日期:2023-02-19 00:00:00
数学必修四知识点(15篇)
在我们*凡无奇的学生时代,是不是经常追着老师要知识点?知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练*我能掌握”的内容。你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗?以下是小编整理的数学必修四知识点,欢迎大家借鉴与参考,希望对大家有所帮助。
问题提出
函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量,如果当一个变量的取值一定时,另一个变量的取值被惟一确定,则这两个变量之间的关系就是一个函数关系.
在中学校园里,有这样一种说法:“如果你的数学成绩好,那么你的物理学*就不会有什么大问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系,我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量,那么这两个变量之间的关系是函数关系吗?
我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少,学*兴趣、学*时间、教学水*等,也是影响物理成绩的一些因素,但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系,有必要从理论上作些探讨,如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计,将有着非常重要的现实意义.
知识探究(一):变量之间的相关关系
思考1:考察下列问题中两个变量之间的关系:
(1)商品销售收入与广告支出经费;
(2)粮食产量与施肥量;
(3)人体内的脂肪含量与年龄.
这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗?
思考2:“名师出高徒”可以解释为教师的水*越高,学生的水*就越高,那么学生的学业成绩与教师的教学水*之间的关系是函数关系吗?你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗?
思考3:上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系,称之为相关关系,那么相关关系的含义如何?
自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.
1、球的体积和球的半径具有()
A函数关系B相关关系
C不确定关系D无任何关系
2、下列两个变量之间的关系不是
函数关系的是()
A角的度数和正弦值
B速度一定时,距离和时间的关系
C正方体的棱长和体积
D日照时间和水稻的亩产量AD练:知识探究(二):散点图
【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据:
其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本*均数.
思考1:对某一个人来说,他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少,但是如果把很多个体放在一起,就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据,大体上看,随着年龄的增加,人体脂肪含量怎样变化?
思考2:为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系,我们需要对数据进行分析,通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含量,你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗?
思考3:上图叫做散点图,你能描述一下散点图的含义吗?
在*面直角坐标系中,表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形,称为散点图.
思考4:观察散点图的大致趋势,人的年龄的'与人体脂肪含量具有什么相关关系?
思考5:在上面的散点图中,这些点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.一般地,如果两个变量成正相关,那么这两个变量的变化趋势如何?
思考6:如果两个变量成负相关,从整体上看这两个变量的变化趋势如何?其散点图有什么特点?
一个变量随另一个变量的变大而变小,散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.
一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关,类似于函数的单调性.
知识探究(一):回归直线
思考1:一组样本数据的*均数是样本数据的中心,那么散点图中样本点的中心如何确定?它一定是散点图中的点吗?
思考2:在各种各样的散点图中,有些散点图中的点是杂乱分布的,有些散点图中的点的分布有一定的规律性,年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点?
这些点大致分布在一条直线附*.
思考3:如果散点图中的点的分布,从整体上看大致在一条直线附*,则称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.对具有线性相关关系的两个变量,其回归直线一定通过样本点的中心吗?
思考4:对一组具有线性相关关系的样本数据,你认为其回归直线是一条还是几条?
思考5:在样本数据的散点图中,能否用直尺准确画出回归直线?借助计算机怎样画出回归直线?
知识探究(二):回归方程
在直角坐标系中,任何一条直线都有相应的方程,回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据,如果能够求出它的回归方程,那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系,并根据回归方程对总体进行估计.
思考1:回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系?
整体上最接*
思考2:对于求回归直线方程,你有哪些想法?
思考4:为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接*程度,你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适%某小卖部为了了解热茶销售量与气温
之间的关系,随机统计并制作了某6天
卖出热茶的杯数与当天气温的对照表:
如果某天的气温是-50C,你能根据这些
数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗?
实例探究
为了了解热茶销量与
气温的大致关系,我们
以横坐标x表示气温,
纵坐标y表示热茶销量,
建立直角坐标系.将表
中数据构成的6个数对
表示的点在坐标系内
标出,得到下图。
你发现这些点有什么规律?
今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).
建构数学
所以,我们用类似于估计*均数时的
思想,考虑离差的*方和
当x=-5时,热茶销量约为66杯
线性回归方程:
一般地,设有n个观察数据如下:当a,b使三点(3,10),(7,20),(11,24)的
线性回归方程是()
二、求线性回归方程
例2:观察两相关变量得如下表:
求两变量间的回归方程解1:列表:
阅读课本P73例1
EXCEL作散点图
利用线性回归方程解题步骤:
1、先画出所给数据对应的散点图;
2、观察散点,如果在一条直线附*,则说明所给量具有线性相关关系
3、根据公式求出线性回归方程,并解决其他问题。
(1)如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值;(2)分别说明以上两个模型是确定性
模型还是随机模型.
模型1:y=6+4x;模型2:y=6+4x+
解(1)模型1:y=6+4x=6+4×3=18;
模型2:y=6+4x+e=6+4×3+线性相关与线性回归方程小结1、变量间相关关系的散点图
2、如何利用“最小二乘法”思想求直线的回归方程
3、学会用回归思想考察现实生活中变量之间的相关关系
一】
a(1)=a,a(n)为公差为r的等差数列
通项公式:
a(n)=a(n—1)+r=a(n—2)+2r=...=a[n—(n—1)]+(n—1)r=a(1)+(n—1)r=a+(n—1)r。
可用归纳法证明。
n=1时,a(1)=a+(1—1)r=a。成立。
假设n=k时,等差数列的通项公式成立。a(k)=a+(k—1)r
则,n=k+1时,a(k+1)=a(k)+r=a+(k—1)r+r=a+[(k+1)—1]r。
通项公式也成立。
因此,由归纳法知,等差数列的通项公式是正确的。
求和公式:
S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)
=a+(a+r)+...+[a+(n—1)r]
=na+r[1+2+...+(n—1)]
=na+n(n—1)r/2
同样,可用归纳法证明求和公式。
a(1)=a,a(n)为公比为r(r不等于0)的等比数列
通项公式:
a(n)=a(n—1)r=a(n—2)r^2=...=a[n—(n—1)]r^(n—1)=a(1)r^(n—1)=ar^(n—1)。
可用归纳法证明等比数列的通项公式。
求和公式:
S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)
=a+ar+...+ar^(n—1)
=a[1+r+...+r^(n—1)]
r不等于1时,
S(n)=a[1—r^n]/[1—r]
r=1时,
S(n)=na。
同样,可用归纳法证明求和公式。
二】
符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹。
轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。
【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤
⒈建立适当的坐标系,设出动点M的坐标;
⒉写出点M的集合;
⒊列出方程=0;
⒋化简方程为最简形式;
⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
译法:求动点轨迹方程的一般步骤
①建系——建立适当的坐标系;
②设点——设轨迹上的任一点P(x,y);
③列式——列出动点p所满足的关系式;
④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简;
⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
高考数学必修四学*方法
1、先看笔记后做作业。
有的同学感到,老师讲过的,自己已经听得明明白白了。但是为什么你这么做有那么多困难呢?原因是学生对教师所说的理解没有达到教师要求的水*。
因此,每天做作业之前,我们必须先看一下课本的相关内容和当天的课堂笔记。能否如此坚持,常常是好学生与差学生的最大区别。尤其是当练*不匹配时,老师通常没有刚刚讲过的练*类型,因此它们不能被比较和消化。如果你不重视这个实施,在很长一段时间内,会造成很大的损失。
2、做题之后加强反思。
学生一定要明确,现在正做着的题,一定不是考试的题目。但使用现在做主题的解决问题的思路和方法。因此,我们应该反思我们所做的每一个问题,并总结我们自己的收获。
要总结出:这是一道什么内容的题,用的是什么方法。做到知识成片,问题成串。日复一日,建立科学的网络系统的内容和方法。俗话说:有钱难买回头看。做完作业,回头细看,价值极大。这一回顾,是学*过程中一个非常重要的环节。
高考数学必修四学*技巧
1、科学的预*方法
预*中发现的难点,就是听课的重点;对预*中遇到的没有掌握好的有关的旧知识,可进行补缺,以减听课过程中的`困难;有助于提高思维能力,预*后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水*;预*后将课本的例题及老师要讲授的*题提前完成,还可以培养自己的自学能力,与老师的方法进行比较,可以发现更多的方法与技巧。总之,这样会使你的听课更加有的放矢,你会知道哪些该重点听,哪些该重点记。
2、科学的听课方式
听课的过程不是一个被动参预的过程,要全身心地投入课堂学*,耳到、眼到、心到、口到、手到。还要想在老师前面,不断思考:面对这个问题我会怎么想?当老师讲解时,又要思考:老师为什么这样想?这里用了什么思想方法?这样做的目的是什么?这个题有没有更好的方法?问题多了,思路自然就开阔了。
3、科学的记录笔记
记问题——将课堂上未听懂的问题及时记下来,便于课后请教同学或老师,把问题弄懂弄通。
记疑点——对老师在课堂上讲的内容有疑问应及时记下,这类疑点,有可能是自己理解错造成的,也有可能是老师讲课疏忽大意造成的,记下来后,便于课后与老师商榷。
记方法——勤记老师讲的解题技巧、思路及方法,这对于启迪思维,开阔视野,开发智力,培养能力,并对提高解题水*大有益处。
记总结——注意记住老师的课后总结,这对于浓缩一堂课的内容,找出重点及各部分之间的联系,掌握基本概念、公式、定理,寻找存在问题、找到规律,融会贯通课堂内容都很有作用。
1、*面向量基本概念
有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段记作或AB;
向量的模:有向线段AB的长度叫做向量的模,记作|AB|;
零向量:长度等于0的向量叫做零向量,记作或0。(注意粗体格式,实数“0”和向量“0”是有区别的,书写时要在实数“0”上加箭头,以免混淆);
相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;
*行向量(共线向量):两个方向相同或相反的非零向量叫做*行向量或共线向量,零向量与任意向量*行,即0//a;
单位向量:模等于1个单位长度的向量叫做单位向量,通常用e表示,*行于坐标轴的单位向量*惯上分别用i、j表示。
相反向量:与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,—(—a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。
2、*面向量运算
加法与减法的.代数运算:
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a b=(x1+x2,y1+y2)。
向量加法与减法的几何表示:*行四边形法则、三角形法则。
向量加法有如下规律:+ = +(交换律);+(+c)=(+)+c(结合律);
实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量。
(1)| |=| |·| |;
(2)当a>0时,与a的方向相同;当a<0时,与a的方向相反;当a=0时,a=0。
两个向量共线的充要条件:
(1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= 。
(2)若=(),b=()则‖b 。
3、*面向量基本定理
若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量,那么对于这一*面内的任一向量,有且只有一对实数,,使得= e1+ e2。
4、*面向量有关推论
三角形ABC内一点O,OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是三角形的垂心。
若O是三角形ABC的外心,点M满足OA+OB+OC=OM,则M是三角形ABC的垂心。
若O和三角形ABC共面,且满足OA+OB+OC=0,则O是三角形ABC的重心。
三点共线:三点A,B,C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=1)
1.向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。
2.规定若线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。具有方向和长度的线段叫做有向线段。
3.向量的模:向量的大小,也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。
注:向量的模是非负实数,是可以比较大小的。因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。
4.单位向量:长度为一个单位(即模为1)的向量,叫做单位向量.与向量a同向,且长度为单位1的.向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0。
5.长度为0的向量叫做零向量,记作0。零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的。
向量的计算
1.加法
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2.减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0
加减变换律:a+(-b)=a-b
3.数量积
定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作θ并规定0≤θ≤π
向量的数量积的运算律
a·b=b·a(交换律)
(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)
(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)
向量的数量积的性质
a·a=|a|的*方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|)
高中学好数学的方法是什么
数学需要沉下心去做,浮躁的人很难学好数学,踏踏实实做题才是硬道理。
数学要想学好,不琢磨是行不通的,遇到难题不能躲,研究明白了才能罢休。
数学最主要的就是解题过程,懂得数学思维很关键,思路通了,数学自然就会了。
数学不是用来看的,而是用来算的,或许这一秒没思路,当你拿起笔开始计算的那一秒,就豁然开朗了。
数学题目不会做,原因之一就是例题没研究明白,所以数学书上的例题绝对不要放过。
数学函数的奇偶性知识点
1、函数的奇偶性的定义:对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).
正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).
2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。
复数的概念:
形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。
复数的表示:
复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a叫复数的实部,b叫复数的虚部。
复数的几何意义:
(1)复*面、实轴、虚轴:
点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的*面叫做复*面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数
(2)复数的几何意义:复数集C和复*面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即
这是因为,每一个复数有复*面内惟一的一个点和它对应;反过来,复*面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法。
复数的模:
复数z=a+bi(a、b∈R)在复*面上对应的点Z(a,b)到原点的距离叫复数的模,记为|Z|,即|Z|=
虚数单位i:
(1)它的`*方等于—1,即i2=—1;
(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立
(3)i与—1的关系:i就是—1的一个*方根,即方程x2=—1的一个根,方程x2=—1的另一个根是—i。
(4)i的周期性:i4n+1=i,i4n+2=—1,i4n+3=—i,i4n=1。
复数模的性质:
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:
对于复数a+bi(a、b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。
两个复数相等的定义:
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即:如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di
a=c,b=d。特殊地,a,b∈R时,a+bi=0
a=0,b=0。
复数相等的充要条件,提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。
复数相等特别提醒:
一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如果两个复数都是实数,就可以比较大小,也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
解复数相等问题的方法步骤:
(1)把给的复数化成复数的标准形式;
(2)根据复数相等的充要条件解之。
数学学*技巧
1、做好预*:
单元预*时粗读,了解*阶段的学*内容,课时预*时细读,注重知识的形成过程,对难以理解的概念、公式和法则等要做好记录,以便带着问题听课。
2、认真听课:
听课应包括听、思、记三个方面。听,听知识形成的来龙去脉,听重点和难点,听例题的解法和要求。思,一是要善于联想、类比和归纳,二是要敢于质疑,提出问题。记,指课堂笔记——记方法,记疑点,记要求,记注意点。
3、认真解题:
课堂练*是最及时最直接的反馈,一定不能错过。不要急于完成作业,要先看看你的笔记本,回顾学*内容,加深理解,强化记忆。
4、及时纠错:
课堂练*、作业、检测,反馈后要及时查阅,分析错题的原因,必要时强化相关计算的训练。不明白的问题要及时向同学和老师请教了,不能将问题处于悬而未解的状态,养成今日事今日毕的好*惯。
数学中的合数是什么意思?
合数的概念
合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数,而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是4。其中,完全数与相亲数是以它为基础的。
什么是质数
质数又称素数,有无限个。一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。
根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。
质数和合数应用
1、质数与密码学:所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数,编码之后传送给收信人,任何人收到此信息后,若没有此收信人所拥有的密钥,则解密的过程中(实为寻找素数的过程),将会因为找质数的过程(分解质因数)过久,使即使取得信息也会无意义。
2、质数与变速箱:在汽车变速箱齿轮的设计上,相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数,以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数,可增强耐用度减少故障。
不等式
不等关系
了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.
(2)一元二次不等式
①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题
①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
②了解二元一次不等式的`几何意义,能用*面区域表示二元一次不等式组.
③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.
(4)基本不等式:
①了解基本不等式的证明过程.
②会用基本不等式解决简单的(小)值问题圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
一、两个定理
1、共线向量定理:
两向量共线(*行)等价于两个向量满足数乘关系(与实数相乘的向量不是零向量),且数乘系数唯一。用坐标形式表示就是两向量共线则两向量坐标的“内积等于外积”。此定理可以用来证向量*行或者使用向两*行的条件。此定理的延伸是三点共线!三点共线可以向两个向量的等式转化:1.三个点中任意找两组点构成的两个向量共线,满足数乘关系;2.以同一个点为始点、三个点为终点构造三个向量,其中一个可由另外两个线性表示,且系数和为1。
2、*面向量基本定理:
*面内两个不共线的向量可以线性表示任何一个向量,且系数唯一。这两个不共线的向量构成一组基底,这两个向量叫基向量。此定理的作用有两个:1.可以统一题目中向量的形式;2.可以利用系数的唯一性求向量的系数(固定的算法模式)。
二、三种形式
*面向量有三种形式,字母形式、几何形式、坐标形式。字母形式要注意带箭头,多考虑几何形式画图解题,特别是能得到特殊的三角形和四边形的情况,向量的坐标和点的坐标不要混淆,向量的坐标是其终点坐标减始点坐标,特殊情况下,若始点在原点,则向量的坐标就是终点坐标。
选择合适的向量形式解决问题是解题的一个关键,优先考虑用几何形式画图做,然后是坐标形式,最后考虑字母形式的变形运算。
三、四种运算
加、减、数乘、数量积。前三种运算是线性运算,结果是向量(0乘以任何向量结果都是零向量,零向量乘以任何实数都是零向量);数量积不是线性运算,结果是实数(零向量乘以任何向量都是0)。线性运算符合所有的实数运算律,数量积不符合消去律和结合律。
向量运算也有三种形式:字母形式、几何形式和坐标形式。
加减法的字母形式注意首尾相接和始点重合。数量积的字母形式公式很重要,要能熟练灵活的使用。
加减法的几何意义是*行四边形和三角形法则,数乘的几何意义是长度的伸缩和方向的共线,数量积的几何意义是一个向量的模乘以另一个向量在第一个向量方向上的射影的数量。向量的夹角用尖括号表示,是两向量始点重合或者终点重合时形成的角,首尾相接形成的角为向量夹角的补角。射影数量有两种求法:1.向量的模乘以夹角余弦;2.两向量数量积除以另一向量的模。
加减法的坐标形式是横纵坐标分别加减,数乘的坐标形式是实数乘以横、纵坐标,数量积的坐标形式是横坐标的乘积加纵坐标的乘积。
四、五个应用
求长度、求夹角、证垂直、证*行、向量和差积的模与模的和差积的关系。前三个应用是数量积的运算性质,证*行的数乘运算性质,零向量不能说和哪个向量方向相同或相反,规定零向量和任意向量都*行且都垂直;一个向量乘以自己再开方就是长度;两个向量数量积除以模的乘积就是夹角的余弦;两个向量满足数乘关系则必定共线(*行)。一个向量除以自己的模得到和自己同方向的.单位向量,加符号是反方向的单位向量
数学函数的值域与最值知识点
1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下:
(1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域.
(2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元.
(3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.
(4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.
(5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧.
(6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.
(7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性,可采用单调性法求出函数的值域.
(8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域.
2、求函数的最值与值域的区别和联系
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异.
如函数的值域是(0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.
3、函数的最值在实际问题中的应用
函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值.
解三角形
(1)正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
(2)应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
数列
(1)数列的概念和简单表示法
①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
②了解数列是自变量为正整数的一类函数.
(2)等差数列、等比数列
①理解等差数列、等比数列的概念.
②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.
③能在具体的问题情境中,识别数列的.等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.
