握好的有关的旧知识,可进行补缺,以减听课过程中的困难;有助于提高思维能力,预*后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水*;预*后将课本的例题及老师要讲授的*题提前完成,还可以培养自己的自学能力,与老师的方法进行比较,可以发现更多的方法与技巧。总之,这样会使你的听课更加有的放矢,你会知道哪些该重点听,哪些该重点记。 2、科学的听课方式 听课的过程不是一个被动参预的过程,要全身心地投入课堂学*,耳到、眼到、心到、口到、手到。还要想在老师前面,不断思考:面对这个问题我会怎么想?当老师讲解时,又要思考:老师为什么这样想?这里用了什么思想方法?这样做的目的是什么?这个题有没有更好的方法?问题多了,思路自然就开阔了。 3、科学的记录笔记 记问题——将课堂上未听懂的问题及时记下来,便于课后请教同学或老师,把问题弄懂弄通。 记疑点——对老师在课堂上讲的内容有疑问应及时记下,这类疑点,有可能是自己理解错造成的,也有可能是老师讲课疏忽大意造成的,记下来后,便于课后与老师商榷。 记方法——勤记老师讲的解题技巧、思路及方法,这对于启迪思维,开阔视野,开发智力,培养能力,并对提高解题水*大有益处。 记总结——注意记住老师的课后总结,这对于浓缩一堂课的内容,找出重点及各部分之间的联系,掌握基本概念、公式、定理,寻找存在问题、找到规律,融会贯通课堂内容都很有作用。 初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算及有限次函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。非初等函数是指凡不是初等函数的函数。 初等函数是最常用的一类函数,包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(以上是基本初等函数),以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数,称为初等函数。 非初等函数的研究与发展是*现代数学的重大成就之一,极大拓展了数学在各个领域的应用,在概率论、物理学科各个分支中等有十分广泛的应用。是函数的一个重要的分支。一般说来,大部分分段函数不是初等函数。如符号函数,狄利克雷函数,gamma函数,误差函数,Weierstrass函数。但是个别分段函数除外。 1、指数函数:函数y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数 a的取值a>1 0 定义域x∈R x∈R 值域y∈(0,+∞) y∈(0,+∞) 单调性全定义域单调递增全定义域单调递减 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 过定点(0,1) (0,1) 注意:⑴由函数的单调性可以看出,在闭区间[a,b]上,指数函数的最值为: a>1时,最小值f(a),最大值f(b);0 ⑵对于任意指数函数y=ax (a>0且a≠1),都有f(1)=a。 2、对数函数:函数y=logax(a>0且a≠1)),叫做对数函数 a的取值a>1 0 定义域x∈(0,+∞) x∈(0,+∞) 值域y∈R y∈R 单调性全定义域单调递全定义域单调递减 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 过定点(1,0) (1,0) 3、幂函数:函数y=xa(a∈R),高中阶段,幂函数只研究第I象限的情况。 ⑴所有幂函数都在(0,+∞)区间内有定义,而且过定点(1,1)。 ⑵a>0时,幂函数图像过原点,且在(0,+∞)区间为增函数,a越大,图像坡度越大。 ⑶a<0时,幂函数在(0,+∞)区间为减函数。 当x从右侧无限接*原点时,图像无限接*y轴正半轴; 当y无限接*正无穷时,图像无限接*x轴正半轴。 幂函数总图见下页。 4、反函数:将原函数y=f(x)的x和y互换即得其反函数x=f-1(y)。 反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。 数学函数的奇偶性知识点 1、函数的奇偶性的定义:对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的`定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。 学数学的用处 第一,实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。就大多数情况来看,不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动,能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。 第二,数学可以使你的大脑变得更加聪明,增加你思维的严谨性,另外,数学对你其它科目的学*也有很大作用。 第三,数学无处不在,工作学*中都用得着,例如日常逛街买东西都是和数学有关的,这时候才能体会到学*数学的好处。 【公式一】 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) 【公式二】 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的'关系: sin(π+α)=—sinα cos(π+α)=—cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 【公式三】 任意角α与—α的三角函数值之间的关系: sin(—α)=—sinα cos(—α)=cosα tan(—α)=—tanα cot(—α)=—cotα 【公式四】 利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的关系: sin(π—α)=sinα cos(π—α)=—cosα tan(π—α)=—tanα cot(π—α)=—cotα 【公式五】 利用公式一和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π—α)=—sinα cos(2π—α)=cosα tan(2π—α)=—tanα cot(2π—α)=—cotα 复数的概念: 形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。 复数的表示: 复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a叫复数的实部,b叫复数的虚部。 复数的几何意义: (1)复*面、实轴、虚轴: 点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的*面叫做复*面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义:复数集C和复*面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 这是因为,每一个复数有复*面内惟一的一个点和它对应;反过来,复*面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法。 复数的模: 复数z=a+bi(a、b∈R)在复*面上对应的点Z(a,b)到原点的距离叫复数的模,记为|Z|,即|Z|= 虚数单位i: (1)它的*方等于—1,即i2=—1; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与—1的关系:i就是—1的一个*方根,即方程x2=—1的一个根,方程x2=—1的另一个根是—i。 (4)i的周期性:i4n+1=i,i4n+2=—1,i4n+3=—i,i4n=1。 复数模的性质: 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系: 对于复数a+bi(a、b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。 两个复数相等的定义: 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即:如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di a=c,b=d。特殊地,a,b∈R时,a+bi=0 a=0,b=0。 复数相等的充要条件,提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。 复数相等特别提醒: 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如果两个复数都是实数,就可以比较大小,也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 解复数相等问题的方法步骤: (1)把给的复数化成复数的标准形式; (2)根据复数相等的充要条件解之。 数学学*技巧 1、做好预*: 单元预*时粗读,了解*阶段的学*内容,课时预*时细读,注重知识的形成过程,对难以理解的`概念、公式和法则等要做好记录,以便带着问题听课。 2、认真听课: 听课应包括听、思、记三个方面。听,听知识形成的来龙去脉,听重点和难点,听例题的解法和要求。思,一是要善于联想、类比和归纳,二是要敢于质疑,提出问题。记,指课堂笔记——记方法,记疑点,记要求,记注意点。 3、认真解题: 课堂练*是最及时最直接的反馈,一定不能错过。不要急于完成作业,要先看看你的笔记本,回顾学*内容,加深理解,强化记忆。 4、及时纠错: 课堂练*、作业、检测,反馈后要及时查阅,分析错题的原因,必要时强化相关计算的训练。不明白的问题要及时向同学和老师请教了,不能将问题处于悬而未解的状态,养成今日事今日毕的好*惯。 数学中的合数是什么意思? 合数的概念 合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数,而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是4。其中,完全数与相亲数是以它为基础的。 什么是质数 质数又称素数,有无限个。一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。 根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。 