④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
一、夯实数学基础的方法
首先课堂紧跟老师,认真听每一节课,记好课堂笔记,有些学生喜欢自己课后自学,课堂不爱听讲,这是极错误的,因为老师对于高考的了解和对知识的掌握,远远胜过我们自学,紧跟老师是打好基础最关键的一步。
对课本基础知识的学*,我们强烈建议大家使用思维导图,可以把课本上的知识都画成树状层,这样更容易理解、记忆,这样知识点不再是孤立而是成了一个网,这比光看书效果要好很多很多。
二、数学正确的做题方法
想学好数学,大量做题确实很有必要,但你真的会做题吗?多数同学虽然也做了大量的题目,但成绩还是不好,核心原因就是做题忽略了最重要的一步,那就是总结反思。每做完一道题目,大家还需要总结一下,问一下自己下面这些问题:它考查了哪些知识、自己有没有掌握、题目的'解题思路在哪里、突破口是什么、属于哪种题型、此类题型有什么共同的套路、此类题型应该用什么方法来解答。只有多问自己几个为什么,你才能真正吃透一道题,达到做一道题会一类题。
做题并不是越多越好,要知道题海战术只是手段,我们最终的目的还是通过做题加深对知识的理解,掌握解题套路,提高做题速度,如果做题不总结,你刷再多题效果也不会明显。
一1.正弦、余弦公式的逆向思维
对于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)这样的形式,运用逆向思维,化解为:
cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α)
2.正切公式的逆向思维。
比如,由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)]
可得:
tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)]
[1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β)
tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β)
3.二倍角公式的灵活转化
比如:1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α)
=[sin(α)+cos(α)]2
cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)]
cos2(α)=[1+cos(2α)]/2
sin2(α)=[1-cos(2α)]/2
1+cos(α)=2cos2(α/2)
1-cos(α)=2sin2(α/2)
sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α)
sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α)
4.两角和差正弦、余弦公式的相加减、相比。
比如:
sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)……1
sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)……2
1式+2式,得到
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin(α)cos(β)
1式-2式,得到
sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β)
1式比2式,得到
sin(α+β)/sin(α-β)=[sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)]/ [sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)]
=[tαn(α)+tαn(β)] / [tαn(α)-tαn(β)]
我们来看两道例题,增加印象。
1.已知cos(α)=1/7,cos(α-β)=13/14,且0<β<α<π/2,求β
本题中,α-β∈(0,π/2)
sin(α)=4√3/7 sin(α-β)=3√3/14
cos(β)=cos[α-(α-β)]=cos(α)cos(α-β)+sin(α)sin(α-β)
=1/2
β=π/3
2.已知3sin2(α)+2sin2(β)=1,3sin(2α)-2sin(2β)=0,且α,β都是锐角。求α+2β
由3sin2(α)+2sin2(β)=1得到:
1-2sin2(β)=cos(2β)=3sin2(α)
由3sin(2α)-2sin(2β)=0得到:
sin(2β)=3sin(2α)/2
cos(α+2β)=cos(α)cos(2β)-sin(α)sin(2β)
=cos(α)3sin2(α)-sin(α)3sin(2α)/2
=3sin2(α)cos(α)-3cos(α)sin2(α)
=0
加之0<α+2β<270o
α+2β=90o
二轨迹知识点
符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹.
轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).
【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤
⒈建立适当的坐标系,设出动点M的坐标;
⒉写出点M的集合;
⒊列出方程=0;
⒋化简方程为最简形式;
⒌检验。
求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的`有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
_直译法:求动点轨迹方程的一般步骤
①建系——建立适当的坐标系;
②设点——设轨迹上的任一点P(x,y);
③列式——列出动点p所满足的关系式;
④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简;
⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
学好数学窍门是什么
文科中的科目大部分都是需要理解记忆的,数学其实也是如此,只不过是需要理解做题,勤加锻炼自己的思维能力,面对数学题的时候,从多方面的去思考,数学学没学好其实也体现在每次考试的成绩上,有一些同学*时会觉得自己成绩不错,但是到了考试,成绩并不是很好,这一部分原因是由于你的基础知识不扎实,还是一部分原因是由于你在面对考试的时候,心态差。
魏德武速算
1,加法速算:计算任意位数的加法速算,方法很简单学*者只要熟记一种加法速算通用口诀 ——“本位相加(针对进位数) 减加补,前位相加多加一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的加法速算方法,比如:(1)67+48=(6+5)×10+(7-2)=115(2)758+496=(7+5)×100+(5-0)×10+8-4=1254即可。
2,减法速算:计算任意位数的减法速算方法也同样是用一种减法速算通用口诀 ——“本位相减(针对借位数) 加减补,前位相减多减一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的减法速算方法,比如:(1),67-48=(6-5)×10+(7+2)=19,(2),758-496=(7-5)×100+(5+1)×10+8-6=262即可。
3,乘法速算:魏氏乘法速算通用公式:ab×cd=(a+1)×c×100+b×d+魏氏速算嬗数×10。
*面向量
戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算:
(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).
向量加法与减法的几何表示:*行四边形法则、三角形法则。
戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律:+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);
两个向量共线的充要条件:
(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= .
(2) 若=(),b=()则‖b .
*面向量基本定理:
若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量,那么对于这一*面内的任一向量,戴氏航天学校老师提醒有且只 有一对实数,,使得= e1+ e2
高考数学必修四学*方法
养成良好的课前和课后学**惯:在当前高中数学学*中,培养正确的学**惯是一项重要的学*技能。虽然有一种刻板印象的猜疑,但在高中数学学*真的是反复尝试和错误的。学生们不得不预*课本。我准备的数学教科书不是简单的阅读,而是一个例子,至少十分钟的思考。在使用前不能通过学*知识解决问题的情况下,可以在教学内容中找到答案,然后在教材中考察问题的解决过程,掌握解决问题的思路。同时,在课堂上安排笔记也是必要的。在高中数学研究中,建议采用两种形式的笔记,一种是课堂速记,另一种是课后笔记。这不仅提高了课堂记忆的吸收能力,而且有助于对笔记内容的查询。
高考数学必修四学*技巧
养成良好的学*数学*惯
多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学*数学的过程中,要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言,并永久记忆在自己的'脑海中。良好的学*数学*惯包括课前自学、专心上课、及时复*、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学*几个方面。
及时了解、掌握常用的数学思想和方法
中学数学学*要重点掌握的的数学思想有以上几个:集合与对应思想,分类讨论思想,数形结合思想,运动思想,转化思想,变换思想。
有了数学思想以后,还要掌握具体的方法,比如:换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中,常用的有:观察与实验,联想与类比,比较与分类,分析与综合,归纳与演绎,一般与特殊,有限与无限,抽象与概括等。
正弦函数
主词条:正弦函数。
格式:sin(θ)。
作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角对边长度比斜边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是csc(θ)的倒数。
函数图像:波形曲线。
值域:-1~1。
余弦函数
主词条:余弦函数。
格式:cos(θ)。
作用:在直角三角形中,将大小为(单位为弧度)的角邻边长度比斜边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是sec(θ)的倒数。
函数图像:波形曲线。
值域:-1~1。
正切函数
主词条:正切函数。
格式:tan(θ)。
作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角对边长度比邻边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是cot(θ)的倒数。
函数图像:右图*面直角坐标系反映。
值域:-∞~∞。
余切函数
主词条:余切函数。
格式:cot(θ)。
作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角邻边长度比对边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是tan(θ)的倒数。
函数图像:右图*面直角坐标系反映。
值域:-∞~∞。
正割函数
主词条:正割函数。
格式:sec(θ)。
作用:在直角三角形中,将斜边长度比大小为θ(单位为弧度)的角邻边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是cos(θ)的倒数。
函数图像:右图*面直角坐标系反映。
值域:≥1或≤-1。
余割函数
主词条:余割函数。
格式:csc(θ)。
作用:在直角三角形中,将斜边长度比大小为θ(单位为弧度)的角对边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是sin(θ)的倒数。
函数图像:右图*面直角坐标系反映。
值域:≥1或≤-1。
学数学的用处
第一,实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。就大多数情况来看,不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动,能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。
第二,数学可以使你的大脑变得更加聪明,增加你思维的严谨性,另外,数学对你其它科目的学*也有很大作用。
第三,数学无处不在,工作学*中都用得着,例如日常逛街买东西都是和数学有关的,这时候才能体会到学*数学的好处。
数学函数的解析式与定义域知识点
1、函数及其定义域是不可分割的整体,没有定义域的函数是不存在的,因此,要正确地写出函数的解析式,必须是在求出变量间的对应法则的同时,求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型:
(1)有时一个函数来自于一个实际问题,这时自变量x有实际意义,求定义域要结合实际意义考虑;
(2)已知一个函数的解析式求其定义域,只要使解析式有意义即可。如:
①分式的'分母不得为零;
②偶次方根的被开方数不小于零;
③对数函数的真数必须大于零;
④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函数y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等。
应注意,一个函数的解析式由几部分组成时,定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集)。
(3)已知一个函数的定义域,求另一个函数的定义域,主要考虑定义域的深刻含义即可。
已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围,而已知f[g(x)]的定义域[a,b]指的是x∈[a,b],此时f(x)的定义域,即g(x)的值域。 2、求函数的解析式一般有四种情况
(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时,必须引入合适的变量,根据数学的有关知识寻求函数的解析式。
(2)有时题设给出函数特征,求函数的解析式,可采用待定系数法。比如函数是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b为待定系数,根据题设条件,列出方程组,求出a,b即可。
(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法求函数f(x)的表达式,这时必须求出g(x)的值域,这相当于求函数的定义域。
(4)若已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还出现其他未知量(如f(-x),等),必须根据已知等式,再构造其他等式组成方程组,利用解方程组法求出f(x)的表达式。
【公式一】
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)
【公式二】
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=—sinα
cos(π+α)=—cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
【公式三】
任意角α与—α的三角函数值之间的关系:
sin(—α)=—sinα
cos(—α)=cosα
tan(—α)=—tanα
cot(—α)=—cotα
【公式四】
利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的`关系:
sin(π—α)=sinα
cos(π—α)=—cosα
tan(π—α)=—tanα
cot(π—α)=—cotα
【公式五】
利用公式一和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π—α)=—sinα
cos(2π—α)=cosα
tan(2π—α)=—tanα
cot(2π—α)=—cotα
一、立体几何初步
(1)棱柱:
定义:有两个面互相*行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相*行,由这些面所围成的几何体。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱
几何特征:两底面是对应边*行的全等多边形;侧面、对角面都是*行四边形;侧棱*行且相等;*行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥
定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示:用各顶点字母,如五棱锥
几何特征:侧面、对角面都是三角形;*行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的*方。
(3)棱台:
定义:用一个*行于棱锥底面的*面去截棱锥,截面和底面之间的部分
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示:用各顶点字母,如五棱台
几何特征:①上下底面是相似的*行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱:
定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴*行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥:
定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台:
定义:用一个*行于圆锥底面的*面去截圆锥,截面和底面之间的部分
几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体:
定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
二、向量的向量积
定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。
向量的向量积性质:
∣a×b∣是以a和b为边的*行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
三、向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
四、必修四数学学*方法
数学不是靠老师教会的,而是在老师的`引导下,靠自己主动的思维活动去获取的。学*数学一定要讲究“活”,只看书不做题不行,只埋头做题不总结积累也不行。记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。
要建立数学纠错本。把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再 犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
五、必修四数学学*技巧
首先:课前复*。就是上课前花两三分钟把书本本节课要学的内容看一遍。仅仅是看一遍,过一遍。这样上课老师讲自己不但可以跟上老师节奏还可以再次巩固。其余不要干其他多余的事。
其次:上课时候一定要专心听讲,如果觉得老师这里讲得都懂了的话可以自己翻书看后面的内容。做*题的时候一定要一道一道往过做,不要越题做。因为对于课本来说这些都是基础,只有基础完全掌握后才能做难题。上课过程中第一次接触到的知识点概念等,一定一定要当堂背过。不然以后很难背过,不要妄想考前抱佛教再背
另外要把笔记记准确,知道自己需要记什么不需要记什么,憋一个劲地往书上搬。字不要求整齐,自己能看懂就行。课本资料书上有例题,多看多记方法。先看课本基础,在看资料书上着重的。例题的方法一定一定要理解,不要去背!接着下课再看笔记,只是略微巩固记住。
基本初等函数有哪些
基本初等函数包括以下几种:
(1)常数函数y = c( c为常数)
(2)幂函数y = x^a( a为常数)
(3)指数函数y = a^x(a>0, a≠1)
(4)对数函数y =log(a) x(a>0, a≠1,真数x>0)
(5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数:y =sinx反正弦函数:y = arcsin x等)
基本初等函数性质是什么
幂函数
形如y=x^a的函数,式中a为实常数。
指数函数
形如y=a^x的函数,式中a为不等于1的正常数。
对数函数
指数函数的反函数,记作y=loga a x,式中a为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之间成立关系式,loga ax=x。
三角函数
即正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx,余切函数y=cotx,正割函数y=secx,余割函数y=cscx(见三角学)。
反三角函数
三角函数的反函数——反正弦函数y = arc sinx,反余弦函数y=arc cosx (-1≤x≤1,初等函数0≤y≤π),反正切函数y=arc tanx,反余切函数y = arc cotx(-∞ 学*数学小窍门 建立数学纠错本。 把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 限时训练。 可以找一组题(比如10道选择题),争取限定一个时间完成;也可以找1道大题,限时完成。这主要是创设一种考试情境,检验自己在紧张状态下的思维水*。 调整心态,正确对待考试。 首先,应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上,因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目,而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂,认真思考,尽量让自己理出头绪,做完题后要总结归纳。调整好自己的心态,使自己在任何时候镇静,思路有条不紊,克服浮躁的情绪。 数学函数的值域与最值知识点 1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下: (1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域. (2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元. (3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧. (6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的.单调性,可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值. 数学必修四知识点菁选扩展阅读 数学必修四知识点菁选(扩展1) ——数学必修四知识点菁选 数学必修四知识点 在年少学*的日子里,很多人都经常追着老师们要知识点吧,知识点在教育实践中,是指对某一个知识的泛称。你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗?下面是小编为大家收集的数学必修四知识点,供大家参考借鉴,希望可以帮助到有需要的朋友。 一】 a(1)=a,a(n)为公差为r的等差数列 通项公式: a(n)=a(n—1)+r=a(n—2)+2r=...=a[n—(n—1)]+(n—1)r=a(1)+(n—1)r=a+(n—1)r。 可用归纳法证明。 n=1时,a(1)=a+(1—1)r=a。成立。 假设n=k时,等差数列的通项公式成立。a(k)=a+(k—1)r 则,n=k+1时,a(k+1)=a(k)+r=a+(k—1)r+r=a+[(k+1)—1]r。 通项公式也成立。 因此,由归纳法知,等差数列的通项公式是正确的。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+(a+r)+...+[a+(n—1)r] =na+r[1+2+...+(n—1)] =na+n(n—1)r/2 同样,可用归纳法证明求和公式。 a(1)=a,a(n)为公比为r(r不等于0)的等比数列 通项公式: a(n)=a(n—1)r=a(n—2)r^2=...=a[n—(n—1)]r^(n—1)=a(1)r^(n—1)=ar^(n—1)。 可用归纳法证明等比数列的通项公式。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+ar+...+ar^(n—1) =a[1+r+...+r^(n—1)] r不等于1时, S(n)=a[1—r^n]/[1—r] r=1时, S(n)=na。 同样,可用归纳法证明求和公式。 二】 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹。 轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系,设出动点M的坐标; ⒉写出点M的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验。 二、求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 译法:求动点轨迹方程的.一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系; ②设点——设轨迹上的任一点P(x,y); ③列式——列出动点p所满足的关系式; ④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简; ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 高考数学必修四学*方法 1、先看笔记后做作业。 有的同学感到,老师讲过的,自己已经听得明明白白了。但是为什么你这么做有那么多困难呢?原因是学生对教师所说的理解没有达到教师要求的水*。 因此,每天做作业之前,我们必须先看一下课本的相关内容和当天的课堂笔记。能否如此坚持,常常是好学生与差学生的最大区别。尤其是当练*不匹配时,老师通常没有刚刚讲过的练*类型,因此它们不能被比较和消化。如果你不重视这个实施,在很长一段时间内,会造成很大的损失。 2、做题之后加强反思。 学生一定要明确,现在正做着的题,一定不是考试的题目。但使用现在做主题的解决问题的思路和方法。因此,我们应该反思我们所做的每一个问题,并总结我们自己的收获。 要总结出:这是一道什么内容的题,用的是什么方法。做到知识成片,问题成串。日复一日,建立科学的网络系统的内容和方法。俗话说:有钱难买回头看。做完作业,回头细看,价值极大。这一回顾,是学*过程中一个非常重要的环节。 高考数学必修四学*技巧 1、科学的预*方法 预*中发现的难点,就是听课的重点;对预*中遇到的没有掌握好的有关的旧知识,可进行补缺,以减听课过程中的困难;有助于提高思维能力,预*后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水*;预*后将课本的例题及老师要讲授的*题提前完成,还可以培养自己的自学能力,与老师的方法进行比较,可以发现更多的方法与技巧。总之,这样会使你的听课更加有的放矢,你会知道哪些该重点听,哪些该重点记。 2、科学的听课方式 听课的过程不是一个被动参预的过程,要全身心地投入课堂学*,耳到、眼到、心到、口到、手到。还要想在老师前面,不断思考:面对这个问题我会怎么想?当老师讲解时,又要思考:老师为什么这样想?这里用了什么思想方法?这样做的目的是什么?这个题有没有更好的方法?问题多了,思路自然就开阔了。 3、科学的记录笔记 记问题——将课堂上未听懂的问题及时记下来,便于课后请教同学或老师,把问题弄懂弄通。 记疑点——对老师在课堂上讲的内容有疑问应及时记下,这类疑点,有可能是自己理解错造成的,也有可能是老师讲课疏忽大意造成的,记下来后,便于课后与老师商榷。 记方法——勤记老师讲的解题技巧、思路及方法,这对于启迪思维,开阔视野,开发智力,培养能力,并对提高解题水*大有益处。 记总结——注意记住老师的课后总结,这对于浓缩一堂课的内容,找出重点及各部分之间的联系,掌握基本概念、公式、定理,寻找存在问题、找到规律,融会贯通课堂内容都很有作用。 一1.正弦、余弦公式的逆向思维 对于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)这样的形式,运用逆向思维,化解为: cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α) 2.正切公式的逆向思维。 比如,由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)] 可得: tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)] [1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β) tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β) 3.二倍角公式的灵活转化 比如:1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α) =[sin(α)+cos(α)]2 cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)] cos2(α)=[1+cos(2α)]/2 sin2(α)=[1-cos(2α)]/2 1+cos(α)=2cos2(α/2) 1-cos(α)=2sin2(α/2) sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α) sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α) 4.两角和差正弦、余弦公式的相加减、相比。 比如: sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)……1 sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)……2 1式+2式,得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin(α)cos(β) 1式-2式,得到 sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β) 1式比2式,得到 sin(α+β)/sin(α-β)=[sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)]/ [sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)] =[tαn(α)+tαn(β)] / [tαn(α)-tαn(β)] 我们来看两道例题,增加印象。 1.已知cos(α)=1/7,cos(α-β)=13/14,且0<β<α<π/2,求β 本题中,α-β∈(0,π/2) sin(α)=4√3/7 sin(α-β)=3√3/14 cos(β)=cos[α-(α-β)]=cos(α)cos(α-β)+sin(α)sin(α-β) =1/2 β=π/3 2.已知3sin2(α)+2sin2(β)=1,3sin(2α)-2sin(2β)=0,且α,β都是锐角。求α+2β 由3sin2(α)+2sin2(β)=1得到: 1-2sin2(β)=cos(2β)=3sin2(α) 由3sin(2α)-2sin(2β)=0得到: sin(2β)=3sin(2α)/2 cos(α+2β)=cos(α)cos(2β)-sin(α)sin(2β) =cos(α)3sin2(α)-sin(α)3sin(2α)/2 =3sin2(α)cos(α)-3cos(α)sin2(α) =0 加之0<α+2β<270o α+2β=90o 二轨迹知识点 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹. 轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性). 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系,设出动点M的坐标; ⒉写出点M的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验。 求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的'关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 _直译法:求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系; ②设点——设轨迹上的任一点P(x,y); ③列式——列出动点p所满足的关系式; ④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简; ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 学好数学窍门是什么 文科中的科目大部分都是需要理解记忆的,数学其实也是如此,只不过是需要理解做题,勤加锻炼自己的思维能力,面对数学题的时候,从多方面的去思考,数学学没学好其实也体现在每次考试的成绩上,有一些同学*时会觉得自己成绩不错,但是到了考试,成绩并不是很好,这一部分原因是由于你的基础知识不扎实,还是一部分原因是由于你在面对考试的时候,心态差。 魏德武速算 1,加法速算:计算任意位数的加法速算,方法很简单学*者只要熟记一种加法速算通用口诀 ——“本位相加(针对进位数) 减加补,前位相加多加一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的加法速算方法,比如:(1)67+48=(6+5)×10+(7-2)=115(2)758+496=(7+5)×100+(5-0)×10+8-4=1254即可。 2,减法速算:计算任意位数的减法速算方法也同样是用一种减法速算通用口诀 ——“本位相减(针对借位数) 加减补,前位相减多减一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的减法速算方法,比如:(1),67-48=(6-5)×10+(7+2)=19,(2),758-496=(7-5)×100+(5+1)×10+8-6=262即可。 3,乘法速算:魏氏乘法速算通用公式:ab×cd=(a+1)×c×100+b×d+魏氏速算嬗数×10。 1.向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。 2.规定若线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。具有方向和长度的线段叫做有向线段。 3.向量的模:向量的大小,也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。 注:向量的模是非负实数,是可以比较大小的。因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。 4.单位向量:长度为一个单位(即模为1)的向量,叫做单位向量.与向量a同向,且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0。 5.长度为0的向量叫做零向量,记作0。零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的。 向量的计算 1.加法 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 2.减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 加减变换律:a+(-b)=a-b 3.数量积 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作θ并规定0≤θ≤π 向量的数量积的运算律 a·b=b·a(交换律) (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律) (a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 向量的数量积的性质 a·a=|a|的*方。 a⊥b〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|) 高中学好数学的方法是什么 数学需要沉下心去做,浮躁的人很难学好数学,踏踏实实做题才是硬道理。 数学要想学好,不琢磨是行不通的,遇到难题不能躲,研究明白了才能罢休。 数学最主要的就是解题过程,懂得数学思维很关键,思路通了,数学自然就会了。 数学不是用来看的,而是用来算的,或许这一秒没思路,当你拿起笔开始计算的那一秒,就豁然开朗了。 数学题目不会做,原因之一就是例题没研究明白,所以数学书上的例题绝对不要放过。 数学函数的奇偶性知识点 1、函数的'奇偶性的定义:对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。 一、两个定理 1、共线向量定理: 两向量共线(*行)等价于两个向量满足数乘关系(与实数相乘的向量不是零向量),且数乘系数唯一。用坐标形式表示就是两向量共线则两向量坐标的“内积等于外积”。此定理可以用来证向量*行或者使用向两*行的条件。此定理的延伸是三点共线!三点共线可以向两个向量的等式转化:1.三个点中任意找两组点构成的两个向量共线,满足数乘关系;2.以同一个点为始点、三个点为终点构造三个向量,其中一个可由另外两个线性表示,且系数和为1。 2、*面向量基本定理: *面内两个不共线的向量可以线性表示任何一个向量,且系数唯一。这两个不共线的向量构成一组基底,这两个向量叫基向量。此定理的作用有两个:1.可以统一题目中向量的形式;2.可以利用系数的唯一性求向量的系数(固定的算法模式)。 二、三种形式 *面向量有三种形式,字母形式、几何形式、坐标形式。字母形式要注意带箭头,多考虑几何形式画图解题,特别是能得到特殊的三角形和四边形的情况,向量的坐标和点的坐标不要混淆,向量的坐标是其终点坐标减始点坐标,特殊情况下,若始点在原点,则向量的坐标就是终点坐标。 选择合适的向量形式解决问题是解题的一个关键,优先考虑用几何形式画图做,然后是坐标形式,最后考虑字母形式的变形运算。 三、四种运算 加、减、数乘、数量积。前三种运算是线性运算,结果是向量(0乘以任何向量结果都是零向量,零向量乘以任何实数都是零向量);数量积不是线性运算,结果是实数(零向量乘以任何向量都是0)。线性运算符合所有的实数运算律,数量积不符合消去律和结合律。 向量运算也有三种形式:字母形式、几何形式和坐标形式。 加减法的字母形式注意首尾相接和始点重合。数量积的字母形式公式很重要,要能熟练灵活的使用。 加减法的几何意义是*行四边形和三角形法则,数乘的几何意义是长度的伸缩和方向的共线,数量积的几何意义是一个向量的模乘以另一个向量在第一个向量方向上的射影的数量。向量的夹角用尖括号表示,是两向量始点重合或者终点重合时形成的角,首尾相接形成的角为向量夹角的补角。射影数量有两种求法:1.向量的模乘以夹角余弦;2.两向量数量积除以另一向量的模。 加减法的坐标形式是横纵坐标分别加减,数乘的坐标形式是实数乘以横、纵坐标,数量积的坐标形式是横坐标的乘积加纵坐标的乘积。 四、五个应用 求长度、求夹角、证垂直、证*行、向量和差积的模与模的和差积的关系。前三个应用是数量积的运算性质,证*行的数乘运算性质,零向量不能说和哪个向量方向相同或相反,规定零向量和任意向量都*行且都垂直;一个向量乘以自己再开方就是长度;两个向量数量积除以模的乘积就是夹角的余弦;两个向量满足数乘关系则必定共线(*行)。一个向量除以自己的模得到和自己同方向的单位向量,加符号是反方向的单位向量 数学函数的值域与最值知识点 1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下: (1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域. (2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元. (3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的.定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧. (6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性,可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值. 解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 数列 (1)数列的概念和简单表示法 ①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). ②了解数列是自变量为正整数的一类函数. (2)等差数列、等比数列 ①理解等差数列、等比数列的`概念. ②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式. ③能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. ④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 基本初等函数有哪些 基本初等函数包括以下几种: (1)常数函数y = c( c为常数) (2)幂函数y = x^a( a为常数) (3)指数函数y = a^x(a>0, a≠1) (4)对数函数y =log(a) x(a>0, a≠1,真数x>0) (5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数:y =sinx反正弦函数:y = arcsin x等) 基本初等函数性质是什么 幂函数 形如y=x^a的函数,式中a为实常数。 指数函数 形如y=a^x的函数,式中a为不等于1的正常数。 对数函数 指数函数的反函数,记作y=loga a x,式中a为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之间成立关系式,loga ax=x。 三角函数 即正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx,余切函数y=cotx,正割函数y=secx,余割函数y=cscx(见三角学)。 反三角函数 三角函数的反函数——反正弦函数y = arc sinx,反余弦函数y=arc cosx (-1≤x≤1,初等函数0≤y≤π),反正切函数y=arc tanx,反余切函数y = arc cotx(-∞ 学*数学小窍门 建立数学纠错本。 把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 限时训练。 可以找一组题(比如10道选择题),争取限定一个时间完成;也可以找1道大题,限时完成。这主要是创设一种考试情境,检验自己在紧张状态下的思维水*。 调整心态,正确对待考试。 首先,应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上,因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目,而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂,认真思考,尽量让自己理出头绪,做完题后要总结归纳。调整好自己的心态,使自己在任何时候镇静,思路有条不紊,克服浮躁的情绪。 数学函数的值域与最值知识点 1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下: (1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域. (2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元. (3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧. (6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的'子集上)的单调性,可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值. 一、夯实数学基础的方法 首先课堂紧跟老师,认真听每一节课,记好课堂笔记,有些学生喜欢自己课后自学,课堂不爱听讲,这是极错误的,因为老师对于高考的了解和对知识的掌握,远远胜过我们自学,紧跟老师是打好基础最关键的一步。 对课本基础知识的`学*,我们强烈建议大家使用思维导图,可以把课本上的知识都画成树状层,这样更容易理解、记忆,这样知识点不再是孤立而是成了一个网,这比光看书效果要好很多很多。 二、数学正确的做题方法 想学好数学,大量做题确实很有必要,但你真的会做题吗?多数同学虽然也做了大量的题目,但成绩还是不好,核心原因就是做题忽略了最重要的一步,那就是总结反思。每做完一道题目,大家还需要总结一下,问一下自己下面这些问题:它考查了哪些知识、自己有没有掌握、题目的解题思路在哪里、突破口是什么、属于哪种题型、此类题型有什么共同的套路、此类题型应该用什么方法来解答。只有多问自己几个为什么,你才能真正吃透一道题,达到做一道题会一类题。 做题并不是越多越好,要知道题海战术只是手段,我们最终的目的还是通过做题加深对知识的理解,掌握解题套路,提高做题速度,如果做题不总结,你刷再多题效果也不会明显。 【公式一】 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) 【公式二】 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=—sinα cos(π+α)=—cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 【公式三】 任意角α与—α的三角函数值之间的关系: sin(—α)=—sinα cos(—α)=cosα tan(—α)=—tanα cot(—α)=—cotα 【公式四】 利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的`关系: sin(π—α)=sinα cos(π—α)=—cosα tan(π—α)=—tanα cot(π—α)=—cotα 【公式五】 利用公式一和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π—α)=—sinα cos(2π—α)=cosα tan(2π—α)=—tanα cot(2π—α)=—cotα 不等式 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式 ①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ②了解二元一次不等式的几何意义,能用*面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. (4)基本不等式: ①了解基本不等式的'证明过程. ②会用基本不等式解决简单的(小)值问题圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 问题提出 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量,如果当一个变量的取值一定时,另一个变量的取值被惟一确定,则这两个变量之间的关系就是一个函数关系. 在中学校园里,有这样一种说法:“如果你的数学成绩好,那么你的物理学*就不会有什么大问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系,我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量,那么这两个变量之间的关系是函数关系吗? 我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少,学*兴趣、学*时间、教学水*等,也是影响物理成绩的一些因素,但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系,有必要从理论上作些探讨,如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计,将有着非常重要的现实意义. 知识探究(一):变量之间的相关关系 思考1:考察下列问题中两个变量之间的关系: (1)商品销售收入与广告支出经费; (2)粮食产量与施肥量; (3)人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗? 思考2:“名师出高徒”可以解释为教师的水*越高,学生的水*就越高,那么学生的学业成绩与教师的教学水*之间的关系是函数关系吗?你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗? 思考3:上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系,称之为相关关系,那么相关关系的含义如何? 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系. 1、球的体积和球的半径具有() A函数关系B相关关系 C不确定关系D无任何关系 2、下列两个变量之间的关系不是 函数关系的是() A角的度数和正弦值 B速度一定时,距离和时间的关系 C正方体的棱长和体积 D日照时间和水稻的亩产量AD练:知识探究(二):散点图 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本*均数. 思考1:对某一个人来说,他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少,但是如果把很多个体放在一起,就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据,大体上看,随着年龄的增加,人体脂肪含量怎样变化? 思考2:为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系,我们需要对数据进行分析,通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含量,你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗? 思考3:上图叫做散点图,你能描述一下散点图的含义吗? 在*面直角坐标系中,表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形,称为散点图. 思考4:观察散点图的大致趋势,人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系? 思考5:在上面的散点图中,这些点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.一般地,如果两个变量成正相关,那么这两个变量的变化趋势如何? 思考6:如果两个变量成负相关,从整体上看这两个变量的变化趋势如何?其散点图有什么特点? 一个变量随另一个变量的变大而变小,散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关,类似于函数的.单调性. 知识探究(一):回归直线 思考1:一组样本数据的*均数是样本数据的中心,那么散点图中样本点的中心如何确定?它一定是散点图中的点吗? 思考2:在各种各样的散点图中,有些散点图中的点是杂乱分布的,有些散点图中的点的分布有一定的规律性,年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点? 这些点大致分布在一条直线附*. 思考3:如果散点图中的点的分布,从整体上看大致在一条直线附*,则称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.对具有线性相关关系的两个变量,其回归直线一定通过样本点的中心吗? 思考4:对一组具有线性相关关系的样本数据,你认为其回归直线是一条还是几条? 思考5:在样本数据的散点图中,能否用直尺准确画出回归直线?借助计算机怎样画出回归直线? 知识探究(二):回归方程 在直角坐标系中,任何一条直线都有相应的方程,回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据,如果能够求出它的回归方程,那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系,并根据回归方程对总体进行估计. 思考1:回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系? 整体上最接* 思考2:对于求回归直线方程,你有哪些想法? 思考4:为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接*程度,你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适%某小卖部为了了解热茶销售量与气温 之间的关系,随机统计并制作了某6天 卖出热茶的杯数与当天气温的对照表: 如果某天的气温是-50C,你能根据这些 数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗? 实例探究 为了了解热茶销量与 气温的大致关系,我们 以横坐标x表示气温, 纵坐标y表示热茶销量, 建立直角坐标系.将表 中数据构成的6个数对 表示的点在坐标系内 标出,得到下图。 你发现这些点有什么规律? 今后我们称这样的图为散点图(scatterplot). 建构数学 所以,我们用类似于估计*均数时的 思想,考虑离差的*方和 当x=-5时,热茶销量约为66杯 线性回归方程: 一般地,设有n个观察数据如下:当a,b使三点(3,10),(7,20),(11,24)的 线性回归方程是() 二、求线性回归方程 例2:观察两相关变量得如下表: 求两变量间的回归方程解1:列表: 阅读课本P73例1 EXCEL作散点图 利用线性回归方程解题步骤: 1、先画出所给数据对应的散点图; 2、观察散点,如果在一条直线附*,则说明所给量具有线性相关关系 3、根据公式求出线性回归方程,并解决其他问题。 (1)如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值;(2)分别说明以上两个模型是确定性 模型还是随机模型. 模型1:y=6+4x;模型2:y=6+4x+ 解(1)模型1:y=6+4x=6+4×3=18; 模型2:y=6+4x+e=6+4×3+线性相关与线性回归方程小结1、变量间相关关系的散点图 2、如何利用“最小二乘法”思想求直线的回归方程 3、学会用回归思想考察现实生活中变量之间的相关关系 一、立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相*行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相*行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边*行的全等多边形;侧面、对角面都是*行四边形;侧棱*行且相等;*行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;*行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的`比的*方。 (3)棱台: 定义:用一个*行于棱锥底面的*面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的*行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴*行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个*行于圆锥底面的*面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体: 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 二、向量的向量积 定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。 向量的向量积性质: ∣a×b∣是以a和b为边的*行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 三、向量的向量积运算律 a×b=-b×a; (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); (a+b)×c=a×c+b×c. 注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。 四、必修四数学学*方法 数学不是靠老师教会的,而是在老师的引导下,靠自己主动的思维活动去获取的。学*数学一定要讲究“活”,只看书不做题不行,只埋头做题不总结积累也不行。记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 要建立数学纠错本。把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再 犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 五、必修四数学学*技巧 首先:课前复*。就是上课前花两三分钟把书本本节课要学的内容看一遍。仅仅是看一遍,过一遍。这样上课老师讲自己不但可以跟上老师节奏还可以再次巩固。其余不要干其他多余的事。 其次:上课时候一定要专心听讲,如果觉得老师这里讲得都懂了的话可以自己翻书看后面的内容。做*题的时候一定要一道一道往过做,不要越题做。因为对于课本来说这些都是基础,只有基础完全掌握后才能做难题。上课过程中第一次接触到的知识点概念等,一定一定要当堂背过。不然以后很难背过,不要妄想考前抱佛教再背 另外要把笔记记准确,知道自己需要记什么不需要记什么,憋一个劲地往书上搬。字不要求整齐,自己能看懂就行。课本资料书上有例题,多看多记方法。先看课本基础,在看资料书上着重的。例题的方法一定一定要理解,不要去背!接着下课再看笔记,只是略微巩固记住。 初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算及有限次函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。非初等函数是指凡不是初等函数的函数。 初等函数是最常用的一类函数,包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(以上是基本初等函数),以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数,称为初等函数。 非初等函数的研究与发展是*现代数学的重大成就之一,极大拓展了数学在各个领域的应用,在概率论、物理学科各个分支中等有十分广泛的应用。是函数的一个重要的分支。一般说来,大部分分段函数不是初等函数。如符号函数,狄利克雷函数,gamma函数,误差函数,Weierstrass函数。但是个别分段函数除外。 1、指数函数:函数y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数 a的取值a>1 0 定义域x∈R x∈R 值域y∈(0,+∞) y∈(0,+∞) 单调性全定义域单调递增全定义域单调递减 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 过定点(0,1) (0,1) 注意:⑴由函数的单调性可以看出,在闭区间[a,b]上,指数函数的最值为: a>1时,最小值f(a),最大值f(b);0 ⑵对于任意指数函数y=ax (a>0且a≠1),都有f(1)=a。 2、对数函数:函数y=logax(a>0且a≠1)),叫做对数函数 a的'取值a>1 0 定义域x∈(0,+∞) x∈(0,+∞) 值域y∈R y∈R 单调性全定义域单调递全定义域单调递减 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 过定点(1,0) (1,0) 3、幂函数:函数y=xa(a∈R),高中阶段,幂函数只研究第I象限的情况。 ⑴所有幂函数都在(0,+∞)区间内有定义,而且过定点(1,1)。 ⑵a>0时,幂函数图像过原点,且在(0,+∞)区间为增函数,a越大,图像坡度越大。 ⑶a<0时,幂函数在(0,+∞)区间为减函数。 当x从右侧无限接*原点时,图像无限接*y轴正半轴; 当y无限接*正无穷时,图像无限接*x轴正半轴。 幂函数总图见下页。 4、反函数:将原函数y=f(x)的x和y互换即得其反函数x=f-1(y)。 反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。 数学函数的奇偶性知识点 1、函数的奇偶性的定义:对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。 学数学的用处 第一,实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。就大多数情况来看,不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动,能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。 第二,数学可以使你的大脑变得更加聪明,增加你思维的严谨性,另外,数学对你其它科目的学*也有很大作用。 第三,数学无处不在,工作学*中都用得着,例如日常逛街买东西都是和数学有关的,这时候才能体会到学*数学的好处。 1、*面向量基本概念 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段记作或AB; 向量的模:有向线段AB的长度叫做向量的模,记作|AB|; 零向量:长度等于0的向量叫做零向量,记作或0。(注意粗体格式,实数“0”和向量“0”是有区别的,书写时要在实数“0”上加箭头,以免混淆); 相等向量:长度相等且方向相同的.向量叫做相等向量; *行向量(共线向量):两个方向相同或相反的非零向量叫做*行向量或共线向量,零向量与任意向量*行,即0//a; 单位向量:模等于1个单位长度的向量叫做单位向量,通常用e表示,*行于坐标轴的单位向量*惯上分别用i、j表示。 相反向量:与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,—(—a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。 2、*面向量运算 加法与减法的代数运算: (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a b=(x1+x2,y1+y2)。 向量加法与减法的几何表示:*行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律:+ = +(交换律);+(+c)=(+)+c(结合律); 实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量。 (1)| |=| |·| |; (2)当a>0时,与a的方向相同;当a<0时,与a的方向相反;当a=0时,a=0。 两个向量共线的充要条件: (1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= 。 (2)若=(),b=()则‖b 。 3、*面向量基本定理 若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量,那么对于这一*面内的任一向量,有且只有一对实数,,使得= e1+ e2。 4、*面向量有关推论 三角形ABC内一点O,OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是三角形的垂心。 若O是三角形ABC的外心,点M满足OA+OB+OC=OM,则M是三角形ABC的垂心。 