质数和合数应用 1、质数与密码学:所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数,编码之后传送给收信人,任何人收到此信息后,若没有此收信人所拥有的密钥,则解密的过程中(实为寻找素数的过程),将会因为找质数的过程(分解质因数)过久,使即使取得信息也会无意义。 2、质数与变速箱:在汽车变速箱齿轮的设计上,相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数,以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数,可增强耐用度减少故障。 解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 数列 (1)数列的概念和简单表示法 ①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). ②了解数列是自变量为正整数的一类函数. (2)等差数列、等比数列 ①理解等差数列、等比数列的概念. ②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式. ③能在具体的.问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. ④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 正弦函数 主词条:正弦函数。 格式:sin(θ)。 作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角对边长度比斜边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是csc(θ)的倒数。 函数图像:波形曲线。 值域:-1~1。 余弦函数 主词条:余弦函数。 格式:cos(θ)。 作用:在直角三角形中,将大小为(单位为弧度)的角邻边长度比斜边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是sec(θ)的倒数。 函数图像:波形曲线。 值域:-1~1。 正切函数 主词条:正切函数。 格式:tan(θ)。 作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角对边长度比邻边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是cot(θ)的倒数。 函数图像:右图*面直角坐标系反映。 值域:-∞~∞。 余切函数 主词条:余切函数。 格式:cot(θ)。 作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角邻边长度比对边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是tan(θ)的倒数。 函数图像:右图*面直角坐标系反映。 值域:-∞~∞。 正割函数 主词条:正割函数。 格式:sec(θ)。 作用:在直角三角形中,将斜边长度比大小为θ(单位为弧度)的角邻边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是cos(θ)的倒数。 函数图像:右图*面直角坐标系反映。 值域:≥1或≤-1。 余割函数 主词条:余割函数。 格式:csc(θ)。 作用:在直角三角形中,将斜边长度比大小为θ(单位为弧度)的角对边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是sin(θ)的倒数。 函数图像:右图*面直角坐标系反映。 值域:≥1或≤-1。 学数学的用处 第一,实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。就大多数情况来看,不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动,能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。 第二,数学可以使你的大脑变得更加聪明,增加你思维的严谨性,另外,数学对你其它科目的学*也有很大作用。 第三,数学无处不在,工作学*中都用得着,例如日常逛街买东西都是和数学有关的,这时候才能体会到学*数学的好处。 数学函数的解析式与定义域知识点 1、函数及其定义域是不可分割的整体,没有定义域的函数是不存在的,因此,要正确地写出函数的解析式,必须是在求出变量间的对应法则的同时,求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型: (1)有时一个函数来自于一个实际问题,这时自变量x有实际意义,求定义域要结合实际意义考虑; (2)已知一个函数的解析式求其定义域,只要使解析式有意义即可。如: ①分式的分母不得为零; ②偶次方根的被开方数不小于零; ③对数函数的'真数必须大于零; ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1; ⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函数y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等。 应注意,一个函数的解析式由几部分组成时,定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集)。 (3)已知一个函数的定义域,求另一个函数的定义域,主要考虑定义域的深刻含义即可。 已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围,而已知f[g(x)]的定义域[a,b]指的是x∈[a,b],此时f(x)的定义域,即g(x)的值域。 2、求函数的解析式一般有四种情况 (1)根据某实际问题需建立一种函数关系时,必须引入合适的变量,根据数学的有关知识寻求函数的解析式。 (2)有时题设给出函数特征,求函数的解析式,可采用待定系数法。比如函数是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b为待定系数,根据题设条件,列出方程组,求出a,b即可。 (3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法求函数f(x)的表达式,这时必须求出g(x)的值域,这相当于求函数的定义域。 (4)若已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还出现其他未知量(如f(-x),等),必须根据已知等式,再构造其他等式组成方程组,利用解方程组法求出f(x)的表达式。 不等式 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式 ①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ②了解二元一次不等式的几何意义,能用*面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的`二元线性规划问题,并能加以解决. (4)基本不等式: ①了解基本不等式的证明过程. ②会用基本不等式解决简单的(小)值问题圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 一、两个定理 1、共线向量定理: 两向量共线(*行)等价于两个向量满足数乘关系(与实数相乘的向量不是零向量),且数乘系数唯一。用坐标形式表示就是两向量共线则两向量坐标的“内积等于外积”。此定理可以用来证向量*行或者使用向两*行的条件。此定理的延伸是三点共线!三点共线可以向两个向量的等式转化:1.三个点中任意找两组点构成的两个向量共线,满足数乘关系;2.以同一个点为始点、三个点为终点构造三个向量,其中一个可由另外两个线性表示,且系数和为1。 2、*面向量基本定理: *面内两个不共线的向量可以线性表示任何一个向量,且系数唯一。这两个不共线的向量构成一组基底,这两个向量叫基向量。此定理的作用有两个:1.可以统一题目中向量的形式;2.可以利用系数的唯一性求向量的系数(固定的算法模式)。 二、三种形式 *面向量有三种形式,字母形式、几何形式、坐标形式。字母形式要注意带箭头,多考虑几何形式画图解题,特别是能得到特殊的三角形和四边形的情况,向量的坐标和点的坐标不要混淆,向量的坐标是其终点坐标减始点坐标,特殊情况下,若始点在原点,则向量的坐标就是终点坐标。 选择合适的向量形式解决问题是解题的一个关键,优先考虑用几何形式画图做,然后是坐标形式,最后考虑字母形式的变形运算。 三、四种运算 加、减、数乘、数量积。前三种运算是线性运算,结果是向量(0乘以任何向量结果都是零向量,零向量乘以任何实数都是零向量);数量积不是线性运算,结果是实数(零向量乘以任何向量都是0)。线性运算符合所有的实数运算律,数量积不符合消去律和结合律。 向量运算也有三种形式:字母形式、几何形式和坐标形式。 加减法的字母形式注意首尾相接和始点重合。数量积的字母形式公式很重要,要能熟练灵活的使用。 加减法的几何意义是*行四边形和三角形法则,数乘的几何意义是长度的伸缩和方向的共线,数量积的几何意义是一个向量的模乘以另一个向量在第一个向量方向上的射影的数量。向量的夹角用尖括号表示,是两向量始点重合或者终点重合时形成的角,首尾相接形成的角为向量夹角的补角。射影数量有两种求法:1.向量的模乘以夹角余弦;2.两向量数量积除以另一向量的模。 加减法的坐标形式是横纵坐标分别加减,数乘的坐标形式是实数乘以横、纵坐标,数量积的坐标形式是横坐标的乘积加纵坐标的乘积。 四、五个应用 求长度、求夹角、证垂直、证*行、向量和差积的模与模的和差积的关系。前三个应用是数量积的运算性质,证*行的数乘运算性质,零向量不能说和哪个向量方向相同或相反,规定零向量和任意向量都*行且都垂直;一个向量乘以自己再开方就是长度;两个向量数量积除以模的乘积就是夹角的余弦;两个向量满足数乘关系则必定共线(*行)。