若O和三角形ABC共面,且满足OA+OB+OC=0,则O是三角形ABC的重心。 三点共线:三点A,B,C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=1) 一)两角和差公式(写的都要记) sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA? cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 二)用以上公式可推出下列二倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2 (上面这个余弦的很重要) sin2A=2sinA_osA 三)半角的只需记住这个: tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 四)用二倍角中的余弦可推出降幂公式 (sinA)^2=(1-cos2A)/2 (cosA)^2=(1+cos2A)/2 五)用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式 1-cosA=sin^(A/2)_ 1-sinA=cos^(A/2)_ a(1)=a,a(n)为公差为r的等差数列 通项公式: a(n)=a(n-1)+r=a(n-2)+2r=...=a[n-(n-1)]+(n-1)r=a(1)+(n-1)r=a+(n-1)r. 可用归纳法证明。 n=1时,a(1)=a+(1-1)r=a。成立。 假设n=k时,等差数列的通项公式成立。a(k)=a+(k-1)r 则,n=k+1时,a(k+1)=a(k)+r=a+(k-1)r+r=a+[(k+1)-1]r. 通项公式也成立。 因此,由归纳法知,等差数列的通项公式是正确的。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+(a+r)+...+[a+(n-1)r] =na+r[1+2+...+(n-1)] =na+n(n-1)r/2 同样,可用归纳法证明求和公式。 a(1)=a,a(n)为公比为r(r不等于0)的等比数列 通项公式: a(n)=a(n-1)r=a(n-2)r^2=...=a[n-(n-1)]r^(n-1)=a(1)r^(n-1)=ar^(n-1). 可用归纳法证明等比数列的通项公式。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+ar+...+ar^(n-1) =a[1+r+...+r^(n-1)] r不等于1时, S(n)=a[1-r^n]/[1-r] r=1时, S(n)=na. 同样,可用归纳法证明求和公式。 必修四数学学*方法 掌握数学学*实践阶段:在高中数学学*过程中,我们需要使用正确的学*方法,以及科学合理的学*规则。先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法,曾经说过,尤其是高阶段的数学学*数学,必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。与教学内容的第一周甚至是从基础开始,一周后的头几天,在教学难以提升。以及提升的困难进步一步一步,最好不要去追求所谓的“困难”除了(感兴趣),不利于解决问题方法掌握连续性。同时,根据时间和课程安排的长度适当的审查,只有这样才能记住和使用在长期学*数学知识,不要忘记前面的学*。 必修四数学学*技巧 重视改错错不重犯。 一定要重视改错的这份工作,做到错不再犯。初中数学教学中采用的`方法是告诉学生所有可能的错误,只要有一个人犯了错误,就应该提出,以便所有的学生都能从中吸取教训。这叫“一人有病,全体吃药。” 高中数学课没有那么多时间,除了一小部分那几种典型错,其它错误,不能一一顾及。只能谁有病,谁吃药。如果学生“生病”而忘了吃药,那么没有人会一次又一次地提醒他要注意什么。如果能及时改错,那么错误就可能转变为财富,成为预防针。但是,如果不能及时改错,这个错误就将形成一处“地雷”,迟早要惹祸。 有的学生认为,自己考试成绩上不去,是因为太粗心。其实,原因并非如此。打一个比方。比如说,学*开汽车。右脚下面,往左踩,是踩刹车。往右踩,是踩油门。其机械原理,设计原因,操作规程都可以讲的清清楚楚。如果初学驾驶的人真正掌握了这一套,请问,可以同意他开车上路吗?恐怕他知道他还缺乏练*。一两次你能正确地完成任务,但这并不意味着你永远不会犯错误。练*的数量不够,才是学生出错的真正原因。大家一定要看到,如果自己的基础知识漏洞百出、隐患无穷,那么,今后的数学将是难以学好的。 *面向量 戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算: (1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ). 向量加法与减法的几何表示:*行四边形法则、三角形法则。 戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律:+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律); 两个向量共线的充要条件: (1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= . (2) 若=(),b=()则‖b . *面向量基本定理: 若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量,那么对于这一*面内的任一向量,戴氏航天学校老师提醒有且只 有一对实数,,使得= e1+ e2 高考数学必修四学*方法 养成良好的课前和课后学**惯:在当前高中数学学*中,培养正确的学**惯是一项重要的学*技能。虽然有一种刻板印象的猜疑,但在高中数学学*真的是反复尝试和错误的。学生们不得不预*课本。我准备的数学教科书不是简单的阅读,而是一个例子,至少十分钟的思考。在使用前不能通过学*知识解决问题的情况下,可以在教学内容中找到答案,然后在教材中考察问题的解决过程,掌握解决问题的思路。同时,在课堂上安排笔记也是必要的。在高中数学研究中,建议采用两种形式的笔记,一种是课堂速记,另一种是课后笔记。这不仅提高了课堂记忆的吸收能力,而且有助于对笔记内容的查询。 高考数学必修四学*技巧 养成良好的学*数学*惯 多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学*数学的过程中,要把教师所传授的知识翻译成为自己的`特殊语言,并永久记忆在自己的脑海中。良好的学*数学*惯包括课前自学、专心上课、及时复*、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学*几个方面。 及时了解、掌握常用的数学思想和方法 中学数学学*要重点掌握的的数学思想有以上几个:集合与对应思想,分类讨论思想,数形结合思想,运动思想,转化思想,变换思想。 有了数学思想以后,还要掌握具体的方法,比如:换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中,常用的有:观察与实验,联想与类比,比较与分类,分析与综合,归纳与演绎,一般与特殊,有限与无限,抽象与概括等。 数学必修四知识点菁选(扩展2) ——数学必修四知识点菁选 数学必修四知识点15篇 上学期间,大家最熟悉的就是知识点吧?知识点有时候特指教科书上或考试的知识。哪些才是我们真正需要的知识点呢?下面是小编为大家收集的数学必修四知识点,希望能够帮助到大家。 基本初等函数有哪些 基本初等函数包括以下几种: (1)常数函数y = c( c为常数) (2)幂函数y = x^a( a为常数) (3)指数函数y = a^x(a>0, a≠1) (4)对数函数y =log(a) x(a>0, a≠1,真数x>0) (5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数:y =sinx反正弦函数:y = arcsin x等) 基本初等函数性质是什么 幂函数 形如y=x^a的函数,式中a为实常数。 指数函数 形如y=a^x的函数,式中a为不等于1的正常数。 对数函数 指数函数的反函数,记作y=loga a x,式中a为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之间成立关系式,loga ax=x。 三角函数 即正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx,余切函数y=cotx,正割函数y=secx,余割函数y=cscx(见三角学)。 反三角函数 三角函数的反函数——反正弦函数y = arc sinx,反余弦函数y=arc cosx (-1≤x≤1,初等函数0≤y≤π),反正切函数y=arc tanx,反余切函数y = arc cotx(-∞ 学*数学小窍门 建立数学纠错本。 把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 限时训练。 可以找一组题(比如10道选择题),争取限定一个时间完成;也可以找1道大题,限时完成。这主要是创设一种考试情境,检验自己在紧张状态下的思维水*。 调整心态,正确对待考试。 首先,应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上,因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目,而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂,认真思考,尽量让自己理出头绪,做完题后要总结归纳。调整好自己的心态,使自己在任何时候镇静,思路有条不紊,克服浮躁的情绪。 数学函数的值域与最值知识点 1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下: (1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域. (2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元. (3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧. (6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性,可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的`区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值. 一)两角和差公式(写的都要记) sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA? cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 二)用以上公式可推出下列二倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2 (上面这个余弦的很重要) sin2A=2sinA_osA 三)半角的只需记住这个: tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 四)用二倍角中的余弦可推出降幂公式 (sinA)^2=(1-cos2A)/2 (cosA)^2=(1+cos2A)/2 五)用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式 1-cosA=sin^(A/2)_ 1-sinA=cos^(A/2)_ a(1)=a,a(n)为公差为r的等差数列 通项公式: a(n)=a(n-1)+r=a(n-2)+2r=...=a[n-(n-1)]+(n-1)r=a(1)+(n-1)r=a+(n-1)r. 可用归纳法证明。 n=1时,a(1)=a+(1-1)r=a。成立。 假设n=k时,等差数列的通项公式成立。a(k)=a+(k-1)r 则,n=k+1时,a(k+1)=a(k)+r=a+(k-1)r+r=a+[(k+1)-1]r. 通项公式也成立。 因此,由归纳法知,等差数列的通项公式是正确的。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+(a+r)+...+[a+(n-1)r] =na+r[1+2+...+(n-1)] =na+n(n-1)r/2 同样,可用归纳法证明求和公式。 a(1)=a,a(n)为公比为r(r不等于0)的等比数列 通项公式: a(n)=a(n-1)r=a(n-2)r^2=...=a[n-(n-1)]r^(n-1)=a(1)r^(n-1)=ar^(n-1). 可用归纳法证明等比数列的通项公式。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+ar+...+ar^(n-1) =a[1+r+...+r^(n-1)] r不等于1时, S(n)=a[1-r^n]/[1-r] r=1时, S(n)=na. 同样,可用归纳法证明求和公式。 必修四数学学*方法 掌握数学学*实践阶段:在高中数学学*过程中,我们需要使用正确的学*方法,以及科学合理的学*规则。先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法,曾经说过,尤其是高阶段的数学学*数学,必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。与教学内容的第一周甚至是从基础开始,一周后的头几天,在教学难以提升。以及提升的困难进步一步一步,最好不要去追求所谓的“困难”除了(感兴趣),不利于解决问题方法掌握连续性。同时,根据时间和课程安排的长度适当的.审查,只有这样才能记住和使用在长期学*数学知识,不要忘记前面的学*。 必修四数学学*技巧 重视改错错不重犯。 一定要重视改错的这份工作,做到错不再犯。初中数学教学中采用的方法是告诉学生所有可能的错误,只要有一个人犯了错误,就应该提出,以便所有的学生都能从中吸取教训。这叫“一人有病,全体吃药。” 高中数学课没有那么多时间,除了一小部分那几种典型错,其它错误,不能一一顾及。只能谁有病,谁吃药。如果学生“生病”而忘了吃药,那么没有人会一次又一次地提醒他要注意什么。如果能及时改错,那么错误就可能转变为财富,成为预防针。但是,如果不能及时改错,这个错误就将形成一处“地雷”,迟早要惹祸。 有的学生认为,自己考试成绩上不去,是因为太粗心。其实,原因并非如此。打一个比方。比如说,学*开汽车。右脚下面,往左踩,是踩刹车。往右踩,是踩油门。其机械原理,设计原因,操作规程都可以讲的清清楚楚。如果初学驾驶的人真正掌握了这一套,请问,可以同意他开车上路吗?恐怕他知道他还缺乏练*。一两次你能正确地完成任务,但这并不意味着你永远不会犯错误。练*的数量不够,才是学生出错的真正原因。大家一定要看到,如果自己的基础知识漏洞百出、隐患无穷,那么,今后的数学将是难以学好的。 1.向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。 2.规定若线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。具有方向和长度的线段叫做有向线段。 3.向量的模:向量的大小,也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。 注:向量的模是非负实数,是可以比较大小的。因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。 4.单位向量:长度为一个单位(即模为1)的向量,叫做单位向量.与向量a同向,且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0。 5.长度为0的.向量叫做零向量,记作0。零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的。 向量的计算 1.加法 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 2.减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 加减变换律:a+(-b)=a-b 3.数量积 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作θ并规定0≤θ≤π 向量的数量积的运算律 a·b=b·a(交换律) (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律) (a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 向量的数量积的性质 a·a=|a|的*方。 a⊥b〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|) 高中学好数学的方法是什么 数学需要沉下心去做,浮躁的人很难学好数学,踏踏实实做题才是硬道理。 数学要想学好,不琢磨是行不通的,遇到难题不能躲,研究明白了才能罢休。 数学最主要的就是解题过程,懂得数学思维很关键,思路通了,数学自然就会了。 数学不是用来看的,而是用来算的,或许这一秒没思路,当你拿起笔开始计算的那一秒,就豁然开朗了。 数学题目不会做,原因之一就是例题没研究明白,所以数学书上的例题绝对不要放过。 数学函数的奇偶性知识点 1、函数的奇偶性的定义:对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。 问题提出 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量,如果当一个变量的取值一定时,另一个变量的取值被惟一确定,则这两个变量之间的关系就是一个函数关系. 在中学校园里,有这样一种说法:“如果你的数学成绩好,那么你的物理学*就不会有什么大问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系,我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量,那么这两个变量之间的关系是函数关系吗? 我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少,学*兴趣、学*时间、教学水*等,也是影响物理成绩的一些因素,但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系,有必要从理论上作些探讨,如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计,将有着非常重要的现实意义. 知识探究(一):变量之间的相关关系 思考1:考察下列问题中两个变量之间的关系: (1)商品销售收入与广告支出经费; (2)粮食产量与施肥量; (3)人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗? 思考2:“名师出高徒”可以解释为教师的水*越高,学生的水*就越高,那么学生的学业成绩与教师的教学水*之间的关系是函数关系吗?你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗? 思考3:上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系,称之为相关关系,那么相关关系的含义如何? 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系. 1、球的体积和球的半径具有() A函数关系B相关关系 C不确定关系D无任何关系 2、下列两个变量之间的关系不是 函数关系的是() A角的度数和正弦值 B速度一定时,距离和时间的关系 C正方体的棱长和体积 D日照时间和水稻的亩产量AD练:知识探究(二):散点图 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本*均数. 思考1:对某一个人来说,他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少,但是如果把很多个体放在一起,就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据,大体上看,随着年龄的增加,人体脂肪含量怎样变化? 思考2:为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系,我们需要对数据进行分析,通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含量,你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗? 思考3:上图叫做散点图,你能描述一下散点图的含义吗? 在*面直角坐标系中,表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形,称为散点图. 思考4:观察散点图的大致趋势,人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系? 思考5:在上面的散点图中,这些点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.一般地,如果两个变量成正相关,那么这两个变量的变化趋势如何? 思考6:如果两个变量成负相关,从整体上看这两个变量的变化趋势如何?其散点图有什么特点? 一个变量随另一个变量的变大而变小,散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关,类似于函数的单调性. 知识探究(一):回归直线 思考1:一组样本数据的*均数是样本数据的中心,那么散点图中样本点的中心如何确定?它一定是散点图中的点吗? 思考2:在各种各样的散点图中,有些散点图中的点是杂乱分布的,有些散点图中的`点的分布有一定的规律性,年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点? 这些点大致分布在一条直线附*. 思考3:如果散点图中的点的分布,从整体上看大致在一条直线附*,则称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.对具有线性相关关系的两个变量,其回归直线一定通过样本点的中心吗? 思考4:对一组具有线性相关关系的样本数据,你认为其回归直线是一条还是几条? 思考5:在样本数据的散点图中,能否用直尺准确画出回归直线?借助计算机怎样画出回归直线? 知识探究(二):回归方程 在直角坐标系中,任何一条直线都有相应的方程,回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据,如果能够求出它的回归方程,那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系,并根据回归方程对总体进行估计. 思考1:回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系? 整体上最接* 思考2:对于求回归直线方程,你有哪些想法? 思考4:为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接*程度,你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适%某小卖部为了了解热茶销售量与气温 之间的关系,随机统计并制作了某6天 卖出热茶的杯数与当天气温的对照表: 如果某天的气温是-50C,你能根据这些 数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗? 实例探究 为了了解热茶销量与 气温的大致关系,我们 以横坐标x表示气温, 纵坐标y表示热茶销量, 建立直角坐标系.将表 中数据构成的6个数对 表示的点在坐标系内 标出,得到下图。 你发现这些点有什么规律? 今后我们称这样的图为散点图(scatterplot). 建构数学 所以,我们用类似于估计*均数时的 思想,考虑离差的*方和 当x=-5时,热茶销量约为66杯 线性回归方程: 一般地,设有n个观察数据如下:当a,b使三点(3,10),(7,20),(11,24)的 线性回归方程是() 二、求线性回归方程 例2:观察两相关变量得如下表: 求两变量间的回归方程解1:列表: 阅读课本P73例1 EXCEL作散点图 利用线性回归方程解题步骤: 1、先画出所给数据对应的散点图; 2、观察散点,如果在一条直线附*,则说明所给量具有线性相关关系 3、根据公式求出线性回归方程,并解决其他问题。 (1)如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值;(2)分别说明以上两个模型是确定性 模型还是随机模型. 模型1:y=6+4x;模型2:y=6+4x+ 解(1)模型1:y=6+4x=6+4×3=18; 模型2:y=6+4x+e=6+4×3+线性相关与线性回归方程小结1、变量间相关关系的散点图 2、如何利用“最小二乘法”思想求直线的回归方程 3、学会用回归思想考察现实生活中变量之间的相关关系 一】 a(1)=a,a(n)为公差为r的等差数列 通项公式: a(n)=a(n—1)+r=a(n—2)+2r=...=a[n—(n—1)]+(n—1)r=a(1)+(n—1)r=a+(n—1)r。 可用归纳法证明。 n=1时,a(1)=a+(1—1)r=a。成立。 假设n=k时,等差数列的通项公式成立。a(k)=a+(k—1)r 则,n=k+1时,a(k+1)=a(k)+r=a+(k—1)r+r=a+[(k+1)—1]r。 通项公式也成立。 因此,由归纳法知,等差数列的通项公式是正确的。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+(a+r)+...+[a+(n—1)r] =na+r[1+2+...+(n—1)] =na+n(n—1)r/2 同样,可用归纳法证明求和公式。 a(1)=a,a(n)为公比为r(r不等于0)的等比数列 通项公式: a(n)=a(n—1)r=a(n—2)r^2=...=a[n—(n—1)]r^(n—1)=a(1)r^(n—1)=ar^(n—1)。 可用归纳法证明等比数列的通项公式。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+ar+...+ar^(n—1) =a[1+r+...+r^(n—1)] r不等于1时, S(n)=a[1—r^n]/[1—r] r=1时, S(n)=na。 同样,可用归纳法证明求和公式。 二】 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹。 轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系,设出动点M的坐标; ⒉写出点M的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验。 二、求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的.轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 译法:求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系; ②设点——设轨迹上的任一点P(x,y); ③列式——列出动点p所满足的关系式; ④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简; ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 高考数学必修四学*方法 1、先看笔记后做作业。 有的同学感到,老师讲过的,自己已经听得明明白白了。但是为什么你这么做有那么多困难呢?原因是学生对教师所说的理解没有达到教师要求的水*。 因此,每天做作业之前,我们必须先看一下课本的相关内容和当天的课堂笔记。能否如此坚持,常常是好学生与差学生的最大区别。尤其是当练*不匹配时,老师通常没有刚刚讲过的练*类型,因此它们不能被比较和消化。如果你不重视这个实施,在很长一段时间内,会造成很大的损失。 2、做题之后加强反思。 学生一定要明确,现在正做着的题,一定不是考试的题目。但使用现在做主题的解决问题的思路和方法。因此,我们应该反思我们所做的每一个问题,并总结我们自己的收获。 要总结出:这是一道什么内容的题,用的是什么方法。做到知识成片,问题成串。日复一日,建立科学的网络系统的内容和方法。俗话说:有钱难买回头看。做完作业,回头细看,价值极大。这一回顾,是学*过程中一个非常重要的环节。 高考数学必修四学*技巧 1、科学的预*方法 预*中发现的难点,就是听课的重点;对预*中遇到的没有掌握好的有关的旧知识,可进行补缺,以减听课过程中的困难;有助于提高思维能力,预*后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水*;预*后将课本的例题及老师要讲授的*题提前完成,还可以培养自己的自学能力,与老师的方法进行比较,可以发现更多的方法与技巧。总之,这样会使你的听课更加有的放矢,你会知道哪些该重点听,哪些该重点记。 2、科学的听课方式 听课的过程不是一个被动参预的过程,要全身心地投入课堂学*,耳到、眼到、心到、口到、手到。还要想在老师前面,不断思考:面对这个问题我会怎么想?当老师讲解时,又要思考:老师为什么这样想?这里用了什么思想方法?这样做的目的是什么?这个题有没有更好的方法?问题多了,思路自然就开阔了。 3、科学的记录笔记 记问题——将课堂上未听懂的问题及时记下来,便于课后请教同学或老师,把问题弄懂弄通。 记疑点——对老师在课堂上讲的内容有疑问应及时记下,这类疑点,有可能是自己理解错造成的,也有可能是老师讲课疏忽大意造成的,记下来后,便于课后与老师商榷。 记方法——勤记老师讲的解题技巧、思路及方法,这对于启迪思维,开阔视野,开发智力,培养能力,并对提高解题水*大有益处。 记总结——注意记住老师的课后总结,这对于浓缩一堂课的内容,找出重点及各部分之间的联系,掌握基本概念、公式、定理,寻找存在问题、找到规律,融会贯通课堂内容都很有作用。 初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算及有限次函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。非初等函数是指凡不是初等函数的函数。 初等函数是最常用的一类函数,包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(以上是基本初等函数),以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数,称为初等函数。 非初等函数的研究与发展是*现代数学的重大成就之一,极大拓展了数学在各个领域的应用,在概率论、物理学科各个分支中等有十分广泛的应用。是函数的一个重要的分支。一般说来,大部分分段函数不是初等函数。如符号函数,狄利克雷函数,gamma函数,误差函数,Weierstrass函数。但是个别分段函数除外。 1、指数函数:函数y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数 a的取值a>1 0 定义域x∈R x∈R 值域y∈(0,+∞) y∈(0,+∞) 单调性全定义域单调递增全定义域单调递减 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 过定点(0,1) (0,1) 注意:⑴由函数的单调性可以看出,在闭区间[a,b]上,指数函数的最值为: a>1时,最小值f(a),最大值f(b);0 ⑵对于任意指数函数y=ax (a>0且a≠1),都有f(1)=a。 2、对数函数:函数y=logax(a>0且a≠1)),叫做对数函数 a的取值a>1 0 定义域x∈(0,+∞) x∈(0,+∞) 值域y∈R y∈R 单调性全定义域单调递全定义域单调递减 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 过定点(1,0) (1,0) 3、幂函数:函数y=xa(a∈R),高中阶段,幂函数只研究第I象限的情况。 ⑴所有幂函数都在(0,+∞)区间内有定义,而且过定点(1,1)。 ⑵a>0时,幂函数图像过原点,且在(0,+∞)区间为增函数,a越大,图像坡度越大。 ⑶a<0时,幂函数在(0,+∞)区间为减函数。 当x从右侧无限接*原点时,图像无限接*y轴正半轴; 当y无限接*正无穷时,图像无限接*x轴正半轴。 幂函数总图见下页。 4、反函数:将原函数y=f(x)的x和y互换即得其反函数x=f-1(y)。 反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。 数学函数的奇偶性知识点 1、函数的奇偶性的定义:对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的`定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。 学数学的用处 第一,实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。就大多数情况来看,不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动,能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。 第二,数学可以使你的大脑变得更加聪明,增加你思维的严谨性,另外,数学对你其它科目的学*也有很大作用。 第三,数学无处不在,工作学*中都用得着,例如日常逛街买东西都是和数学有关的,这时候才能体会到学*数学的好处。 【公式一】 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) 【公式二】 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的'关系: sin(π+α)=—sinα cos(π+α)=—cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 【公式三】 任意角α与—α的三角函数值之间的关系: sin(—α)=—sinα cos(—α)=cosα tan(—α)=—tanα cot(—α)=—cotα 【公式四】 利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的关系: sin(π—α)=sinα cos(π—α)=—cosα tan(π—α)=—tanα cot(π—α)=—cotα 【公式五】 利用公式一和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π—α)=—sinα cos(2π—α)=cosα tan(2π—α)=—tanα cot(2π—α)=—cotα 复数的概念: 形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。 复数的表示: 复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a叫复数的实部,b叫复数的虚部。 复数的几何意义: (1)复*面、实轴、虚轴: 点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的*面叫做复*面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义:复数集C和复*面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 这是因为,每一个复数有复*面内惟一的一个点和它对应;反过来,复*面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法。 复数的模: 复数z=a+bi(a、b∈R)在复*面上对应的点Z(a,b)到原点的距离叫复数的模,记为|Z|,即|Z|= 虚数单位i: (1)它的*方等于—1,即i2=—1; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与—1的关系:i就是—1的一个*方根,即方程x2=—1的一个根,方程x2=—1的另一个根是—i。 (4)i的周期性:i4n+1=i,i4n+2=—1,i4n+3=—i,i4n=1。 复数模的性质: 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系: 对于复数a+bi(a、b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。 两个复数相等的定义: 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即:如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di a=c,b=d。特殊地,a,b∈R时,a+bi=0 a=0,b=0。 复数相等的充要条件,提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。 复数相等特别提醒: 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如果两个复数都是实数,就可以比较大小,也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 解复数相等问题的方法步骤: (1)把给的复数化成复数的标准形式; (2)根据复数相等的充要条件解之。 数学学*技巧 1、做好预*: 单元预*时粗读,了解*阶段的学*内容,课时预*时细读,注重知识的形成过程,对难以理解的`概念、公式和法则等要做好记录,以便带着问题听课。 2、认真听课: 听课应包括听、思、记三个方面。听,听知识形成的来龙去脉,听重点和难点,听例题的解法和要求。思,一是要善于联想、类比和归纳,二是要敢于质疑,提出问题。记,指课堂笔记——记方法,记疑点,记要求,记注意点。 3、认真解题: 课堂练*是最及时最直接的反馈,一定不能错过。不要急于完成作业,要先看看你的笔记本,回顾学*内容,加深理解,强化记忆。 4、及时纠错: 课堂练*、作业、检测,反馈后要及时查阅,分析错题的原因,必要时强化相关计算的训练。不明白的问题要及时向同学和老师请教了,不能将问题处于悬而未解的状态,养成今日事今日毕的好*惯。 数学中的合数是什么意思? 合数的概念 合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数,而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是4。其中,完全数与相亲数是以它为基础的。 什么是质数 质数又称素数,有无限个。一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。 根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。 质数和合数应用 1、质数与密码学:所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数,编码之后传送给收信人,任何人收到此信息后,若没有此收信人所拥有的密钥,则解密的过程中(实为寻找素数的过程),将会因为找质数的过程(分解质因数)过久,使即使取得信息也会无意义。 2、质数与变速箱:在汽车变速箱齿轮的设计上,相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数,以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数,可增强耐用度减少故障。 解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 数列 (1)数列的概念和简单表示法 ①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). ②了解数列是自变量为正整数的一类函数. (2)等差数列、等比数列 ①理解等差数列、等比数列的概念. ②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式. ③能在具体的.问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. ④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 正弦函数 主词条:正弦函数。 格式:sin(θ)。 作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角对边长度比斜边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是csc(θ)的倒数。 函数图像:波形曲线。 值域:-1~1。 余弦函数 主词条:余弦函数。 格式:cos(θ)。 作用:在直角三角形中,将大小为(单位为弧度)的角邻边长度比斜边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是sec(θ)的倒数。 函数图像:波形曲线。 值域:-1~1。 正切函数 主词条:正切函数。 格式:tan(θ)。 作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角对边长度比邻边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是cot(θ)的倒数。 函数图像:右图*面直角坐标系反映。 值域:-∞~∞。 余切函数 主词条:余切函数。 格式:cot(θ)。 作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角邻边长度比对边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是tan(θ)的倒数。 函数图像:右图*面直角坐标系反映。 值域:-∞~∞。 正割函数 主词条:正割函数。 格式:sec(θ)。 作用:在直角三角形中,将斜边长度比大小为θ(单位为弧度)的角邻边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是cos(θ)的倒数。 函数图像:右图*面直角坐标系反映。 值域:≥1或≤-1。 余割函数 主词条:余割函数。 格式:csc(θ)。 作用:在直角三角形中,将斜边长度比大小为θ(单位为弧度)的角对边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是sin(θ)的倒数。 函数图像:右图*面直角坐标系反映。 值域:≥1或≤-1。 学数学的用处 第一,实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。就大多数情况来看,不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动,能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。 第二,数学可以使你的大脑变得更加聪明,增加你思维的严谨性,另外,数学对你其它科目的学*也有很大作用。 第三,数学无处不在,工作学*中都用得着,例如日常逛街买东西都是和数学有关的,这时候才能体会到学*数学的好处。 数学函数的解析式与定义域知识点 1、函数及其定义域是不可分割的整体,没有定义域的函数是不存在的,因此,要正确地写出函数的解析式,必须是在求出变量间的对应法则的同时,求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型: (1)有时一个函数来自于一个实际问题,这时自变量x有实际意义,求定义域要结合实际意义考虑; (2)已知一个函数的解析式求其定义域,只要使解析式有意义即可。如: ①分式的分母不得为零; ②偶次方根的被开方数不小于零; ③对数函数的'真数必须大于零; ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1; ⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函数y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等。 应注意,一个函数的解析式由几部分组成时,定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集)。 (3)已知一个函数的定义域,求另一个函数的定义域,主要考虑定义域的深刻含义即可。 已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围,而已知f[g(x)]的定义域[a,b]指的是x∈[a,b],此时f(x)的定义域,即g(x)的值域。 2、求函数的解析式一般有四种情况 (1)根据某实际问题需建立一种函数关系时,必须引入合适的变量,根据数学的有关知识寻求函数的解析式。 (2)有时题设给出函数特征,求函数的解析式,可采用待定系数法。比如函数是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b为待定系数,根据题设条件,列出方程组,求出a,b即可。 (3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法求函数f(x)的表达式,这时必须求出g(x)的值域,这相当于求函数的定义域。 (4)若已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还出现其他未知量(如f(-x),等),必须根据已知等式,再构造其他等式组成方程组,利用解方程组法求出f(x)的表达式。 不等式 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式 ①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. ③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ②了解二元一次不等式的几何意义,能用*面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的`二元线性规划问题,并能加以解决. (4)基本不等式: ①了解基本不等式的证明过程. ②会用基本不等式解决简单的(小)值问题圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 一、两个定理 1、共线向量定理: 两向量共线(*行)等价于两个向量满足数乘关系(与实数相乘的向量不是零向量),且数乘系数唯一。用坐标形式表示就是两向量共线则两向量坐标的“内积等于外积”。此定理可以用来证向量*行或者使用向两*行的条件。此定理的延伸是三点共线!三点共线可以向两个向量的等式转化:1.三个点中任意找两组点构成的两个向量共线,满足数乘关系;2.以同一个点为始点、三个点为终点构造三个向量,其中一个可由另外两个线性表示,且系数和为1。 2、*面向量基本定理: *面内两个不共线的向量可以线性表示任何一个向量,且系数唯一。这两个不共线的向量构成一组基底,这两个向量叫基向量。此定理的作用有两个:1.可以统一题目中向量的形式;2.可以利用系数的唯一性求向量的系数(固定的算法模式)。 二、三种形式 *面向量有三种形式,字母形式、几何形式、坐标形式。字母形式要注意带箭头,多考虑几何形式画图解题,特别是能得到特殊的三角形和四边形的情况,向量的坐标和点的坐标不要混淆,向量的坐标是其终点坐标减始点坐标,特殊情况下,若始点在原点,则向量的坐标就是终点坐标。 选择合适的向量形式解决问题是解题的一个关键,优先考虑用几何形式画图做,然后是坐标形式,最后考虑字母形式的变形运算。 三、四种运算 加、减、数乘、数量积。前三种运算是线性运算,结果是向量(0乘以任何向量结果都是零向量,零向量乘以任何实数都是零向量);数量积不是线性运算,结果是实数(零向量乘以任何向量都是0)。线性运算符合所有的实数运算律,数量积不符合消去律和结合律。 向量运算也有三种形式:字母形式、几何形式和坐标形式。 加减法的字母形式注意首尾相接和始点重合。数量积的字母形式公式很重要,要能熟练灵活的使用。 加减法的几何意义是*行四边形和三角形法则,数乘的几何意义是长度的伸缩和方向的共线,数量积的几何意义是一个向量的模乘以另一个向量在第一个向量方向上的射影的数量。向量的夹角用尖括号表示,是两向量始点重合或者终点重合时形成的角,首尾相接形成的角为向量夹角的补角。射影数量有两种求法:1.向量的模乘以夹角余弦;2.两向量数量积除以另一向量的模。 加减法的坐标形式是横纵坐标分别加减,数乘的坐标形式是实数乘以横、纵坐标,数量积的坐标形式是横坐标的乘积加纵坐标的乘积。 四、五个应用 求长度、求夹角、证垂直、证*行、向量和差积的模与模的和差积的关系。前三个应用是数量积的运算性质,证*行的数乘运算性质,零向量不能说和哪个向量方向相同或相反,规定零向量和任意向量都*行且都垂直;一个向量乘以自己再开方就是长度;两个向量数量积除以模的乘积就是夹角的余弦;两个向量满足数乘关系则必定共线(*行)。一个向量除以自己的模得到和自己同方向的单位向量,加符号是反方向的单位向量 数学函数的值域与最值知识点 1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下: (1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域. (2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元. (3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧. (6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性,可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的'几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值. 1、*面向量基本概念 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段记作或AB; 向量的模:有向线段AB的长度叫做向量的模,记作|AB|; 零向量:长度等于0的向量叫做零向量,记作或0。(注意粗体格式,实数“0”和向量“0”是有区别的.,书写时要在实数“0”上加箭头,以免混淆); 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量; *行向量(共线向量):两个方向相同或相反的非零向量叫做*行向量或共线向量,零向量与任意向量*行,即0//a; 单位向量:模等于1个单位长度的向量叫做单位向量,通常用e表示,*行于坐标轴的单位向量*惯上分别用i、j表示。 相反向量:与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,—(—a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。 2、*面向量运算 加法与减法的代数运算: (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a b=(x1+x2,y1+y2)。 向量加法与减法的几何表示:*行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律:+ = +(交换律);+(+c)=(+)+c(结合律); 实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量。 (1)| |=| |·| |; (2)当a>0时,与a的方向相同;当a<0时,与a的方向相反;当a=0时,a=0。 两个向量共线的充要条件: (1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= 。 (2)若=(),b=()则‖b 。 3、*面向量基本定理 若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量,那么对于这一*面内的任一向量,有且只有一对实数,,使得= e1+ e2。 4、*面向量有关推论 三角形ABC内一点O,OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是三角形的垂心。 若O是三角形ABC的外心,点M满足OA+OB+OC=OM,则M是三角形ABC的垂心。 若O和三角形ABC共面,且满足OA+OB+OC=0,则O是三角形ABC的重心。 三点共线:三点A,B,C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=1) 一1.正弦、余弦公式的逆向思维 对于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)这样的形式,运用逆向思维,化解为: cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α) 2.正切公式的逆向思维。 比如,由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)] 可得: tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)] [1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β) tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β) 3.二倍角公式的灵活转化 比如:1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α) =[sin(α)+cos(α)]2 cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)] cos2(α)=[1+cos(2α)]/2 sin2(α)=[1-cos(2α)]/2 1+cos(α)=2cos2(α/2) 1-cos(α)=2sin2(α/2) sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α) sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α) 4.两角和差正弦、余弦公式的相加减、相比。 比如: sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)……1 sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)……2 1式+2式,得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin(α)cos(β) 1式-2式,得到 sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β) 1式比2式,得到 sin(α+β)/sin(α-β)=[sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)]/ [sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)] =[tαn(α)+tαn(β)] / [tαn(α)-tαn(β)] 我们来看两道例题,增加印象。 1.已知cos(α)=1/7,cos(α-β)=13/14,且0<β<α<π/2,求β 本题中,α-β∈(0,π/2) sin(α)=4√3/7 sin(α-β)=3√3/14 cos(β)=cos[α-(α-β)]=cos(α)cos(α-β)+sin(α)sin(α-β) =1/2 β=π/3 2.已知3sin2(α)+2sin2(β)=1,3sin(2α)-2sin(2β)=0,且α,β都是锐角。求α+2β 由3sin2(α)+2sin2(β)=1得到: 1-2sin2(β)=cos(2β)=3sin2(α) 由3sin(2α)-2sin(2β)=0得到: sin(2β)=3sin(2α)/2 cos(α+2β)=cos(α)cos(2β)-sin(α)sin(2β) =cos(α)3sin2(α)-sin(α)3sin(2α)/2 =3sin2(α)cos(α)-3cos(α)sin2(α) =0 加之0<α+2β<270o α+2β=90o 二轨迹知识点 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹. 轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性). 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系,设出动点M的坐标; ⒉写出点M的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验。 求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法:用动点Q的.坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 _直译法:求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系; ②设点——设轨迹上的任一点P(x,y); ③列式——列出动点p所满足的关系式; ④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简; ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 学好数学窍门是什么 文科中的科目大部分都是需要理解记忆的,数学其实也是如此,只不过是需要理解做题,勤加锻炼自己的思维能力,面对数学题的时候,从多方面的去思考,数学学没学好其实也体现在每次考试的成绩上,有一些同学*时会觉得自己成绩不错,但是到了考试,成绩并不是很好,这一部分原因是由于你的基础知识不扎实,还是一部分原因是由于你在面对考试的时候,心态差。 魏德武速算 1,加法速算:计算任意位数的加法速算,方法很简单学*者只要熟记一种加法速算通用口诀 ——“本位相加(针对进位数) 减加补,前位相加多加一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的加法速算方法,比如:(1)67+48=(6+5)×10+(7-2)=115(2)758+496=(7+5)×100+(5-0)×10+8-4=1254即可。 2,减法速算:计算任意位数的减法速算方法也同样是用一种减法速算通用口诀 ——“本位相减(针对借位数) 加减补,前位相减多减一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的减法速算方法,比如:(1),67-48=(6-5)×10+(7+2)=19,(2),758-496=(7-5)×100+(5+1)×10+8-6=262即可。 3,乘法速算:魏氏乘法速算通用公式:ab×cd=(a+1)×c×100+b×d+魏氏速算嬗数×10。 一、立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相*行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相*行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边*行的全等多边形;侧面、对角面都是*行四边形;侧棱*行且相等;*行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;*行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的*方。 (3)棱台: 定义:用一个*行于棱锥底面的*面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的*行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴*行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个*行于圆锥底面的*面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体: 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的.几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 二、向量的向量积 定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。 向量的向量积性质: ∣a×b∣是以a和b为边的*行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 三、向量的向量积运算律 a×b=-b×a; (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); (a+b)×c=a×c+b×c. 注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。 四、必修四数学学*方法 数学不是靠老师教会的,而是在老师的引导下,靠自己主动的思维活动去获取的。学*数学一定要讲究“活”,只看书不做题不行,只埋头做题不总结积累也不行。记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 要建立数学纠错本。把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再 犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 五、必修四数学学*技巧 首先:课前复*。就是上课前花两三分钟把书本本节课要学的内容看一遍。仅仅是看一遍,过一遍。这样上课老师讲自己不但可以跟上老师节奏还可以再次巩固。其余不要干其他多余的事。 其次:上课时候一定要专心听讲,如果觉得老师这里讲得都懂了的话可以自己翻书看后面的内容。做*题的时候一定要一道一道往过做,不要越题做。因为对于课本来说这些都是基础,只有基础完全掌握后才能做难题。上课过程中第一次接触到的知识点概念等,一定一定要当堂背过。不然以后很难背过,不要妄想考前抱佛教再背 另外要把笔记记准确,知道自己需要记什么不需要记什么,憋一个劲地往书上搬。字不要求整齐,自己能看懂就行。课本资料书上有例题,多看多记方法。先看课本基础,在看资料书上着重的。例题的方法一定一定要理解,不要去背!接着下课再看笔记,只是略微巩固记住。 数学必修四知识点菁选(扩展3) ——数学必修四知识点菁选 数学必修四知识点合集15篇 在学*中,大家最熟悉的就是知识点吧?知识点就是掌握某个问题/知识的学*要点。还在苦恼没有知识点总结吗?下面是小编帮大家整理的数学必修四知识点,欢迎大家分享。 *面向量 戴氏航天学校老师总结加法与减法的代数运算: (1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ). 向量加法与减法的几何表示:*行四边形法则、三角形法则。 戴氏航天学校老师总结向量加法有如下规律:+= +(交换律); +( +c)=( + )+c (结合律); 两个向量共线的充要条件: (1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= . (2) 若=(),b=()则‖b . *面向量基本定理: 若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量,那么对于这一*面内的任一向量,戴氏航天学校老师提醒有且只 有一对实数,,使得= e1+ e2 高考数学必修四学*方法 养成良好的课前和课后学**惯:在当前高中数学学*中,培养正确的学**惯是一项重要的学*技能。虽然有一种刻板印象的`猜疑,但在高中数学学*真的是反复尝试和错误的。学生们不得不预*课本。我准备的数学教科书不是简单的阅读,而是一个例子,至少十分钟的思考。在使用前不能通过学*知识解决问题的情况下,可以在教学内容中找到答案,然后在教材中考察问题的解决过程,掌握解决问题的思路。同时,在课堂上安排笔记也是必要的。在高中数学研究中,建议采用两种形式的笔记,一种是课堂速记,另一种是课后笔记。这不仅提高了课堂记忆的吸收能力,而且有助于对笔记内容的查询。 高考数学必修四学*技巧 养成良好的学*数学*惯 多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学*数学的过程中,要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言,并永久记忆在自己的脑海中。良好的学*数学*惯包括课前自学、专心上课、及时复*、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学*几个方面。 