一个向量除以自己的模得到和自己同方向的单位向量,加符号是反方向的单位向量 数学函数的值域与最值知识点 1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下: (1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域. (2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元. (3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧. (6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性,可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的'几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值. 1、*面向量基本概念 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段记作或AB; 向量的模:有向线段AB的长度叫做向量的模,记作|AB|; 零向量:长度等于0的向量叫做零向量,记作或0。(注意粗体格式,实数“0”和向量“0”是有区别的.,书写时要在实数“0”上加箭头,以免混淆); 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量; *行向量(共线向量):两个方向相同或相反的非零向量叫做*行向量或共线向量,零向量与任意向量*行,即0//a; 单位向量:模等于1个单位长度的向量叫做单位向量,通常用e表示,*行于坐标轴的单位向量*惯上分别用i、j表示。 相反向量:与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,—(—a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。 2、*面向量运算 加法与减法的代数运算: (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a b=(x1+x2,y1+y2)。 向量加法与减法的几何表示:*行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律:+ = +(交换律);+(+c)=(+)+c(结合律); 实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量。 (1)| |=| |·| |; (2)当a>0时,与a的方向相同;当a<0时,与a的方向相反;当a=0时,a=0。 两个向量共线的充要条件: (1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= 。 (2)若=(),b=()则‖b 。 3、*面向量基本定理 若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量,那么对于这一*面内的任一向量,有且只有一对实数,,使得= e1+ e2。 4、*面向量有关推论 三角形ABC内一点O,OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是三角形的垂心。 若O是三角形ABC的外心,点M满足OA+OB+OC=OM,则M是三角形ABC的垂心。 若O和三角形ABC共面,且满足OA+OB+OC=0,则O是三角形ABC的重心。 三点共线:三点A,B,C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=1) 一1.正弦、余弦公式的逆向思维 对于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)这样的形式,运用逆向思维,化解为: cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α) 2.正切公式的逆向思维。 比如,由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)] 可得: tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)] [1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β) tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β) 3.二倍角公式的灵活转化 比如:1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α) =[sin(α)+cos(α)]2 cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)] cos2(α)=[1+cos(2α)]/2 sin2(α)=[1-cos(2α)]/2 1+cos(α)=2cos2(α/2) 1-cos(α)=2sin2(α/2) sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α) sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α) 4.两角和差正弦、余弦公式的相加减、相比。 比如: sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)……1 sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)……2 1式+2式,得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin(α)cos(β) 1式-2式,得到 sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β) 1式比2式,得到 sin(α+β)/sin(α-β)=[sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)]/ [sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)] =[tαn(α)+tαn(β)] / [tαn(α)-tαn(β)] 我们来看两道例题,增加印象。 1.已知cos(α)=1/7,cos(α-β)=13/14,且0<β<α<π/2,求β 本题中,α-β∈(0,π/2) sin(α)=4√3/7 sin(α-β)=3√3/14 cos(β)=cos[α-(α-β)]=cos(α)cos(α-β)+sin(α)sin(α-β) =1/2 β=π/3 2.已知3sin2(α)+2sin2(β)=1,3sin(2α)-2sin(2β)=0,且α,β都是锐角。求α+2β 由3sin2(α)+2sin2(β)=1得到: 1-2sin2(β)=cos(2β)=3sin2(α) 由3sin(2α)-2sin(2β)=0得到: sin(2β)=3sin(2α)/2 cos(α+2β)=cos(α)cos(2β)-sin(α)sin(2β) =cos(α)3sin2(α)-sin(α)3sin(2α)/2 =3sin2(α)cos(α)-3cos(α)sin2(α) =0 加之0<α+2β<270o α+2β=90o 二轨迹知识点 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹. 轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性). 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系,设出动点M的坐标; ⒉写出点M的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验。 求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法:用动点Q的.坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 _直译法:求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系; ②设点——设轨迹上的任一点P(x,y); ③列式——列出动点p所满足的关系式; ④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简; ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 学好数学窍门是什么 文科中的科目大部分都是需要理解记忆的,数学其实也是如此,只不过是需要理解做题,勤加锻炼自己的思维能力,面对数学题的时候,从多方面的去思考,数学学没学好其实也体现在每次考试的成绩上,有一些同学*时会觉得自己成绩不错,但是到了考试,成绩并不是很好,这一部分原因是由于你的基础知识不扎实,还是一部分原因是由于你在面对考试的时候,心态差。 魏德武速算 1,加法速算:计算任意位数的加法速算,方法很简单学*者只要熟记一种加法速算通用口诀 ——“本位相加(针对进位数) 减加补,前位相加多加一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的加法速算方法,比如:(1)67+48=(6+5)×10+(7-2)=115(2)758+496=(7+5)×100+(5-0)×10+8-4=1254即可。 2,减法速算:计算任意位数的减法速算方法也同样是用一种减法速算通用口诀 ——“本位相减(针对借位数) 加减补,前位相减多减一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的减法速算方法,比如:(1),67-48=(6-5)×10+(7+2)=19,(2),758-496=(7-5)×100+(5+1)×10+8-6=262即可。 3,乘法速算:魏氏乘法速算通用公式:ab×cd=(a+1)×c×100+b×d+魏氏速算嬗数×10。 一、立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相*行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相*行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边*行的全等多边形;侧面、对角面都是*行四边形;侧棱*行且相等;*行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;*行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的*方。 (3)棱台: 定义:用一个*行于棱锥底面的*面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的*行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴*行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个*行于圆锥底面的*面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体: 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的.几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 二、向量的向量积 定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。 向量的向量积性质: ∣a×b∣是以a和b为边的*行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 三、向量的向量积运算律 a×b=-b×a; (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); (a+b)×c=a×c+b×c. 注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。 四、必修四数学学*方法 数学不是靠老师教会的,而是在老师的引导下,靠自己主动的思维活动去获取的。学*数学一定要讲究“活”,只看书不做题不行,只埋头做题不总结积累也不行。记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 要建立数学纠错本。把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再 犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 五、必修四数学学*技巧 首先:课前复*。就是上课前花两三分钟把书本本节课要学的内容看一遍。仅仅是看一遍,过一遍。这样上课老师讲自己不但可以跟上老师节奏还可以再次巩固。其余不要干其他多余的事。 其次:上课时候一定要专心听讲,如果觉得老师这里讲得都懂了的话可以自己翻书看后面的内容。做*题的时候一定要一道一道往过做,不要越题做。因为对于课本来说这些都是基础,只有基础完全掌握后才能做难题。上课过程中第一次接触到的知识点概念等,一定一定要当堂背过。不然以后很难背过,不要妄想考前抱佛教再背 另外要把笔记记准确,知道自己需要记什么不需要记什么,憋一个劲地往书上搬。字不要求整齐,自己能看懂就行。课本资料书上有例题,多看多记方法。先看课本基础,在看资料书上着重的。例题的方法一定一定要理解,不要去背!接着下课再看笔记,只是略微巩固记住。 数学必修四知识点菁选(扩展4) ——必修三物理知识点6篇 1.线速度V=s/t=2πr/T 2.角速度ω=/t=2π/T=2πf 3.向心加速度a=V2/r=ω2r=(2π/T)2r 4.向心力F心=mV2/r=mω2r=mr(2π/T)2=mωv=F合 5.周期与频率:T=1/f 6.角速度与线速度的关系:V=ωr 7.角速度与转速的关系ω=2πn(此处频率与转速意义相同) 8.主要物理量及单位:弧长(s):米(m);角度():弧度(rad);频率(f):赫(Hz);周期(T):秒(s);转速(n):r/s;半径(r):米(m);线速度(V):m/s;角速度(ω):rad/s;向心加速度:m/s2。 注: (1)向心力可以由某个具体力提供,也可以由合力提供,还可以由分力提供,方向始终与速度方向垂直,指向圆心; (2)做匀速圆周运动的物体,其向心力等于合力,并且向心力只改变速度的方向,不改变速度的大小,因此物体的动能保持不变,向心力不做功,但动量不断改变。 一、电路的组成: 1、定义:把电源、用电器、开关、导线连接起来组成的电流的路径。 2、各部分元件的作用: (1)电源:提供电能的装置; (2)用电器:工作的设备; (3)开关:控制用电器或用来接通或断开电路; (4)导线:连接作用,形成让电荷移动的通路 二、电路的状态:通路、开路、短路 1、定义: (1)通路:处处接通的电路; (2)开路:断开的电路; (3)短路:将导线直接连接在用电器或电源两端的电路。 2、正确理解通路、开路和短路 三、电路的基本连接方式:串联电路、并联电路 四、电路图(统一符号、横*竖直、简洁美观) 五、电工材料:导体、绝缘体 1、导体 (1)定义:容易导电的物体; (2)导体导电的原因:导体中有自由移动的电荷; 2、绝缘体 (1)定义:不容易导电的物体; (2)原因:缺少自由移动的电荷 六、电流的形成 1、电流是电荷定向移动形成的; 2、形成电流的电荷有:正电荷、负电荷。酸碱盐的水溶液中是正负离子,金属导体中是自由电子。 七.电流的方向 1、规定:正电荷定向移动的方向为电流的方向; 2、电流的方向跟负电荷定向移动的方向相反; 3、在电源外部,电流的方向是从电源的正极流向负极。 八、电流的效应: 热效应、化学效应、磁效应 九、电流的大小: I=Q/t 十、电流的测量 1、单位及其换算:主单位安(A),常用单位毫安(mA)、微安(A) 2、测量工具及其使用方法: (1)电流表; (2)量程; (3)读数方法 (4)电流表的使用规则。 十一、电流的规律: (1)串联电路:I=I1+I2;(2)并联电路:I=I1+I2 方法提示: 1、电流表的使用可总结为(一查两确认,两要两不要) (1)一查:检查指针是否指在零刻度线上; (2)两确认: ①确认所选量程。 ②确认每个大格和每个小格表示的电流值。 两要:一要让电流表串联在被测电路中;二要让电流从+接线柱流入,从-接线柱流出;③两不要:一不要让电流超过所选量程,二不要不经过用电器直接接在电源上。 在事先不知道电流的大小时,可以用试触法选择合适的量程。 2、根据串并联电路的特点求解有关问题的电路 (1)分析电路结构,识别各电路元件间的串联或并联; (2)判断电流表测量的是哪段电路中的电流; (3)根据串并联电路中的电流特点,按照题目给定的条件,求出待求的电流。 位移方向与速度方向 速度方向与位移方向没有直接关系,只有在没有返回(即向着一个方向运动)的直线运动中,速度的方向与位移的方向一定是相同。除此之外,速度方向与位移方向可能相同,也可能不同。例如,在竖直上抛运动中,物体上升时,速度方向(向上)与位移方向(向上)相同,下落过程中在落回抛出点前速度方向(向下)与位移方向(向上)相反,若过抛出点后还可以继续下落,则此后速度方向(向下)又与位移方向(向下)相同。因此要具体情况具体判断。 在曲线运动中,速度方向与位移方向大都不同。因为速度方向为轨迹的切线方向,与轨迹上任意两点的连线(位移)方向多数成不为零的角。 位移方向由运动的起点(你所选择的运动的开始点)指向运动的终点(即末时刻物体所在的点,起点只有一个,而末时刻则可以由问题确定,对应不同的时间段)。例如上述竖直上抛运动,起点是物体的抛出点,而终点则要看问题所给时间的长短,因为可以将整个运动过程分成几段。 电流公式 1、电流强度:I=Q电量/t 2、电阻:R=ρL/S 3、欧姆定律:I=U/R 4、焦耳定律: (1)Q=I2Rt (2)Q=UIt=Pt=UQ电量=U2t/R (纯电阻公式) 一 1、参考系:描述一个物体的运动时,选来作为标准的的另外的物体。 运动是绝对的,静止是相对的。一个物体是运动的还是静止的,都是相对于参考系在而言的。 参考系的选择是任意的,被选为参考系的物体,我们假定它是静止的。选择不同的物体作为参考系,可能得出不同的结论,但选择时要使运动的描述尽量的简单。 通常以地面为参考系。 2、质点: ①定义:用来代替物体的有质量的点。质点是一种理想化的模型,是科学的抽象。 ②物体可看做质点的条件:研究物体的运动时,物体的大小和形状对研究结果的影响可以忽略。且物体能否看成质点,要具体问题具体分析。 ③物体可被看做质点的几种情况: (1)*动的物体通常可视为质点. (2)有转动但相对*动而言可以忽略时,也可以把物体视为质点. (3)同一物体,有时可看成质点,有时不能.当物体本身的大小对所研究问题的影响不能忽略时,不能把物体看做质点,反之,则可以. 注(1)不能以物体的大小和形状为标准来判断物体是否可以看做质点,关键要看所研究问题的性质.当物体的大小和形状对所研究的问题的影响可以忽略不计时,物体可视为质点. (2)质点并不是质量很小的点,要区别于几何学中的“点”. 3、时间和时刻: 时刻是指某一瞬间,用时间轴上的一个点来表示,它与状态量相对应;时间是指起始时刻到终止时刻之间的间隔,用时间轴上的一段线段来表示,它与过程量相对应。 4、位移和路程: 位移用来描述质点位置的变化,是质点的由初位置指向末位置的有向线段,是矢量; 路程是质点运动轨迹的长度,是标量。 5、速度: 用来描述质点运动快慢和方向的物理量,是矢量。 (1)*均速度:是位移与通过这段位移所用时间的比值,其定义式为,方向与位移的方向相同。*均速度对变速运动只能作粗略的描述。 (2)瞬时速度:是质点在某一时刻或通过某一位置的速度,瞬时速度简称速度,它可以精确变速运动。瞬时速度的大小简称速率,它是一个标量。 6、加速度:用量描述速度变化快慢的的物理量。 加速度是矢量,其方向与速度的变化量方向相同(注意与速度的方向没有关系),大小由两个因素决定。 易错现象 1、忽略位移、速度、加速度的矢量性,只考虑大小,不注意方向。 2、混淆速度、速度的增量和加速度之间的关系。 高一物理必修一知识点总结:匀变速直线运动的规律及其应用: 1、定义:在任意相等的时间内速度的变化都相等的直线运动 2、匀变速直线运动的基本规律 (1)任意两个连续相等的时间T内的位移之差为恒量 (2)某段时间内时间中点瞬时速度等于这段时间内的*均速度 4、初速度为零的匀加速直线运动的比例式(2)初速度为零的匀变速直线运动中的几个重要结论 ①1T末,2T末,3T末……瞬时速度之比为: v1∶v2∶v3∶……∶vn=1∶2∶3∶……∶n ②1T内,2T内,3T内……位移之比为: x1∶x2∶x3∶……∶xn=1∶3∶5∶……∶(2n-1) ③第一个T内,第二个T内,第三个T内……第n个T内的位移之比为: xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……∶xN=1∶4∶9∶……∶n2 ④通过连续相等的位移所用时间之比为: 易错现象: 1、在一系列的公式中,不注意的v、a正、负。 2、纸带的处理,是这部分的重点和难点,也是易错问题。 3、滥用初速度为零的匀加速直线运动的特殊公式。 二 1、自由落体运动:只在重力作用下由静止开始的下落运动,因为忽略了空气的阻力,所以是一种理想的运动,是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动。 2、自由落体运动规律 3、竖直上抛运动: 可以看作是初速度为v0,加速度方向与v0方向相反,大小等于的g的匀减速直线运动,可以把它分为向上和向下两个过程来处理。 (2)竖直上抛运动的对称性 物体以初速度v0竖直上抛,A、B为途中的任意两点,C为点,则: (1)时间对称性 物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等,同理tAB=tBA. (2)速度对称性 物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等. [关键一点] 在竖直上抛运动中,当物体经过抛出点上方某一位置时,可能处于上升阶段,也可能处于下降阶段,因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解. 易错现象 1、忽略自由落体运动必须同时具备仅受重力和初速度为零 2、忽略竖直上抛运动中的多解 3、小球或杆过某一位置或圆筒的问题 高一物理必修一知识点整理:运动的图象运动的相遇和追及问题 1、图象: 图像在中学物理中占有举足轻重的地位,其优点是可以形象直观地反映物理量间的函数关系。位移和速度都是时间的函数,在描述运动规律时,常用x—t图象和v—t图象. (1)x—t图象 ①物理意义:反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律。②表示物体处于静止状态 ②图线斜率的意义 ①图线上某点切线的斜率的大小表示物体速度的大小. ②图线上某点切线的斜率的正负表示物体方向. 数学必修四知识点菁选(扩展5) ——必修三物理知识点 (菁华5篇) 一 1、参考系:描述一个物体的运动时,选来作为标准的的另外的物体。 运动是绝对的,静止是相对的。一个物体是运动的还是静止的,都是相对于参考系在而言的。 参考系的选择是任意的,被选为参考系的物体,我们假定它是静止的。选择不同的物体作为参考系,可能得出不同的结论,但选择时要使运动的描述尽量的简单。 通常以地面为参考系。 2、质点: ①定义:用来代替物体的有质量的点。质点是一种理想化的模型,是科学的抽象。 ②物体可看做质点的条件:研究物体的运动时,物体的大小和形状对研究结果的影响可以忽略。且物体能否看成质点,要具体问题具体分析。 ③物体可被看做质点的几种情况: (1)*动的物体通常可视为质点. (2)有转动但相对*动而言可以忽略时,也可以把物体视为质点. (3)同一物体,有时可看成质点,有时不能.当物体本身的大小对所研究问题的影响不能忽略时,不能把物体看做质点,反之,则可以. 注(1)不能以物体的大小和形状为标准来判断物体是否可以看做质点,关键要看所研究问题的性质.当物体的大小和形状对所研究的问题的影响可以忽略不计时,物体可视为质点. (2)质点并不是质量很小的点,要区别于几何学中的“点”. 3、时间和时刻: 时刻是指某一瞬间,用时间轴上的一个点来表示,它与状态量相对应;时间是指起始时刻到终止时刻之间的间隔,用时间轴上的一段线段来表示,它与过程量相对应。 4、位移和路程: 位移用来描述质点位置的变化,是质点的由初位置指向末位置的有向线段,是矢量; 路程是质点运动轨迹的长度,是标量。 5、速度: 用来描述质点运动快慢和方向的物理量,是矢量。 (1)*均速度:是位移与通过这段位移所用时间的比值,其定义式为,方向与位移的方向相同。*均速度对变速运动只能作粗略的描述。 (2)瞬时速度:是质点在某一时刻或通过某一位置的速度,瞬时速度简称速度,它可以精确变速运动。瞬时速度的大小简称速率,它是一个标量。 6、加速度:用量描述速度变化快慢的的物理量。 加速度是矢量,其方向与速度的变化量方向相同(注意与速度的方向没有关系),大小由两个因素决定。 易错现象 1、忽略位移、速度、加速度的矢量性,只考虑大小,不注意方向。 2、混淆速度、速度的增量和加速度之间的关系。 高一物理必修一知识点总结:匀变速直线运动的规律及其应用: 1、定义:在任意相等的时间内速度的变化都相等的直线运动 2、匀变速直线运动的基本规律 (1)任意两个连续相等的时间T内的位移之差为恒量 (2)某段时间内时间中点瞬时速度等于这段时间内的*均速度 4、初速度为零的匀加速直线运动的比例式(2)初速度为零的匀变速直线运动中的几个重要结论 ①1T末,2T末,3T末……瞬时速度之比为: v1∶v2∶v3∶……∶vn=1∶2∶3∶……∶n ②1T内,2T内,3T内……位移之比为: x1∶x2∶x3∶……∶xn=1∶3∶5∶……∶(2n-1) ③第一个T内,第二个T内,第三个T内……第n个T内的位移之比为: xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶……∶xN=1∶4∶9∶……∶n2 ④通过连续相等的位移所用时间之比为: 易错现象: 1、在一系列的公式中,不注意的v、a正、负。 2、纸带的处理,是这部分的重点和难点,也是易错问题。 3、滥用初速度为零的匀加速直线运动的特殊公式。 二 1、自由落体运动:只在重力作用下由静止开始的下落运动,因为忽略了空气的阻力,所以是一种理想的运动,是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动。 2、自由落体运动规律 3、竖直上抛运动: 可以看作是初速度为v0,加速度方向与v0方向相反,大小等于的g的匀减速直线运动,可以把它分为向上和向下两个过程来处理。 (2)竖直上抛运动的对称性 物体以初速度v0竖直上抛,A、B为途中的任意两点,C为点,则: (1)时间对称性 物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等,同理tAB=tBA. (2)速度对称性 物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等. [关键一点] 在竖直上抛运动中,当物体经过抛出点上方某一位置时,可能处于上升阶段,也可能处于下降阶段,因此这类问题可能造成时间多解或者速度多解. 易错现象 1、忽略自由落体运动必须同时具备仅受重力和初速度为零 2、忽略竖直上抛运动中的多解 3、小球或杆过某一位置或圆筒的问题 高一物理必修一知识点整理:运动的图象运动的'相遇和追及问题 1、图象: 图像在中学物理中占有举足轻重的地位,其优点是可以形象直观地反映物理量间的函数关系。位移和速度都是时间的函数,在描述运动规律时,常用x—t图象和v—t图象. (1)x—t图象 ①物理意义:反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律。②表示物体处于静止状态 ②图线斜率的意义 ①图线上某点切线的斜率的大小表示物体速度的大小. ②图线上某点切线的斜率的正负表示物体方向. ③两种特殊的x-t图象 (1)匀速直线运动的x-t图象是一条过原点的直线. (2)若x-t图象是一条*行于时间轴的直线,则表示物体处 于静止状态 (2)v—t图象 ①物理意义:反映了做直线运动的物体的速度随时间变化 的规律. ②图线斜率的意义 a图线上某点切线的斜率的大小表示物体运动的加速度的大小. b图线上某点切线的斜率的正负表示加速度的方向. ③图象与坐标轴围成的“面积”的意义 a图象与坐标轴围成的面积的数值表示相应时间内的位移的大小。 b若此面积在时间轴的上方,表示这段时间内的位移方向为正方向;若此面积在时间轴的下方,表示这段时间内的位移方向为负方向. ③常见的两种图象形式 (1)匀速直线运动的v-t图象是与横轴*行的直线. (2)匀变速直线运动的v-t图象是一条倾斜的直线. 2、相遇和追及问题: 这类问题的关键是两物体在运动过程中,速度关系和位移关系,要注意寻找问题中隐含的临界条件。 1、混淆x—t图象和v-t图象,不能区分它们的物理意义 数学必修四知识点菁选(扩展6) ——数学必修二第二章知识点(精选5篇) 函数简介 函数的定义通常分为传统定义和*代定义,函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而*代定义是从集合、映射的观点出发。 函数的*代定义是给定一个数集A,假设其中的元素为x,对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B,假设B中的元素为y,则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示。 函数概念含有三个要素:定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。 函数最早由中国清朝数学家李善兰翻译,出于其著作《代数学》。之所以这么翻译,他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,或者说一个量中包含另一个量。 一、一次函数定义与定义式: 自变量x和因变量y有如下关系: y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。 即:y=kx(k为常数,k≠0) 二、一次函数的性质: 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k 即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质: 1.作法与图形:通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线,可以作出一次函数的图像――一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k,b与函数图像所在象限: 当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大; 当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。 当b>0时,直线必通过一、二象限; 当b=0时,直线通过原点 当b<0时,直线必通过三、四象限。 特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。 这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式: 已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……② (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用: 1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。 