及时了解、掌握常用的数学思想和方法 中学数学学*要重点掌握的的数学思想有以上几个:集合与对应思想,分类讨论思想,数形结合思想,运动思想,转化思想,变换思想。 有了数学思想以后,还要掌握具体的方法,比如:换元、待定系数、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在具体的方法中,常用的有:观察与实验,联想与类比,比较与分类,分析与综合,归纳与演绎,一般与特殊,有限与无限,抽象与概括等。 【公式一】 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) 【公式二】 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的`三角函数值之间的关系: sin(π+α)=—sinα cos(π+α)=—cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 【公式三】 任意角α与—α的三角函数值之间的关系: sin(—α)=—sinα cos(—α)=cosα tan(—α)=—tanα cot(—α)=—cotα 【公式四】 利用公式二和公式三可以得到π—α与α的三角函数值之间的关系: sin(π—α)=sinα cos(π—α)=—cosα tan(π—α)=—tanα cot(π—α)=—cotα 【公式五】 利用公式一和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π—α)=—sinα cos(2π—α)=cosα tan(2π—α)=—tanα cot(2π—α)=—cotα 一1.正弦、余弦公式的逆向思维 对于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)这样的形式,运用逆向思维,化解为: cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α) 2.正切公式的逆向思维。 比如,由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)] 可得: tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)] [1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β) tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β) 3.二倍角公式的灵活转化 比如:1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α) =[sin(α)+cos(α)]2 cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)] cos2(α)=[1+cos(2α)]/2 sin2(α)=[1-cos(2α)]/2 1+cos(α)=2cos2(α/2) 1-cos(α)=2sin2(α/2) sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α) sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α) 4.两角和差正弦、余弦公式的相加减、相比。 比如: sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)……1 sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)……2 1式+2式,得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin(α)cos(β) 1式-2式,得到 sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β) 1式比2式,得到 sin(α+β)/sin(α-β)=[sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)]/ [sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)] =[tαn(α)+tαn(β)] / [tαn(α)-tαn(β)] 我们来看两道例题,增加印象。 1.已知cos(α)=1/7,cos(α-β)=13/14,且0<β<α<π/2,求β 本题中,α-β∈(0,π/2) sin(α)=4√3/7 sin(α-β)=3√3/14 cos(β)=cos[α-(α-β)]=cos(α)cos(α-β)+sin(α)sin(α-β) =1/2 β=π/3 2.已知3sin2(α)+2sin2(β)=1,3sin(2α)-2sin(2β)=0,且α,β都是锐角。求α+2β 由3sin2(α)+2sin2(β)=1得到: 1-2sin2(β)=cos(2β)=3sin2(α) 由3sin(2α)-2sin(2β)=0得到: sin(2β)=3sin(2α)/2 cos(α+2β)=cos(α)cos(2β)-sin(α)sin(2β) =cos(α)3sin2(α)-sin(α)3sin(2α)/2 =3sin2(α)cos(α)-3cos(α)sin2(α) =0 加之0<α+2β<270o α+2β=90o 二轨迹知识点 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹. 轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性). 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系,设出动点M的`坐标; ⒉写出点M的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验。 求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 _直译法:求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系; ②设点——设轨迹上的任一点P(x,y); ③列式——列出动点p所满足的关系式; ④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简; ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 学好数学窍门是什么 文科中的科目大部分都是需要理解记忆的,数学其实也是如此,只不过是需要理解做题,勤加锻炼自己的思维能力,面对数学题的时候,从多方面的去思考,数学学没学好其实也体现在每次考试的成绩上,有一些同学*时会觉得自己成绩不错,但是到了考试,成绩并不是很好,这一部分原因是由于你的基础知识不扎实,还是一部分原因是由于你在面对考试的时候,心态差。 魏德武速算 1,加法速算:计算任意位数的加法速算,方法很简单学*者只要熟记一种加法速算通用口诀 ——“本位相加(针对进位数) 减加补,前位相加多加一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的加法速算方法,比如:(1)67+48=(6+5)×10+(7-2)=115(2)758+496=(7+5)×100+(5-0)×10+8-4=1254即可。 2,减法速算:计算任意位数的减法速算方法也同样是用一种减法速算通用口诀 ——“本位相减(针对借位数) 加减补,前位相减多减一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的减法速算方法,比如:(1),67-48=(6-5)×10+(7+2)=19,(2),758-496=(7-5)×100+(5+1)×10+8-6=262即可。 3,乘法速算:魏氏乘法速算通用公式:ab×cd=(a+1)×c×100+b×d+魏氏速算嬗数×10。 正弦函数 主词条:正弦函数。 格式:sin(θ)。 作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角对边长度比斜边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是csc(θ)的倒数。 函数图像:波形曲线。 值域:-1~1。 余弦函数 主词条:余弦函数。 格式:cos(θ)。 作用:在直角三角形中,将大小为(单位为弧度)的角邻边长度比斜边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是sec(θ)的倒数。 函数图像:波形曲线。 值域:-1~1。 正切函数 主词条:正切函数。 格式:tan(θ)。 作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角对边长度比邻边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是cot(θ)的倒数。 函数图像:右图*面直角坐标系反映。 值域:-∞~∞。 余切函数 主词条:余切函数。 格式:cot(θ)。 作用:在直角三角形中,将大小为θ(单位为弧度)的角邻边长度比对边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是tan(θ)的倒数。 函数图像:右图*面直角坐标系反映。 值域:-∞~∞。 正割函数 主词条:正割函数。 格式:sec(θ)。 作用:在直角三角形中,将斜边长度比大小为θ(单位为弧度)的角邻边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是cos(θ)的倒数。 函数图像:右图*面直角坐标系反映。 值域:≥1或≤-1。 余割函数 主词条:余割函数。 格式:csc(θ)。 作用:在直角三角形中,将斜边长度比大小为θ(单位为弧度)的角对边长度的比值求出,函数值为上述比的比值,也是sin(θ)的倒数。 函数图像:右图*面直角坐标系反映。 值域:≥1或≤-1。 学数学的用处 第一,实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。就大多数情况来看,不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动,能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。 第二,数学可以使你的大脑变得更加聪明,增加你思维的严谨性,另外,数学对你其它科目的学*也有很大作用。 第三,数学无处不在,工作学*中都用得着,例如日常逛街买东西都是和数学有关的,这时候才能体会到学*数学的好处。 数学函数的解析式与定义域知识点 1、函数及其定义域是不可分割的整体,没有定义域的函数是不存在的,因此,要正确地写出函数的解析式,必须是在求出变量间的对应法则的同时,求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型: (1)有时一个函数来自于一个实际问题,这时自变量x有实际意义,求定义域要结合实际意义考虑; (2)已知一个函数的解析式求其定义域,只要使解析式有意义即可。如: ①分式的分母不得为零; ②偶次方根的被开方数不小于零; ③对数函数的.真数必须大于零; ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1; ⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函数y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等。 应注意,一个函数的解析式由几部分组成时,定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集)。 (3)已知一个函数的定义域,求另一个函数的定义域,主要考虑定义域的深刻含义即可。 已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围,而已知f[g(x)]的定义域[a,b]指的是x∈[a,b],此时f(x)的定义域,即g(x)的值域。 2、求函数的解析式一般有四种情况 (1)根据某实际问题需建立一种函数关系时,必须引入合适的变量,根据数学的有关知识寻求函数的解析式。 (2)有时题设给出函数特征,求函数的解析式,可采用待定系数法。比如函数是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b为待定系数,根据题设条件,列出方程组,求出a,b即可。 (3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法求函数f(x)的表达式,这时必须求出g(x)的值域,这相当于求函数的定义域。 (4)若已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还出现其他未知量(如f(-x),等),必须根据已知等式,再构造其他等式组成方程组,利用解方程组法求出f(x)的表达式。 基本初等函数有哪些 基本初等函数包括以下几种: (1)常数函数y = c( c为常数) (2)幂函数y = x^a( a为常数) (3)指数函数y = a^x(a>0, a≠1) (4)对数函数y =log(a) x(a>0, a≠1,真数x>0) (5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数:y =sinx反正弦函数:y = arcsin x等) 基本初等函数性质是什么 幂函数 形如y=x^a的函数,式中a为实常数。 指数函数 形如y=a^x的函数,式中a为不等于1的正常数。 对数函数 指数函数的反函数,记作y=loga a x,式中a为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之间成立关系式,loga ax=x。 三角函数 即正弦函数y=sinx,余弦函数y=cosx,正切函数y=tanx,余切函数y=cotx,正割函数y=secx,余割函数y=cscx(见三角学)。 反三角函数 三角函数的反函数——反正弦函数y = arc sinx,反余弦函数y=arc cosx (-1≤x≤1,初等函数0≤y≤π),反正切函数y=arc tanx,反余切函数y = arc cotx(-∞ 学*数学小窍门 建立数学纠错本。 把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 限时训练。 可以找一组题(比如10道选择题),争取限定一个时间完成;也可以找1道大题,限时完成。这主要是创设一种考试情境,检验自己在紧张状态下的思维水*。 调整心态,正确对待考试。 首先,应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上,因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目,而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂,认真思考,尽量让自己理出头绪,做完题后要总结归纳。调整好自己的心态,使自己在任何时候镇静,思路有条不紊,克服浮躁的情绪。 数学函数的值域与最值知识点 1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域,求函数值域常用方法如下: (1)直接法:亦称观察法,对于结构较为简单的函数,可由函数的解析式应用不等式的性质,直接观察得出函数的值域. (2)换元法:运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域,若函数解析式中含有根式,当根式里一次式时用代数换元,当根式里是二次式时,用三角换元. (3)反函数法:利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的'定义域和值域间的关系,通过求反函数的定义域而得到原函数的值域,形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得. (4)配方法:对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法. (5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函数的值域,不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到*方等技巧. (6)判别式法:把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函数的单调性求值域:当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性,可采用单调性法求出函数的值域. (8)数形结合法求函数的值域:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法或图象,求出函数的值域,即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的,事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同,因而答题的方式就有所相异. 如函数的值域是(0,16],最大值是16,无最小值.再如函数的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),但此函数无最大值和最小值,只有在改变函数定义域后,如x>0时,函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响. 3、函数的最值在实际问题中的应用 函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上,从文字表述上常常表现为“工程造价最低”,“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上,求解时要特别关注实际意义对自变量的制约,以便能正确求得最值. 不等式 不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. (2)一元二次不等式 ①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. ②通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的`联系. ③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. (3)二元一次不等式组与简单线性规划问题 ①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. ②了解二元一次不等式的几何意义,能用*面区域表示二元一次不等式组. ③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. (4)基本不等式: ①了解基本不等式的证明过程. ②会用基本不等式解决简单的(小)值问题圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 1.向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。 2.规定若线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。具有方向和长度的线段叫做有向线段。 3.向量的模:向量的大小,也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。 注:向量的模是非负实数,是可以比较大小的。因为方向不能比较大小,所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。 4.单位向量:长度为一个单位(即模为1)的向量,叫做单位向量.与向量a同向,且长度为单位1的向量,叫做a方向上的单位向量,记作a0。 5.长度为0的向量叫做零向量,记作0。零向量的始点和终点重合,所以零向量没有确定的方向,或说零向量的方向是任意的。 向量的计算 1.加法 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 2.减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 加减变换律:a+(-b)=a-b 3.数量积 定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作θ并规定0≤θ≤π 向量的数量积的运算律 a·b=b·a(交换律) (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律) (a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 向量的数量积的性质 a·a=|a|的*方。 a⊥b〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|) 高中学好数学的方法是什么 数学需要沉下心去做,浮躁的人很难学好数学,踏踏实实做题才是硬道理。 数学要想学好,不琢磨是行不通的,遇到难题不能躲,研究明白了才能罢休。 数学最主要的就是解题过程,懂得数学思维很关键,思路通了,数学自然就会了。 数学不是用来看的`,而是用来算的,或许这一秒没思路,当你拿起笔开始计算的那一秒,就豁然开朗了。 数学题目不会做,原因之一就是例题没研究明白,所以数学书上的例题绝对不要放过。 数学函数的奇偶性知识点 1、函数的奇偶性的定义:对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。 1、*面向量基本概念 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段记作或AB; 向量的模:有向线段AB的长度叫做向量的模,记作|AB|; 零向量:长度等于0的向量叫做零向量,记作或0。(注意粗体格式,实数“0”和向量“0”是有区别的,书写时要在实数“0”上加箭头,以免混淆); 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量; *行向量(共线向量):两个方向相同或相反的非零向量叫做*行向量或共线向量,零向量与任意向量*行,即0//a; 单位向量:模等于1个单位长度的向量叫做单位向量,通常用e表示,*行于坐标轴的单位向量*惯上分别用i、j表示。 相反向量:与a长度相等,方向相反的.向量,叫做a的相反向量,—(—a)=a,零向量的相反向量仍然是零向量。 2、*面向量运算 加法与减法的代数运算: (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2)则a b=(x1+x2,y1+y2)。 向量加法与减法的几何表示:*行四边形法则、三角形法则。 向量加法有如下规律:+ = +(交换律);+(+c)=(+)+c(结合律); 实数与向量的积:实数与向量的积是一个向量。 (1)| |=| |·| |; (2)当a>0时,与a的方向相同;当a<0时,与a的方向相反;当a=0时,a=0。 两个向量共线的充要条件: (1)向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得b= 。 (2)若=(),b=()则‖b 。 3、*面向量基本定理 若e1、e2是同一*面内的两个不共线向量,那么对于这一*面内的任一向量,有且只有一对实数,,使得= e1+ e2。 4、*面向量有关推论 三角形ABC内一点O,OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是三角形的垂心。 若O是三角形ABC的外心,点M满足OA+OB+OC=OM,则M是三角形ABC的垂心。 若O和三角形ABC共面,且满足OA+OB+OC=0,则O是三角形ABC的重心。 三点共线:三点A,B,C共线推出OA=μOB+aOC(μ+a=1) 一、立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相*行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相*行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边*行的全等多边形;侧面、对角面都是*行四边形;侧棱*行且相等;*行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;*行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的*方。 (3)棱台: 定义:用一个*行于棱锥底面的*面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的*行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴*行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个*行于圆锥底面的*面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体: 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的`截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 二、向量的向量积 定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。 向量的向量积性质: ∣a×b∣是以a和b为边的*行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 三、向量的向量积运算律 a×b=-b×a; (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); (a+b)×c=a×c+b×c. 注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。 四、必修四数学学*方法 数学不是靠老师教会的,而是在老师的引导下,靠自己主动的思维活动去获取的。学*数学一定要讲究“活”,只看书不做题不行,只埋头做题不总结积累也不行。记数学笔记,特别是对概念理解的不同侧面和数学规律,教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题,以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 要建立数学纠错本。把*时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再 犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 五、必修四数学学*技巧 首先:课前复*。就是上课前花两三分钟把书本本节课要学的内容看一遍。仅仅是看一遍,过一遍。这样上课老师讲自己不但可以跟上老师节奏还可以再次巩固。其余不要干其他多余的事。 其次:上课时候一定要专心听讲,如果觉得老师这里讲得都懂了的话可以自己翻书看后面的内容。做*题的时候一定要一道一道往过做,不要越题做。因为对于课本来说这些都是基础,只有基础完全掌握后才能做难题。上课过程中第一次接触到的知识点概念等,一定一定要当堂背过。不然以后很难背过,不要妄想考前抱佛教再背 另外要把笔记记准确,知道自己需要记什么不需要记什么,憋一个劲地往书上搬。字不要求整齐,自己能看懂就行。课本资料书上有例题,多看多记方法。先看课本基础,在看资料书上着重的。例题的方法一定一定要理解,不要去背!接着下课再看笔记,只是略微巩固记住。 复数的概念: 形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。 复数的表示: 复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a叫复数的实部,b叫复数的虚部。 复数的几何意义: (1)复*面、实轴、虚轴: 点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的*面叫做复*面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义:复数集C和复*面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 这是因为,每一个复数有复*面内惟一的一个点和它对应;反过来,复*面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法。 复数的模: 复数z=a+bi(a、b∈R)在复*面上对应的点Z(a,b)到原点的距离叫复数的模,记为|Z|,即|Z|= 虚数单位i: (1)它的*方等于—1,即i2=—1; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与—1的关系:i就是—1的一个*方根,即方程x2=—1的一个根,方程x2=—1的另一个根是—i。 (4)i的周期性:i4n+1=i,i4n+2=—1,i4n+3=—i,i4n=1。 复数模的性质: 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系: 对于复数a+bi(a、b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。 两个复数相等的定义: 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即:如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di a=c,b=d。特殊地,a,b∈R时,a+bi=0 a=0,b=0。 复数相等的充要条件,提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。 复数相等特别提醒: 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如果两个复数都是实数,就可以比较大小,也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 解复数相等问题的方法步骤: (1)把给的复数化成复数的标准形式; (2)根据复数相等的充要条件解之。 数学学*技巧 1、做好预*: 单元预*时粗读,了解*阶段的学*内容,课时预*时细读,注重知识的形成过程,对难以理解的概念、公式和法则等要做好记录,以便带着问题听课。 2、认真听课: 听课应包括听、思、记三个方面。听,听知识形成的来龙去脉,听重点和难点,听例题的解法和要求。思,一是要善于联想、类比和归纳,二是要敢于质疑,提出问题。记,指课堂笔记——记方法,记疑点,记要求,记注意点。 3、认真解题: 课堂练*是最及时最直接的反馈,一定不能错过。不要急于完成作业,要先看看你的笔记本,回顾学*内容,加深理解,强化记忆。 4、及时纠错: 课堂练*、作业、检测,反馈后要及时查阅,分析错题的原因,必要时强化相关计算的训练。不明白的问题要及时向同学和老师请教了,不能将问题处于悬而未解的.状态,养成今日事今日毕的好*惯。 数学中的合数是什么意思? 合数的概念 合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数,而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是4。其中,完全数与相亲数是以它为基础的。 什么是质数 质数又称素数,有无限个。一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。 根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。 质数和合数应用 1、质数与密码学:所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数,编码之后传送给收信人,任何人收到此信息后,若没有此收信人所拥有的密钥,则解密的过程中(实为寻找素数的过程),将会因为找质数的过程(分解质因数)过久,使即使取得信息也会无意义。 2、质数与变速箱:在汽车变速箱齿轮的设计上,相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数,以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数,可增强耐用度减少故障。 初等函数是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算及有限次函数复合所产生,并且能用一个解析式表示的函数。非初等函数是指凡不是初等函数的函数。 初等函数是最常用的一类函数,包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(以上是基本初等函数),以及由这些函数经过有限次四则运算或函数的复合而得的所有函数。即基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的函数复合所构成并可以用一个解析式表出的函数,称为初等函数。 非初等函数的研究与发展是*现代数学的重大成就之一,极大拓展了数学在各个领域的应用,在概率论、物理学科各个分支中等有十分广泛的.应用。是函数的一个重要的分支。一般说来,大部分分段函数不是初等函数。如符号函数,狄利克雷函数,gamma函数,误差函数,Weierstrass函数。但是个别分段函数除外。 1、指数函数:函数y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数 a的取值a>1 0 定义域x∈R x∈R 值域y∈(0,+∞) y∈(0,+∞) 单调性全定义域单调递增全定义域单调递减 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 过定点(0,1) (0,1) 注意:⑴由函数的单调性可以看出,在闭区间[a,b]上,指数函数的最值为: a>1时,最小值f(a),最大值f(b);0 ⑵对于任意指数函数y=ax (a>0且a≠1),都有f(1)=a。 2、对数函数:函数y=logax(a>0且a≠1)),叫做对数函数 a的取值a>1 0 定义域x∈(0,+∞) x∈(0,+∞) 值域y∈R y∈R 单调性全定义域单调递全定义域单调递减 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 过定点(1,0) (1,0) 3、幂函数:函数y=xa(a∈R),高中阶段,幂函数只研究第I象限的情况。 ⑴所有幂函数都在(0,+∞)区间内有定义,而且过定点(1,1)。 ⑵a>0时,幂函数图像过原点,且在(0,+∞)区间为增函数,a越大,图像坡度越大。 ⑶a<0时,幂函数在(0,+∞)区间为减函数。 当x从右侧无限接*原点时,图像无限接*y轴正半轴; 当y无限接*正无穷时,图像无限接*x轴正半轴。 幂函数总图见下页。 4、反函数:将原函数y=f(x)的x和y互换即得其反函数x=f-1(y)。 反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。 数学函数的奇偶性知识点 1、函数的奇偶性的定义:对于函数f(x),如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数). 正确理解奇函数和偶函数的定义,要注意两点:(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质). 2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性,有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。 学数学的用处 第一,实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。就大多数情况来看,不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动,能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。 第二,数学可以使你的大脑变得更加聪明,增加你思维的严谨性,另外,数学对你其它科目的学*也有很大作用。 第三,数学无处不在,工作学*中都用得着,例如日常逛街买东西都是和数学有关的,这时候才能体会到学*数学的好处。 解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 数列 (1)数列的概念和简单表示法 ①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). ②了解数列是自变量为正整数的一类函数. (2)等差数列、等比数列 ①理解等差数列、等比数列的概念. ②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式. ③能在具体的问题情境中,识别数列的.等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. ④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系. 一)两角和差公式(写的都要记) sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA? cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 二)用以上公式可推出下列二倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2 (上面这个余弦的很重要) sin2A=2sinA_osA 三)半角的只需记住这个: tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 四)用二倍角中的余弦可推出降幂公式 (sinA)^2=(1-cos2A)/2 (cosA)^2=(1+cos2A)/2 五)用以上降幂公式可推出以下常用的化简公式 1-cosA=sin^(A/2)_ 1-sinA=cos^(A/2)_ a(1)=a,a(n)为公差为r的等差数列 通项公式: a(n)=a(n-1)+r=a(n-2)+2r=...=a[n-(n-1)]+(n-1)r=a(1)+(n-1)r=a+(n-1)r. 可用归纳法证明。 n=1时,a(1)=a+(1-1)r=a。成立。 假设n=k时,等差数列的通项公式成立。a(k)=a+(k-1)r 则,n=k+1时,a(k+1)=a(k)+r=a+(k-1)r+r=a+[(k+1)-1]r. 通项公式也成立。 因此,由归纳法知,等差数列的通项公式是正确的。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+(a+r)+...+[a+(n-1)r] =na+r[1+2+...+(n-1)] =na+n(n-1)r/2 同样,可用归纳法证明求和公式。 a(1)=a,a(n)为公比为r(r不等于0)的等比数列 通项公式: a(n)=a(n-1)r=a(n-2)r^2=...=a[n-(n-1)]r^(n-1)=a(1)r^(n-1)=ar^(n-1). 可用归纳法证明等比数列的通项公式。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+ar+...+ar^(n-1) =a[1+r+...+r^(n-1)] r不等于1时, S(n)=a[1-r^n]/[1-r] r=1时, S(n)=na. 同样,可用归纳法证明求和公式。 必修四数学学*方法 掌握数学学*实践阶段:在高中数学学*过程中,我们需要使用正确的学*方法,以及科学合理的学*规则。先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法,曾经说过,尤其是高阶段的数学学*数学,必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。与教学内容的第一周甚至是从基础开始,一周后的头几天,在教学难以提升。以及提升的困难进步一步一步,最好不要去追求所谓的“困难”除了(感兴趣),不利于解决问题方法掌握连续性。同时,根据时间和课程安排的`长度适当的审查,只有这样才能记住和使用在长期学*数学知识,不要忘记前面的学*。 必修四数学学*技巧 重视改错错不重犯。 一定要重视改错的这份工作,做到错不再犯。初中数学教学中采用的方法是告诉学生所有可能的错误,只要有一个人犯了错误,就应该提出,以便所有的学生都能从中吸取教训。这叫“一人有病,全体吃药。” 高中数学课没有那么多时间,除了一小部分那几种典型错,其它错误,不能一一顾及。只能谁有病,谁吃药。如果学生“生病”而忘了吃药,那么没有人会一次又一次地提醒他要注意什么。如果能及时改错,那么错误就可能转变为财富,成为预防针。但是,如果不能及时改错,这个错误就将形成一处“地雷”,迟早要惹祸。 有的学生认为,自己考试成绩上不去,是因为太粗心。其实,原因并非如此。打一个比方。比如说,学*开汽车。右脚下面,往左踩,是踩刹车。往右踩,是踩油门。其机械原理,设计原因,操作规程都可以讲的清清楚楚。如果初学驾驶的人真正掌握了这一套,请问,可以同意他开车上路吗?恐怕他知道他还缺乏练*。一两次你能正确地完成任务,但这并不意味着你永远不会犯错误。练*的数量不够,才是学生出错的真正原因。大家一定要看到,如果自己的基础知识漏洞百出、隐患无穷,那么,今后的数学将是难以学好的。 一、夯实数学基础的方法 首先课堂紧跟老师,认真听每一节课,记好课堂笔记,有些学生喜欢自己课后自学,课堂不爱听讲,这是极错误的,因为老师对于高考的了解和对知识的掌握,远远胜过我们自学,紧跟老师是打好基础最关键的一步。 对课本基础知识的学*,我们强烈建议大家使用思维导图,可以把课本上的知识都画成树状层,这样更容易理解、记忆,这样知识点不再是孤立而是成了一个网,这比光看书效果要好很多很多。 二、数学正确的'做题方法 想学好数学,大量做题确实很有必要,但你真的会做题吗?多数同学虽然也做了大量的题目,但成绩还是不好,核心原因就是做题忽略了最重要的一步,那就是总结反思。每做完一道题目,大家还需要总结一下,问一下自己下面这些问题:它考查了哪些知识、自己有没有掌握、题目的解题思路在哪里、突破口是什么、属于哪种题型、此类题型有什么共同的套路、此类题型应该用什么方法来解答。只有多问自己几个为什么,你才能真正吃透一道题,达到做一道题会一类题。 做题并不是越多越好,要知道题海战术只是手段,我们最终的目的还是通过做题加深对知识的理解,掌握解题套路,提高做题速度,如果做题不总结,你刷再多题效果也不会明显。 问题提出 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量,如果当一个变量的取值一定时,另一个变量的取值被惟一确定,则这两个变量之间的关系就是一个函数关系. 在中学校园里,有这样一种说法:“如果你的数学成绩好,那么你的物理学*就不会有什么大问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系,我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量,那么这两个变量之间的关系是函数关系吗? 我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少,学*兴趣、学*时间、教学水*等,也是影响物理成绩的一些因素,但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系,有必要从理论上作些探讨,如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计,将有着非常重要的现实意义. 知识探究(一):变量之间的相关关系 思考1:考察下列问题中两个变量之间的关系: (1)商品销售收入与广告支出经费; (2)粮食产量与施肥量; (3)人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗? 思考2:“名师出高徒”可以解释为教师的水*越高,学生的水*就越高,那么学生的学业成绩与教师的教学水*之间的关系是函数关系吗?你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗? 思考3:上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系,称之为相关关系,那么相关关系的含义如何? 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系. 1、球的体积和球的半径具有() A函数关系B相关关系 C不确定关系D无任何关系 2、下列两个变量之间的关系不是 函数关系的是() A角的度数和正弦值 B速度一定时,距离和时间的关系 C正方体的棱长和体积 D日照时间和水稻的亩产量AD练:知识探究(二):散点图 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本*均数. 思考1:对某一个人来说,他的体内脂肪含量不一定随年龄增长而增加或减少,但是如果把很多个体放在一起,就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据,大体上看,随着年龄的增加,人体脂肪含量怎样变化? 思考2:为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系,我们需要对数据进行分析,通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含量,你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗? 思考3:上图叫做散点图,你能描述一下散点图的含义吗? 在*面直角坐标系中,表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形,称为散点图. 思考4:观察散点图的大致趋势,人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系? 思考5:在上面的散点图中,这些点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.一般地,如果两个变量成正相关,那么这两个变量的变化趋势如何? 思考6:如果两个变量成负相关,从整体上看这两个变量的变化趋势如何?其散点图有什么特点? 一个变量随另一个变量的变大而变小,散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 一般情况下两个变量之间的'相关关系成正相关或负相关,类似于函数的单调性. 知识探究(一):回归直线 思考1:一组样本数据的*均数是样本数据的中心,那么散点图中样本点的中心如何确定?它一定是散点图中的点吗? 思考2:在各种各样的散点图中,有些散点图中的点是杂乱分布的,有些散点图中的点的分布有一定的规律性,年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点? 这些点大致分布在一条直线附*. 思考3:如果散点图中的点的分布,从整体上看大致在一条直线附*,则称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.对具有线性相关关系的两个变量,其回归直线一定通过样本点的中心吗? 思考4:对一组具有线性相关关系的样本数据,你认为其回归直线是一条还是几条? 思考5:在样本数据的散点图中,能否用直尺准确画出回归直线?借助计算机怎样画出回归直线? 知识探究(二):回归方程 在直角坐标系中,任何一条直线都有相应的方程,回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据,如果能够求出它的回归方程,那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系,并根据回归方程对总体进行估计. 思考1:回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系? 整体上最接* 思考2:对于求回归直线方程,你有哪些想法? 思考4:为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接*程度,你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适%某小卖部为了了解热茶销售量与气温 之间的关系,随机统计并制作了某6天 卖出热茶的杯数与当天气温的对照表: 如果某天的气温是-50C,你能根据这些 数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗? 实例探究 为了了解热茶销量与 气温的大致关系,我们 以横坐标x表示气温, 纵坐标y表示热茶销量, 建立直角坐标系.将表 中数据构成的6个数对 表示的点在坐标系内 标出,得到下图。 你发现这些点有什么规律? 今后我们称这样的图为散点图(scatterplot). 建构数学 所以,我们用类似于估计*均数时的 思想,考虑离差的*方和 当x=-5时,热茶销量约为66杯 线性回归方程: 一般地,设有n个观察数据如下:当a,b使三点(3,10),(7,20),(11,24)的 线性回归方程是() 二、求线性回归方程 例2:观察两相关变量得如下表: 求两变量间的回归方程解1:列表: 阅读课本P73例1 EXCEL作散点图 利用线性回归方程解题步骤: 1、先画出所给数据对应的散点图; 2、观察散点,如果在一条直线附*,则说明所给量具有线性相关关系 3、根据公式求出线性回归方程,并解决其他问题。 (1)如果x=3,e=1,分别求两个模型中y的值;(2)分别说明以上两个模型是确定性 模型还是随机模型. 模型1:y=6+4x;模型2:y=6+4x+ 解(1)模型1:y=6+4x=6+4×3=18; 模型2:y=6+4x+e=6+4×3+线性相关与线性回归方程小结1、变量间相关关系的散点图 2、如何利用“最小二乘法”思想求直线的回归方程 3、学会用回归思想考察现实生活中变量之间的相关关系 数学必修四知识点菁选(扩展4) ——高一数学必修一知识点总结归纳 (菁华6篇) 知识点1、集合与元素 一个东西是集合还是元素并不是绝对的,很多情况下是相对的,集合是由元素组成的集合,元素是组成集合的元素。例如:你所在的班级是一个集合,是由几十个和你同龄的同学组成的集合,你相对于这个班级集合来说,是它的一个元素;而整个学校又是由许许多多个班级组成的集合,你所在的班级只是其中的一分子,是一个元素。班级相对于你是集合,相对于学校是元素,参照物不同,得到的结论也不同,可见,是集合还是元素,并不是绝对的 知识点2、解集合问题的关键 解集合问题的关键:弄清集合是由哪些元素所构成的,也就是将抽象问题具体化、形象化,将特征性质描述法表示的集合用列举法来表示,或用韦恩图来表示抽象的集合,或用图形来表示集合,比如用数轴来表示集合,或是集合的元素为有序实数对时,可用*面直角坐标系中的图形表示相关的集合等 反比例函数 形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数,叫做反比例函数。 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数图像性质: 反比例函数的图像为双曲线。 由于反比例函数属于奇函数,有f(—x)=—f(x),图像关于原点对称。 另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为∣k∣。 上面给出了k分别为正和负(2和—2)时的函数图像。 当K>0时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数 当K<0时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数 反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。 知识点: 1、过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。 2、对于双曲线y=k/x,若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±m)m为常数),就相当于将双曲线图象向左或右*移一个单位。(加一个数时向左*移,减一个数时向右*移) 1、二次函数y=ax^2,y=a(x—h)^2,y=a(x—h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式 顶点坐标 对称轴 y=ax^2 (0,0) x=0 y=a(x—h)^2 (h,0) x=h y=a(x—h)^2+k (h,k) x=h y=ax^2+bx+c (—b/2a,[4ac—b^2]/4a) x=—b/2a 当h>0时,y=a(x—h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位得到, 当h<0时,则向左*行移动|h|个单位得到。 当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x—h)^2+k的图象; 当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x—h)^2+k的图象; 当h<0,k>0时,将抛物线向左*行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x—h)^2+k的图象; 当h<0,k<0时,将抛物线向左*行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x—h)^2+k的图象; 因此,研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x—h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大**置就很清楚了。这给画图象提供了方便。 2、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=—b/2a,顶点坐标是(—b/2a,[4ac—b^2]/4a)。 3、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤—b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥—b/2a时,y随x的增大而增大。若a<0,当x≤—b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥—b/2a时,y随x的增大而减小。 4、抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点: (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c); (2)当△=b^2—4ac>0,图象与x轴交于两点A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)的两根。这两点间的距离AB=|x?—x?| 当△=0。图象与x轴只有一个交点; 当△<0。图象与x轴没有交点。当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0。 5、抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x=—b/2a时,y最小(大)值=(4ac—b^2)/4a。 顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值。 6、用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式: y=ax^2+bx+c(a≠0)。 (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x—h)^2+k(a≠0)。 (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x—x?)(x—x?)(a≠0)。 7、二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现。 对数函数 对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。 右图给出对于不同大小a所表示的函数图形: 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。 (1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。 (2)对数函数的`值域为全部实数集合。 (3)函数总是通过(1,0)这点。 (4)a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹。 (5)显然对数函数。 指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数(exponential),其中x是自变量,函数的定义域为R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质 【函数的应用】 1、函数零点的概念:对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即: 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法: 求函数的零点: 1(代数法)求方程的实数根; 2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数. 1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点. 2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点. 1、二次函数y=ax^2,y=a(x—h)^2,y=a(x—h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表: 解析式 顶点坐标 对称轴 y=ax^2 (0,0) x=0 y=a(x—h)^2 (h,0) x=h y=a(x—h)^2+k (h,k) x=h y=ax^2+bx+c (—b/2a,[4ac—b^2]/4a) x=—b/2a 当h>0时,y=a(x—h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位得到, 当h<0时,则向左*行移动|h|个单位得到。 当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x—h)^2+k的图象; 当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右*行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x—h)^2+k的图象; 当h<0,k>0时,将抛物线向左*行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x—h)^2+k的图象; 当h<0,k<0时,将抛物线向左*行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x—h)^2+k的图象; 因此,研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x—h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大**置就很清楚了。这给画图象提供了方便。 2、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=—b/2a,顶点坐标是(—b/2a,[4ac—b^2]/4a)。 3、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤—b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥—b/2a时,y随x的增大而增大。若a<0,当x≤—b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥—b/2a时,y随x的增大而减小。 4、抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点: (1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c); (2)当△=b^2—4ac>0,图象与x轴交于两点A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)的两根。这两点间的距离AB=|x?—x?| 当△=0。图象与x轴只有一个交点; 当△<0。图象与x轴没有交点。当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0。 5、抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x=—b/2a时,y最小(大)值=(4ac—b^2)/4a。 顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值。 6、用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式: y=ax^2+bx+c(a≠0)。 数学必修四知识点菁选(扩展5) ——数学必修四知识点通用10篇 一、夯实数学基础的方法 首先课堂紧跟老师,认真听每一节课,记好课堂笔记,有些学生喜欢自己课后自学,课堂不爱听讲,这是极错误的,因为老师对于高考的了解和对知识的掌握,远远胜过我们自学,紧跟老师是打好基础最关键的一步。 对课本基础知识的学*,我们强烈建议大家使用思维导图,可以把课本上的知识都画成树状层,这样更容易理解、记忆,这样知识点不再是孤立而是成了一个网,这比光看书效果要好很多很多。 二、数学正确的做题方法 想学好数学,大量做题确实很有必要,但你真的会做题吗?多数同学虽然也做了大量的题目,但成绩还是不好,核心原因就是做题忽略了最重要的一步,那就是总结反思。每做完一道题目,大家还需要总结一下,问一下自己下面这些问题:它考查了哪些知识、自己有没有掌握、题目的解题思路在哪里、突破口是什么、属于哪种题型、此类题型有什么共同的.套路、此类题型应该用什么方法来解答。只有多问自己几个为什么,你才能真正吃透一道题,达到做一道题会一类题。 做题并不是越多越好,要知道题海战术只是手段,我们最终的目的还是通过做题加深对知识的理解,掌握解题套路,提高做题速度,如果做题不总结,你刷再多题效果也不会明显。 一1.正弦、余弦公式的逆向思维 对于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)这样的形式,运用逆向思维,化解为: cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α) 2.正切公式的逆向思维。 比如,由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)] 可得: tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)] [1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β) tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β) 3.二倍角公式的灵活转化 比如:1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α) =[sin(α)+cos(α)]2 cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)] cos2(α)=[1+cos(2α)]/2 sin2(α)=[1-cos(2α)]/2 1+cos(α)=2cos2(α/2) 1-cos(α)=2sin2(α/2) sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α) sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α) 4.两角和差正弦、余弦公式的相加减、相比。 