2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。 六、常用公式: 1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2) 2.求与x轴*行线段的中点:|x1-x2|/2 3.求与y轴*行线段的中点:|y1-y2|/2 4.求任意线段的长:√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的*方和) 数学集合与集合之间的关系知识点 某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号,含有有限个元素叫有限集,含有无限个元素叫无限集,空集是不含任何元素的集,记做Φ。空集是任何集合的子集,是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集,真子集都具有传递性。(说明一下:如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素,则A称作是B的子集,写作A B。若A是B的子集,且A不等于B,则A称作是B的真子集,一般写作A属于B。中学教材课本里将符号下加了一个不等于符号,不要混淆,考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。) 高中数学的学*方法 多看辅导书 老师布置的作业我肯定都要做完,但我不会满足于老师布置的作业,我还要看一些辅导书籍,做一些辅导书籍上的作业,直到我能理解定义、定理和公式的含义,一道题尽量用多种办法去解题,做到举一反三。我经常买和课程有关的辅导书籍看,每一门课程我都有好几本相关的辅导书籍。 定期整理归纳 每学完一章的内容,我都要进行小结。把这章的内容归纳一下,把定义、定理、公式和这个定义、定理、公式有代表行的练*题写出来,最后就是用几句话把这一章的内容概括一下,目的是方便记忆。我写在一张纸上,放在口袋里,随时会拿出这张纸来看一下。我一般不看完,只看前面几个字,然后去想后面的内容,实在想不出来才再看一下的。考试前每一科目我都是把内容归纳后,写在纸上放在口袋里,跑到没人的大树底下,一会看一下归纳的纸条,背诵内容和例题。 随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念: (1)必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件; (2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件; (4)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事nA件A出现的频数;称事件A出现的比例fn(A)=n为事件A出现的概率:对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率。nA (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值n,它具有一定的稳定性,总在某个常数附*摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以*似地作为这个事件的概率 概率的基本性质 1、基本概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件 (2)若A∩B为不可能事件,即A∩B=ф,那么称事件A与事件B互斥; (3)若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件; (4)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B) 2、概率的基本性质: 1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;2)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B); 3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B); 4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形:(1)事件A发生且事件B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;(3)事件A与事件B同时不发生,而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形;(1)事件A发生B不发生;(2)事件B发生事件A不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。 学*数学小窍门 建立数学纠错本。 把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 限时训练。 可以找一组题(比如10道选择题),争取限定一个时间完成;也可以找1道大题,限时完成。这主要是创设一种考试情境,检验自己在紧张状态下的思维水*。 调整心态,正确对待考试。 首先,应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上,因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目,而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂,认真思考,尽量让自己理出头绪,做完题后要总结归纳。调整好自己的心态,使自己在任何时候镇静,思路有条不紊,克服浮躁的情绪。 数学映射、函数、反函数知识点 1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别,映射是一种特殊的对应,而函数又是一种特殊的映射。 2、对于函数的概念,应注意如下几点: (1)掌握构成函数的.三要素,会判断两个函数是否为同一函数。 (2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法,能根实际问题寻求变量间的函数关系式,特别是会求分段函数的解析式。 (3)如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数,其中g(x)为内函数,f(u)为外函数。 3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤: (1)确定原函数的值域,也就是反函数的定义域; (2)由y=f(x)的解析式求出x=f—1(y); (3)将x,y对换,得反函数的*惯表达式y=f—1(x),并注明定义域。 注意①:对于分段函数的反函数,先分别求出在各段上的反函数,然后再合并到一起。 ②熟悉的应用,求f—1(x0)的值,合理利用这个结论,可以避免求反函数的过程,从而简化运算。 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即:方程有实数根,函数的图象与坐标轴有交点,函数有零点. 3、函数零点的求法: (1)(代数法)求方程的实数根; (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: (1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 两个*面的位置关系: (1)两个*面互相*行的定义:空间两*面没有公共点 (2)两个*面的位置关系: 两个*面*行-----没有公共点;两个*面相交-----有一条公共直线。 a、*行 两个*面*行的判定定理:如果一个*面内有两条相交直线都*行于另一个*面,那么这两个*面*行。 两个*面*行的性质定理:如果两个*行*面同时和第三个*面相交,那么交线*行。 b、相交 二面角 (1)半*面:*面内的一条直线把这个*面分成两个部分,其中每一个部分叫做半*面。 (2)二面角:从一条直线出发的两个半*面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0°,180°] (3)二面角的棱:这一条直线叫做二面角的棱。 (4)二面角的面:这两个半*面叫做二面角的面。 (5)二面角的*面角:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的*面角。 (6)直二面角:*面角是直角的二面角叫做直二面角。 esp.两*面垂直 两*面垂直的定义:两*面相交,如果所成的角是直二面角,就说这两个*面互相垂直。记为⊥ 两*面垂直的判定定理:如果一个*面经过另一个*面的一条垂线,那么这两个*面互相垂直 两个*面垂直的性质定理:如果两个*面互相垂直,那么在一个*面内垂直于交线的直线垂直于另一个*面。 (3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点. 学好数学的方法 抓学*节奏 数学课没有一定的`速度是无效学*,慢腾腾的学*是训练不出思维速度,训练不出思维的敏捷性,是培养不出数学能力的,这就要求在数学学*中一定要有节奏,这样久而久之,思维的敏捷性和数学能力会逐步提高。 整理数学笔记 准备一本笔记本,把一些重要的公式,基本内容记录下来。不要以为数学只要一直刷题就可以了。连公式都记不住,再怎么刷也是无用的,效率不高,事倍功半!所以要把知识点记录下来,在配上典型例题,就可以熟记知识点,还加强运用,提高效率。 集合的定义 集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中,构成集合的这些对象则称为该集合的元素。 例如,全中国人的集合,它的元素就是每一个中国人。通常用大写字母如A,B,S,T……表示集合,而用小写字母如a,b,x,y……表示集合的元素。若x是集合S的元素,则称x属于S,记为x∈S。若y不是集合S的元素,则称y不属于S,记为y?S。 直线与*面有几种位置关系 直线与*面的关系有3种:直线在*面上,直线与*面相交,直线与*面*行。其中直线与*面相交,又分为直线与*面斜交和直线与*面垂直两个子类。 直线在*面内――有无数个公共点;直线与*面相交――有且只有一个公共点;直线与*面*行――没有公共点。直线与*面相交和*行统称为直线在*面外。 直线与*面垂直的判定:如果直线L与*面α内的任意一直线都垂直,我们就说直线L与*面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做*面α的垂线,*面α叫做直线L的垂面。 线面*行:*面外一条直线与此*面内的一条直线*行,则该直线与此*面*行。*面外一条直线与此*面的垂线垂直,则这条直线与此*面*行。 直线与*面的夹角范围 [0,90°]或者说是[0,π/2]这个范围。 当两条直线非垂直的相交的时候,形成了4个角,这4个角分成两组对顶角。两个锐角,两个钝角。按照规定,选择锐角的那一对对顶角作为直线和直线的夹角。 直线的方向向量m=(2,0,1),*面的法向量为n=(-1,1,2),m,n夹角为θ,cosθ=(m_n)/|m||n|,结果等于0.也就是说,l和*面法向量垂直,那么l*行于*面。l和*面夹角就为0° 提高数学成绩的技巧是什么 课内重视听讲,课后及时复* 接受一种新的知识,主要实在课堂上进行的,所以要重视课堂上的学*效率,找到适合自己的学*方法,上课时要跟住老师的思路,积极思考。下课之后要及时复*,遇到不懂的地方要及时去问,在做作业的时候,先把老师课堂上讲解的内容回想一遍,还要牢牢的掌握公式及推理过程,尽量不要去翻书。尽量自己思考,不要急于翻看答案。还要经常性的总结和复*,把知识点结合起来,变成自己的知识体系。 多做题,养成良好的解题*惯 要想学好数学,大量做题是必可避免的,熟练地掌握各种题型,这样才能有效的提高数学成绩。刚开始做题的时候先以书上*题为主,答好基础,然后逐渐增加难度,开拓思路,练*各种类型的解题思路,对于容易出现错误的题型,应该记录下来,反复加以联系。在做题的时候应该养成良好的解题*惯,集中注意力,这样才能进入最佳的状态,形成*惯,这样在考试的时候才能运用自如。 数学三角函数知识点 1.终边与终边相同(的终边在终边所在射线上). 终边与终边共线(的终边在终边所在直线上). 终边与终边关于轴对称 终边与终边关于轴对称 终边与终边关于原点对称 一般地:终边与终边关于角的终边对称. 与的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定. 2.弧长公式:,扇形面积公式:1弧度(1rad). 3.三角函数符号特征是:一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正. 4.三角函数线的特征是:正弦线“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线“躺在轴上(起点是原点)”、正切线“站在点处(起点是)”.务必重视“三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系,‘正弦’‘纵坐标’、‘余弦’‘横坐标’、‘正切’‘纵坐标除以横坐标之商’”;务必记住:单位圆中角终边的变化与值的大小变化的关系为锐角 5.三角函数同角关系中,*方关系的运用中,务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值,精确确定角的范围,并进行定号”; 6.三角函数诱导公式的本质是:奇变偶不变,符号看象限. 7.三角函数变换主要是:角、函数名、次数、系数(常值)的变换,其核心是“角的变换”! 角的变换主要有:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 8.三角函数性质、图像及其变换: (1)三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性 注意:正切函数、余切函数的定义域;绝对值对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或*方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变;其他不定.如的周期都是,但的周期为,y=|tanx|的周期不变,问函数y=cos|x|,,y=cos|x|是周期函数吗? (2)三角函数图像及其几何性质: (3)三角函数图像的变换:两轴方向的*移、伸缩及其向量的*移变换. (4)三角函数图像的作法:三角函数线法、五点法(五点横坐标成等差数列)和变换法. 9.三角形中的三角函数: (1)内角和定理:三角形三角和为,任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的*方和大于第三边的*方. (2)正弦定理:(R为三角形外接圆的半径). (3)余弦定理:常选用余弦定理鉴定三角形的类型. 1、数列概念 ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集Nx或其有限子集{1,2,3,…,n}的函数,其中的{1,2,3,…,n}不能省略。 ②用函数的观点认识数列是重要的思想方法,一般情况下函数有三种表示方法,数列也不例外,通常也有三种表示方法:a、列表法;b、图像法;c、解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。 ③函数不一定有解析式,同样数列也并非都有通项公式。 等差数列 1、等差数列通项公式 an=a1+(n—1)d n=1时a1=S1 n≥2时an=Sn—Sn—1 an=kn+b(k,b为常数)推导过程:an=dn+a1—d令d=k,a1—d=b则得到an=kn+b 2、等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时,A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。 有关系:A=(a+b)÷2 3、前n项和 倒序相加法推导前n项和公式: Sn=a1+a2+a3+·····+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n—1)d]① Sn=an+an—1+an—2+······+a1 =an+(an—d)+(an—2d)+······+[an—(n—1)d]② 由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an) ∴Sn=n(a1+an)÷2 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半: Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n—1)d÷2 Sn=dn2÷2+n(a1—d÷2) 亦可得 a1=2sn÷n—an=[sn—n(n—1)d÷2]÷n an=2sn÷n—a1 有趣的是S2n—1=(2n—1)an,S2n+1=(2n+1)an+1 4、等差数列性质 一、任意两项am,an的关系为: an=am+(n—m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。 二、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出: a1+an=a2+an—1=a3+an—2=…=ak+an—k+1,k∈Nx 三、若m,n,p,q∈Nx,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aq 四、对任意的k∈Nx,有 Sk,S2k—Sk,S3k—S2k,…,Snk—S(n—1)k…成等差数列。 等比数列 1、等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。 有关系: 注:两个非零同号的实数的等比中项有两个,它们互为相反数,所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。 2、等比数列通项公式 an=a1xq’(n—1)(其中首项是a1,公比是q) an=Sn—S(n—1)(n≥2) 前n项和 当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为 Sn=a1(1—q’n)/(1—q)=(a1—a1xq’n)/(1—q)(q≠1) 当q=1时,等比数列的前n项和的公式为 Sn=na1 3、等比数列前n项和与通项的关系 an=a1=s1(n=1) an=sn—s(n—1)(n≥2) 4、等比数列性质 (1)若m、n、p、q∈Nx,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq; (2)在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列。 (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:a1·an=a2·an—1=a3·an—2=…=ak·an—k+1,k∈{1,2,…,n} (4)等比中项:q、r、p成等比数列,则aq·ap=ar2,ar则为ap,aq等比中项。 记πn=a1·a2…an,则有π2n—1=(an)2n—1,π2n+1=(an+1)2n+1 另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 (5)等比数列前n项之和Sn=a1(1—q’n)/(1—q) (6)任意两项am,an的关系为an=am·q’(n—m) 数学必修四知识点菁选(扩展7) ——物理必修二知识点实用五份 1、参考系:运动是绝对的,静止是相对的。一个物体是运动的还是静止的,都是相对于参考系在而言的。通常以地面为参考系。 2、质点: (1)定义:用来代替物体的有质量的点。质点是一种理想化的模型,是科学的抽象。 (2)物体可看做质点的条件:研究物体的运动时,物体的大小和形状对研究结果的影响可以忽略。且物体能否看成质点,要具体问题具体分析。 (3)物体可被看做质点的几种情况: ①*动的物体通常可视为质点。 ②有转动但相对*动而言可以忽略时,也可以把物体视为质点。 ③同一物体,有时可看成质点,有时不能.当物体本身的大小对所研究问题的影响不能忽略时,不能把物体看做质点,反之,则可以。 【注】质点并不是质量很小的点,要区别于几何学中的“点”。 3、时间和时刻: 时刻是指某一瞬间,用时间轴上的一个点来表示,它与状态量相对应;时间是指起始时刻到终止时刻之间的间隔,用时间轴上的一段线段来表示,它与过程量相对应。 4、位移和路程: 位移用来描述质点位置的变化,是质点的由初位置指向末位置的有向线段,是矢量; 路程是质点运动轨迹的长度,是标量。 5、速度: 用来描述质点运动快慢和方向的物理量,是矢量。 (1)*均速度:是位移与通过这段位移所用时间的比值,其定义式为,方向与位移的方向相同。*均速度对变速运动只能作粗略的描述。 (2)瞬时速度:是质点在某一时刻或通过某一位置的速度,瞬时速度简称速度,它可以精确变速运动。