比如: sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)……1 sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)……2 1式+2式,得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin(α)cos(β) 1式-2式,得到 sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β) 1式比2式,得到 sin(α+β)/sin(α-β)=[sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)]/ [sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)] =[tαn(α)+tαn(β)] / [tαn(α)-tαn(β)] 我们来看两道例题,增加印象。 1.已知cos(α)=1/7,cos(α-β)=13/14,且0<β<α<π/2,求β 本题中,α-β∈(0,π/2) sin(α)=4√3/7 sin(α-β)=3√3/14 cos(β)=cos[α-(α-β)]=cos(α)cos(α-β)+sin(α)sin(α-β) =1/2 β=π/3 2.已知3sin2(α)+2sin2(β)=1,3sin(2α)-2sin(2β)=0,且α,β都是锐角。求α+2β 由3sin2(α)+2sin2(β)=1得到: 1-2sin2(β)=cos(2β)=3sin2(α) 由3sin(2α)-2sin(2β)=0得到: sin(2β)=3sin(2α)/2 cos(α+2β)=cos(α)cos(2β)-sin(α)sin(2β) =cos(α)3sin2(α)-sin(α)3sin(2α)/2 =3sin2(α)cos(α)-3cos(α)sin2(α) =0 加之0<α+2β<270o α+2β=90o 二轨迹知识点 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹. 轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性). 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系,设出动点M的坐标; ⒉写出点M的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验。 求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的'关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 _直译法:求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系; ②设点——设轨迹上的任一点P(x,y); ③列式——列出动点p所满足的关系式; ④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简; ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 学好数学窍门是什么 文科中的科目大部分都是需要理解记忆的,数学其实也是如此,只不过是需要理解做题,勤加锻炼自己的思维能力,面对数学题的时候,从多方面的去思考,数学学没学好其实也体现在每次考试的成绩上,有一些同学*时会觉得自己成绩不错,但是到了考试,成绩并不是很好,这一部分原因是由于你的基础知识不扎实,还是一部分原因是由于你在面对考试的时候,心态差。 魏德武速算 1,加法速算:计算任意位数的加法速算,方法很简单学*者只要熟记一种加法速算通用口诀 ——“本位相加(针对进位数) 减加补,前位相加多加一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的加法速算方法,比如:(1)67+48=(6+5)×10+(7-2)=115(2)758+496=(7+5)×100+(5-0)×10+8-4=1254即可。 2,减法速算:计算任意位数的减法速算方法也同样是用一种减法速算通用口诀 ——“本位相减(针对借位数) 加减补,前位相减多减一 ”就可以彻底解决任意位数从高位数到低位数的减法速算方法,比如:(1),67-48=(6-5)×10+(7+2)=19,(2),758-496=(7-5)×100+(5+1)×10+8-6=262即可。 3,乘法速算:魏氏乘法速算通用公式:ab×cd=(a+1)×c×100+b×d+魏氏速算嬗数×10。 一】 a(1)=a,a(n)为公差为r的等差数列 通项公式: a(n)=a(n―1)+r=a(n―2)+2r=...=a[n―(n―1)]+(n―1)r=a(1)+(n―1)r=a+(n―1)r。 可用归纳法证明。 n=1时,a(1)=a+(1―1)r=a。成立。 假设n=k时,等差数列的通项公式成立。a(k)=a+(k―1)r 则,n=k+1时,a(k+1)=a(k)+r=a+(k―1)r+r=a+[(k+1)―1]r。 通项公式也成立。 因此,由归纳法知,等差数列的通项公式是正确的。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+(a+r)+...+[a+(n―1)r] =na+r[1+2+...+(n―1)] =na+n(n―1)r/2 同样,可用归纳法证明求和公式。 a(1)=a,a(n)为公比为r(r不等于0)的等比数列 通项公式: a(n)=a(n―1)r=a(n―2)r^2=...=a[n―(n―1)]r^(n―1)=a(1)r^(n―1)=ar^(n―1)。 可用归纳法证明等比数列的通项公式。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+ar+...+ar^(n―1) =a[1+r+...+r^(n―1)] r不等于1时, S(n)=a[1―r^n]/[1―r] r=1时, S(n)=na。 同样,可用归纳法证明求和公式。 二】 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹。 轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系,设出动点M的坐标; ⒉写出点M的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验。 二、求动点的轨迹方程的.常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 译法:求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系――建立适当的坐标系; ②设点――设轨迹上的任一点P(x,y); ③列式――列出动点p所满足的关系式; ④代换――依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简; ⑤证明――证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 高考数学必修四学*方法 1、先看笔记后做作业。 有的同学感到,老师讲过的,自己已经听得明明白白了。但是为什么你这么做有那么多困难呢?原因是学生对教师所说的理解没有达到教师要求的水*。 因此,每天做作业之前,我们必须先看一下课本的相关内容和当天的课堂笔记。能否如此坚持,常常是好学生与差学生的最大区别。尤其是当练*不匹配时,老师通常没有刚刚讲过的练*类型,因此它们不能被比较和消化。如果你不重视这个实施,在很长一段时间内,会造成很大的损失。 2、做题之后加强反思。 学生一定要明确,现在正做着的题,一定不是考试的题目。但使用现在做主题的解决问题的思路和方法。因此,我们应该反思我们所做的每一个问题,并总结我们自己的收获。 要总结出:这是一道什么内容的题,用的是什么方法。做到知识成片,问题成串。日复一日,建立科学的网络系统的内容和方法。俗话说:有钱难买回头看。做完作业,回头细看,价值极大。这一回顾,是学*过程中一个非常重要的环节。 高考数学必修四学*技巧 1、科学的预*方法 预*中发现的难点,就是听课的重点;对预*中遇到的没有掌握好的有关的旧知识,可进行补缺,以减听课过程中的困难;有助于提高思维能力,预*后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水*;预*后将课本的例题及老师要讲授的*题提前完成,还可以培养自己的自学能力,与老师的方法进行比较,可以发现更多的方法与技巧。总之,这样会使你的听课更加有的放矢,你会知道哪些该重点听,哪些该重点记。 2、科学的听课方式 听课的过程不是一个被动参预的过程,要全身心地投入课堂学*,耳到、眼到、心到、口到、手到。还要想在老师前面,不断思考:面对这个问题我会怎么想?当老师讲解时,又要思考:老师为什么这样想?这里用了什么思想方法?这样做的目的是什么?这个题有没有更好的方法?问题多了,思路自然就开阔了。 3、科学的记录笔记 记问题――将课堂上未听懂的问题及时记下来,便于课后请教同学或老师,把问题弄懂弄通。 记疑点――对老师在课堂上讲的内容有疑问应及时记下,这类疑点,有可能是自己理解错造成的,也有可能是老师讲课疏忽大意造成的,记下来后,便于课后与老师商榷。 记方法――勤记老师讲的解题技巧、思路及方法,这对于启迪思维,开阔视野,开发智力,培养能力,并对提高解题水*大有益处。 记总结――注意记住老师的课后总结,这对于浓缩一堂课的内容,找出重点及各部分之间的联系,掌握基本概念、公式、定理,寻找存在问题、找到规律,融会贯通课堂内容都很有作用。 复数的概念: 形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。 复数的表示: 复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a叫复数的实部,b叫复数的虚部。 复数的几何意义: (1)复*面、实轴、虚轴: 点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的*面叫做复*面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义:复数集C和复*面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 这是因为,每一个复数有复*面内惟一的一个点和它对应;反过来,复*面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法。 复数的模: 复数z=a+bi(a、b∈R)在复*面上对应的点Z(a,b)到原点的距离叫复数的模,记为|Z|,即|Z|= 虚数单位i: (1)它的*方等于-1,即i2=-1; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与-1的关系:i就是-1的一个*方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是-i。 (4)i的周期性:i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1。 复数模的性质: 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系: 对于复数a+bi(a、b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。 两个复数相等的定义: 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即:如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di a=c,b=d。特殊地,a,b∈R时,a+bi=0 a=0,b=0. 复数相等的充要条件,提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。 复数相等特别提醒: 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如果两个复数都是实数,就可以比较大小,也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 解复数相等问题的方法步骤: (1)把给的复数化成复数的标准形式; (2)根据复数相等的充要条件解之。 数学学*技巧 1、做好预*: 单元预*时粗读,了解*阶段的学*内容,课时预*时细读,注重知识的形成过程,对难以理解的概念、公式和法则等要做好记录,以便带着问题听课。 2、认真听课: 听课应包括听、思、记三个方面。听,听知识形成的来龙去脉,听重点和难点,听例题的解法和要求。思,一是要善于联想、类比和归纳,二是要敢于质疑,提出问题。记,指课堂笔记——记方法,记疑点,记要求,记注意点。 3、认真解题: 课堂练*是最及时最直接的反馈,一定不能错过。不要急于完成作业,要先看看你的笔记本,回顾学*内容,加深理解,强化记忆。 4、及时纠错: 课堂练*、作业、检测,反馈后要及时查阅,分析错题的原因,必要时强化相关计算的训练。不明白的问题要及时向同学和老师请教了,不能将问题处于悬而未解的状态,养成今日事今日毕的好*惯。 数学中的合数是什么意思? 合数的概念 合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数,而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是4。其中,完全数与相亲数是以它为基础的。 什么是质数 质数又称素数,有无限个。一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。 根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。 质数和合数应用 1、质数与密码学:所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数,编码之后传送给收信人,任何人收到此信息后,若没有此收信人所拥有的密钥,则解密的过程中(实为寻找素数的过程),将会因为找质数的过程(分解质因数)过久,使即使取得信息也会无意义。 2、质数与变速箱:在汽车变速箱齿轮的设计上,相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数,以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数,可增强耐用度减少故障。 复数的概念: 形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示。 复数的表示: 复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a叫复数的实部,b叫复数的虚部。 复数的几何意义: (1)复*面、实轴、虚轴: 点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的*面叫做复*面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义:复数集C和复*面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即 这是因为,每一个复数有复*面内惟一的一个点和它对应;反过来,复*面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义,也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法。 复数的模: 复数z=a+bi(a、b∈R)在复*面上对应的点Z(a,b)到原点的距离叫复数的模,记为|Z|,即|Z|= 虚数单位i: (1)它的*方等于—1,即i2=—1; (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与—1的关系:i就是—1的一个*方根,即方程x2=—1的一个根,方程x2=—1的另一个根是—i。 (4)i的周期性:i4n+1=i,i4n+2=—1,i4n+3=—i,i4n=1。 复数模的性质: 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系: 对于复数a+bi(a、b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0。 两个复数相等的定义: 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即:如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di a=c,b=d。特殊地,a,b∈R时,a+bi=0 a=0,b=0。 复数相等的充要条件,提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。 复数相等特别提醒: 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如果两个复数都是实数,就可以比较大小,也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 解复数相等问题的方法步骤: (1)把给的复数化成复数的标准形式; (2)根据复数相等的充要条件解之。 数学学*技巧 1、做好预*: 单元预*时粗读,了解*阶段的学*内容,课时预*时细读,注重知识的形成过程,对难以理解的`概念、公式和法则等要做好记录,以便带着问题听课。 2、认真听课: 听课应包括听、思、记三个方面。听,听知识形成的来龙去脉,听重点和难点,听例题的解法和要求。思,一是要善于联想、类比和归纳,二是要敢于质疑,提出问题。记,指课堂笔记——记方法,记疑点,记要求,记注意点。 3、认真解题: 课堂练*是最及时最直接的反馈,一定不能错过。不要急于完成作业,要先看看你的笔记本,回顾学*内容,加深理解,强化记忆。 4、及时纠错: 课堂练*、作业、检测,反馈后要及时查阅,分析错题的原因,必要时强化相关计算的训练。不明白的问题要及时向同学和老师请教了,不能将问题处于悬而未解的状态,养成今日事今日毕的好*惯。 数学中的合数是什么意思? 合数的概念 合数指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数,而1既不属于质dao数也不属于合数。最小的合数是4。其中,完全数与相亲数是以它为基础的。 什么是质数 质数又称素数,有无限个。一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。 根据算术基本定理,每一个比1大的整数,要么本身是一个质数,要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序,那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。 质数和合数应用 1、质数与密码学:所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数,编码之后传送给收信人,任何人收到此信息后,若没有此收信人所拥有的密钥,则解密的过程中(实为寻找素数的过程),将会因为找质数的过程(分解质因数)过久,使即使取得信息也会无意义。 2、质数与变速箱:在汽车变速箱齿轮的设计上,相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数,以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数,可增强耐用度减少故障。 一1.正弦、余弦公式的逆向思维 对于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)这样的形式,运用逆向思维,化解为: cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α) 2.正切公式的逆向思维。 比如,由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)] 可得: tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)] [1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β) tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β) 3.二倍角公式的灵活转化 比如:1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α) =[sin(α)+cos(α)]2 cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)] cos2(α)=[1+cos(2α)]/2 sin2(α)=[1-cos(2α)]/2 1+cos(α)=2cos2(α/2) 1-cos(α)=2sin2(α/2) sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α) sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α) 4.两角和差正弦、余弦公式的相加减、相比。 比如: sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)……1 sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)……2 1式+2式,得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin(α)cos(β) 1式-2式,得到 sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β) 1式比2式,得到 sin(α+β)/sin(α-β)=[sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)]/ [sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)] =[tαn(α)+tαn(β)] / [tαn(α)-tαn(β)] 我们来看两道例题,增加印象。 1.已知cos(α)=1/7,cos(α-β)=13/14,且0<β<α<π/2,求β 本题中,α-β∈(0,π/2) sin(α)=4√3/7 sin(α-β)=3√3/14 cos(β)=cos[α-(α-β)]=cos(α)cos(α-β)+sin(α)sin(α-β) =1/2 数学必修四知识点菁选(扩展6) ——数学必修一知识点(十)份 一】 a(1)=a,a(n)为公差为r的等差数列 通项公式: a(n)=a(n—1)+r=a(n—2)+2r=...=a[n—(n—1)]+(n—1)r=a(1)+(n—1)r=a+(n—1)r。 可用归纳法证明。 n=1时,a(1)=a+(1—1)r=a。成立。 假设n=k时,等差数列的通项公式成立。a(k)=a+(k—1)r 则,n=k+1时,a(k+1)=a(k)+r=a+(k—1)r+r=a+[(k+1)—1]r。 通项公式也成立。 因此,由归纳法知,等差数列的通项公式是正确的。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+(a+r)+...+[a+(n—1)r] =na+r[1+2+...+(n—1)] =na+n(n—1)r/2 同样,可用归纳法证明求和公式。 a(1)=a,a(n)为公比为r(r不等于0)的等比数列 通项公式: a(n)=a(n—1)r=a(n—2)r^2=...=a[n—(n—1)]r^(n—1)=a(1)r^(n—1)=ar^(n—1)。 可用归纳法证明等比数列的通项公式。 求和公式: S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n) =a+ar+...+ar^(n—1) =a[1+r+...+r^(n—1)] r不等于1时, S(n)=a[1—r^n]/[1—r] r=1时, S(n)=na。 同样,可用归纳法证明求和公式。 二】 符合一定条件的动点所形成的图形,或者说,符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹。 轨迹,包含两个方面的问题:凡在轨迹上的点都符合给定的条件,这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件,也就是符合给定条件的点必在轨迹上,这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。 【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系,设出动点M的坐标; ⒉写出点M的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验。 二、求动点的轨迹方程的常用方法:求轨迹方程的方法有多种,常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法:直接将条件翻译成等式,整理化简后即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可利用曲线的定义写出方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法:当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时,往往先寻找x、y与某一变数t的关系,得再消去参变数t,得到方程,即为动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法:将两动曲线方程中的参数消去,得到不含参数的方程,即为两动曲线交点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 译法:求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系; ②设点——设轨迹上的任一点P(x,y); ③列式——列出动点p所满足的关系式; ④代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式,并化简; ⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 高考数学必修四学*方法 1、先看笔记后做作业。 有的同学感到,老师讲过的,自己已经听得明明白白了。但是为什么你这么做有那么多困难呢?原因是学生对教师所说的理解没有达到教师要求的水*。 因此,每天做作业之前,我们必须先看一下课本的相关内容和当天的课堂笔记。能否如此坚持,常常是好学生与差学生的最大区别。尤其是当练*不匹配时,老师通常没有刚刚讲过的练*类型,因此它们不能被比较和消化。如果你不重视这个实施,在很长一段时间内,会造成很大的损失。 2、做题之后加强反思。 学生一定要明确,现在正做着的题,一定不是考试的题目。但使用现在做主题的解决问题的思路和方法。因此,我们应该反思我们所做的每一个问题,并总结我们自己的收获。 要总结出:这是一道什么内容的题,用的是什么方法。做到知识成片,问题成串。日复一日,建立科学的网络系统的内容和方法。俗话说:有钱难买回头看。做完作业,回头细看,价值极大。这一回顾,是学*过程中一个非常重要的环节。 高考数学必修四学*技巧 1、科学的预*方法 预*中发现的难点,就是听课的重点;对预*中遇到的没有掌握好的有关的旧知识,可进行补缺,以减听课过程中的困难;有助于提高思维能力,预*后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水*;预*后将课本的例题及老师要讲授的*题提前完成,还可以培养自己的自学能力,与老师的方法进行比较,可以发现更多的方法与技巧。总之,这样会使你的听课更加有的放矢,你会知道哪些该重点听,哪些该重点记。 2、科学的听课方式 听课的过程不是一个被动参预的过程,要全身心地投入课堂学*,耳到、眼到、心到、口到、手到。还要想在老师前面,不断思考:面对这个问题我会怎么想?当老师讲解时,又要思考:老师为什么这样想?这里用了什么思想方法?这样做的目的是什么?这个题有没有更好的方法?问题多了,思路自然就开阔了。 3、科学的记录笔记 记问题——将课堂上未听懂的问题及时记下来,便于课后请教同学或老师,把问题弄懂弄通。 记疑点——对老师在课堂上讲的内容有疑问应及时记下,这类疑点,有可能是自己理解错造成的,也有可能是老师讲课疏忽大意造成的,记下来后,便于课后与老师商榷。 记方法——勤记老师讲的解题技巧、思路及方法,这对于启迪思维,开阔视野,开发智力,培养能力,并对提高解题水*大有益处。 记总结——注意记住老师的课后总结,这对于浓缩一堂课的内容,找出重点及各部分之间的联系,掌握基本概念、公式、定理,寻找存在问题、找到规律,融会贯通课堂内容都很有作用。 知识点总结 本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学*函数的图象的基础,函数的图象是它们的综合。所以理解了前面的几个知识点,函数的图象就迎刃而解了。 一、函数的单调性 1、函数单调性的定义 2、函数单调性的判断和证明:(1)定义法 (2)复合函数分析法 (3)导数证明法 (4)图象法 二、函数的奇偶性和周期性 1、函数的奇偶性和周期性的定义 2、函数的奇偶性的判定和证明方法 3、函数的周期性的判定方法 三、函数的图象 1、函数图象的作法 (1)描点法 (2)图象变换法 2、图象变换包括图象:*移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。 常见考法 本节是段考和高考必不可少的考查内容,是段考和高考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答题都有,并且题目难度较大。在解答题中,它可以和高中数学的每一章联合考查,多属于拔高题。多考查函数的单调性、最值和图象等。 误区提醒 1、求函数的单调区间,必须先求函数的定义域,即遵循“函数问题定义域优先的原则”。 2、单调区间必须用区间来表示,不能用集合或不等式,单调区间一般写成开区间,不必考虑端点问题。 3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接,只能用逗号隔开。 4、判断函数的奇偶性,首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数。 5、作函数的图象,一般是首先化简解析式,然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。 函数简介 函数的定义通常分为传统定义和*代定义,函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而*代定义是从集合、映射的观点出发。 函数的*代定义是给定一个数集A,假设其中的元素为x,对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B,假设B中的元素为y,则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示。 函数概念含有三个要素:定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。 函数最早由中国清朝数学家李善兰翻译,出于其著作《代数学》。之所以这么翻译,他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,或者说一个量中包含另一个量。 一、一次函数定义与定义式: 自变量x和因变量y有如下关系: y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。数学必修四知识点1
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数学必修一知识点6篇物理必修一知识点 (菁选6篇)生物必修三知识点总结 (菁选6篇)生物必修二知识点总结 (菁选6篇)数学必修一知识点 50句菁华数学必修一知识点 40句菁华数学必修二知识点归纳 (菁华5篇)数学必修五知识点总结 (菁华5篇)数学必修一知识点 (菁华5篇)必修四政治知识点框架 (菁华3篇)数学必修四知识点 (菁华3篇)数学必修一必修二知识点总结 (菁华3篇)高中数学必修2知识点总结数学必修四知识点菁选数学必修四知识点菁选数学必修四知识点菁选数学必修四知识点通用10篇必修四数学知识点优选【10】篇数学必修一知识点(十)份数学必修二知识点归纳实用5份高一数学必修一知识点通用五篇必修四政治知识点总结优选【5】份数学必修一必修二知识点总结范本5份
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