瞬时速度的大小简称速率,它是一个标量。 6、加速度:用量描述速度变化快慢的的物理量,其定义式为。 加速度是矢量,其方向与速度的变化量方向相同(注意与速度的方向没有关系),大小由两个因素决定。 补充:速度与加速度的`关系 1、速度与加速度没有必然的关系,即: (1)速度大,加速度不一定也大; (2)加速度大,速度不一定也大; (3)速度为零,加速度不一定也为零; (4)加速度为零,速度不一定也为零。 2、当加速度a与速度V方向的关系确定时,则有: (1)若a与V方向相同时,不管a如何变化,V都增大。 (2)若a与V方向相反时,不管a如何变化,V都减小。 功率的概念: 1、定义:单位时间里完成的,叫做功率。 2、意义:它是表示做功快慢的物理量。 3、功率的决定因素: (1)功的大小。 (2)做功时间的长度。 比较做功快慢有三种方法: (1)在相同时间内,做的功越多,做功越快; (2)做同样多的功,所用时间越短,做功越快; (3)所做的功跟所用时间的比值。 增大功率的方法: 单位时间内做功增多;减少做单位功的时间 一、功 1.概念:如果一个力作用在物体上,物体在这个力的方向上移动了一段距离,力学里就说这个力做了功。这个功的概念主要是针对机械功定义的。 2.做功的两个必要因素:一个是作用在物体上的力,另一个是物体在这个力的方向上通过的距离。“必要”的含义是指做功的两个因素必须都有,缺一不可,否则就没有做功。 力对物体不做功的情况,可分为以下三种情况: ①物体受到力的作用但没有通过距离,这个力对物体没有做功。例如人用力推大卡车但没有推动;一个人提着一袋大米站着不动,力都没有对物体做功。 ②物体不受外力,由于惯性而运动的物体,虽然通过了一段距离,但物体没有受到力的作用,这种情况也没有做功。例如在光滑的冰面上滑动的冰块,靠惯性向前运动,虽然在水*方向上通过了距离,但是并没有水*方向上的力作用于它,所以没有什么力对冰块做功。 ③物体通过的距离跟它受力的方向垂直,这种情况虽然有力的作用,物体也通过了一段距离,但这个距离不是在力的方向上通过的距离,这个力也没有做功。例如人在水*面上推车前进,重力的方向是竖直向下的,车虽然通过了距离,但不是在重力方向上通过的距离,因而重力没有对车做功。 3.功的计算:在物理学中,把力与在力的方向上移动的距离的乘积叫功;如果用 F 表示力, s 表示在力的方向上通过的距离, W 表示功,那么功的计算公式就是 W=F・s . 4.功的正、负与零功 根据功的计算公式 W=F・S・cosα可得出下列几种情况: ①当α=90°时,cosα=0,则 W=0,即力对物体不做功。例如圆周运动的向心力。 ②当α<90°时,cosα>0,则W>0,此时力F对物体做正功。 ③当α>90°时,cosα<0,则W<0为负值,此力做负功,叫物体克服此力做功。 5功的单位:在国际单位制中,力的'单位是牛,距离的单位是米,功的单位是牛・米,它有一个专门的名称叫焦耳,简称焦,符号是 J . 1J=1N・m.其物理意义是:作用在物体上的力是 1N ,物体在力的方向上通过的距离是 1m ,则这个力做的功是 1J ,把 1 个鸡蛋举高 2m 所做的功大约是 1J . 二、功率 1.定义:功率是表示物体做功快慢的物理量。物体在单位时间内完成的功,叫功率。 2.公式:W=P/t ,P 代表功率, W 代表做的功, t 代表做功的时间。公式 P=F・v,可用来求瞬时功率。 3.单位:功率的国际单位是瓦特, 1W=1J/s.其他单位还有千瓦,换算关系为:1kW=10?W 三、机械效率 机械效率是指任何机械本身都受到力的作用,相对运动的零件间又存在摩擦,所以使用任何机械,除了做有用功外,都不可避免地要做额外功。这时动力所做的总功等于有用功加额外功。有用功跟总功的比值叫机械效率。用符号η表示,计算公式为η=W有/W总-100%(或η=W有/W有+W额) 高中物理答题窍门 (1)每一选项都要认真研究,选出最佳答案,当某一选项不敢确定时,宁可少选也不错眩 (2)注意题干要求,让你选择的是“不正确的”、“可能的”还是“一定的”。 (3)相信第一判断:凡已做出判断的题目,要做改动时,请十二分小心,只有当你检查时发现第一次判断肯定错了,另一个百分之百是正确答案时,才能做出改动,而当你拿不定主意时千万不要改。特别是对中等程度及偏下的同学这一点尤为重要。 匀变速直线运动知识点 1.*均速度V*=s/t(定义式) 2.有用推论Vt2-Vo2=2as 3.中间时刻速度Vt/2=V*=(Vt+Vo)/2 4.末速度Vt=Vo+at 5.中间位置速度Vs/2=[(Vo2+Vt2)/2]1/2 6.位移s=V*t=Vot+at2/2=Vt/2t 7.加速度a=(Vt-Vo)/t {以Vo为正方向,a与Vo同向(加速)a>0;反向则a<0} 8.实验用推论Δs=aT2 {Δs为连续相邻相等时间(T)内位移之差} 9.主要物理量及单位:初速度(Vo):m/s;加速度(a):m/s2;末速度(Vt):m/s;时间(t)秒(s);位移(s):米(m);路程:米;速度单位换算:1m/s=3.6km/h。 注:(1)*均速度是矢量; (2)物体速度大,加速度不一定大; (3)a=(Vt-Vo)/t只是量度式,不是决定式; 知识点总结 一、开普勒行星运动定律 (1)、所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在所有椭圆的一个焦点上, (2)、对于每一颗行星,太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积, (3)、所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。 二、万有引力定律 1、内容:宇宙间的一切物体都是互相吸引的,两个物体间的引力大小,跟它们的质量的乘积成正比,跟它们的距离的*方成反比、 2、公式:F=Gr2m1m2,其中G=6.67×10-11 N・m2/kg2,称为引力常量、 3、适用条件:严格地说公式只适用于质点间的相互作用,当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时,公式也可*似使用,但此时r应为两物体重心间的距离、对于均匀的球体,r是两球心间的距离、 三、万有引力定律的应用 1、解决天体(卫星)运动问题的基本思路 (1)把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力提供,关系式:Gr2Mm=mrv2=mω2r=mT2π2r. (2)在地球表面或地面附*的物体所受的重力等于地球对物体的万有引力,即mg=GR2Mm,gR2=GM. 2、天体质量和密度的估算通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T,轨道半径r,由万有引力等于向心力,即Gr2Mm=mT24π2r,得出天体质量M=GT24π2r3. (1)若已知天体的半径R,则天体的密度ρ=VM=πR34=GT2R33πr3 (2)若天体的.卫星环绕天体表面运动,其轨道半径r等于天体半径R,则天体密度ρ=GT23π可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期,就可求得天体的密度、 3、人造卫星 (1)研究人造卫星的基本方法:看成匀速圆周运动,其所需的向心力由万有引力提供、Gr2Mm=mrv2=mrω2=mrT24π2=ma向、 (2)卫星的线速度、角速度、周期与半径的关系 ①由Gr2Mm=mrv2得v=rGM,故r越大,v越小、 ②由Gr2Mm=mrω2得ω=r3GM,故r越大,ω越小、 ③由Gr2Mm=mrT24π2得T=GM4π2r3,故r越大,T越大 (3)人造卫星的超重与失重 ①人造卫星在发射升空时,有一段加速运动;在返回地面时,有一段减速运动,这两个过程加速度方向均向上,因而都是超重状态、 ②人造卫星在沿圆轨道运动时,由于万有引力提供向心力,所以处于完全失重状态、在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都会停止发生、 (4)三种宇宙速度 ①第一宇宙速度(环绕速度)v1=7.9 km/s.这是卫星绕地球做圆周运动的最大速度,也是卫星的最小发射速度、若7.9 km/s≤v<11.2 km/s,物体绕地球运行、 ②第二宇宙速度(脱离速度)v2=11.2 km/s.这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度、若11.2 km/s≤v<16.7 km/s,物体绕太阳运行、 ③第三宇宙速度(逃逸速度)v3=16.7 km/s这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度、若v≥16.7 km/s,物体将脱离太阳系在宇宙空间运行、 题型: 1、求星球表面的重力加速度在星球表面处万有引力等于或*似等于重力,则:GR2Mm=mg,所以g=R2GM(R为星球半径,M为星球质量)、由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为:g2g1=R12R22・M2M1. 2、求某高度处的重力加速度若设离星球表面**处的重力加速度为gh,则:G(R+h)2Mm=mgh,所以gh=(R+h)2GM,可见随高度的增加重力加速度逐渐减小、ggh=(R+h)2R2. 3、*地卫星与同步卫星 (1)*地卫星其轨道半径r*似地等于地球半径R,其运动速度v=RGM==7.9 km/s,是所有卫星的最大绕行速度;运行周期T=85 min,是所有卫星的最小周期;向心加速度a=g=9.8 m/s2是所有卫星的最大加速度、数学必修四知识点6
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数学必修一知识点6篇物理必修一知识点 (菁选6篇)生物必修三知识点总结 (菁选6篇)生物必修二知识点总结 (菁选6篇)数学必修一知识点 50句菁华数学必修一知识点 40句菁华数学必修二知识点归纳 (菁华5篇)数学必修五知识点总结 (菁华5篇)数学必修一知识点 (菁华5篇)必修四政治知识点框架 (菁华3篇)数学必修四知识点 (菁华3篇)数学必修一必修二知识点总结 (菁华3篇)高中数学必修2知识点总结数学必修四知识点菁选数学必修四知识点菁选数学必修四知识点菁选数学必修四知识点通用10篇必修四数学知识点优选【10】篇数学必修一知识点(十)份数学必修二知识点归纳实用5份高一数学必修一知识点通用五篇必修四政治知识点总结优选【5】份数学必修一必修二知识点总结范本5份
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