日期：2022-03-07 04:09:18
第六章实数
【知识点一】实数的分类
1、按定义分类：
2、按性质符号分类：
注：0既不是正数也不是负数。
【知识点二】实数的相关概念
1、相反数
（1）代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数。0的相反数是0。
（2）几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称。
（3）互为相反数的两个数之和等于0。a、b互为相反数a+b=0。
2、绝对值|a|≥0。
3、倒数（1）0没有倒数（2）乘积是1的两个数互为倒数。a、b互为倒数。
4、*方根
（1）如果一个数的*方等于a，这个数就叫做a的*方根。一个正数有两个*方根，它们互为相反数；0有一个*方根，它是0本身；负数没有*方根。a（a≥0）的*方根记作。
（2）一个正数a的正的*方根，叫做a的算术*方根。a（a≥0）的算术*方根记作。
5、立方根
如果x3=a，那么x叫做a的立方根。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
【知识点三】实数与数轴
数轴定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可。
【知识点四】实数大小的比较
1、对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大。
2、正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小。
3、无理数的比较大小：
【知识点五】实数的运算
1、加法
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。
2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3、乘法
几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负。几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。
4、除法
除以一个数，等于乘上这个数的倒数。两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数都得0。
5、乘方与开方
（1）an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。
（2）正数和0可以开*方，负数不能开*方；正数、负数和0都可以开立方。
（3）零指数与负指数
【知识点六】有效数字和科学记数法
1、有效数字：
一个*似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个*似数的有效数字。
2、科学记数法：
把一个数用（1≤<10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法。
第七章*面直角坐标系
一、知识网络结构
二、知识要点
1、有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做(a，b) 。
2、*面直角坐标系：在*面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成*面直角坐标系。
3、横轴、纵轴、原点：水*的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为*面直角坐标系的原点。
4、坐标：对于*面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a，b分别叫点P的横坐标和纵坐标，记作P(a，b)。
5、象限：两条坐标轴把*面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。
6、各象限点的坐标特点①第一象限的点：横坐标0，纵坐标0；②第二象限的点：横坐标0，纵坐标0；③第三象限的点：横坐标0，纵坐标0；④第四象限的点：横坐标0，纵坐标0。
7、坐标轴上点的坐标特点①x轴正半轴上的点：横坐标0，纵坐标0；②x轴负半轴上的点：横坐标0，纵坐标0；③y轴正半轴上的点：横坐标0，纵坐标0；④y轴负半轴上的点：横坐
标0，纵坐标0；⑤坐标原点：横坐标0，纵坐标0。(填“>”、“<”或“=”)
8、点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a| 。
9、对称点的坐标特点①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；③关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数。
10、点P(2，3)到x轴的距离是；到y轴的距离是；点P(2，3)关于x轴对称的点坐标为(，)；点P(2，3)关于y轴对称的点坐标为(，)。
11、如果两个点的横坐标相同，则过这两点的直线与y轴*行、与x轴垂直；如果两点的纵坐标相同，则过这两点的直线与x轴*行、与y轴垂直。如果点P(2，3)、Q(2，6)，这两点横坐标相同，则PQ∥y轴，PQ⊥x轴；如果点P(-1，2)、Q(4，2)，这两点纵坐标相同，则PQ∥x轴，PQ⊥y轴。
12、*行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；*行于y轴的直线上的点的横坐标相同；在一、三象限角*分线上的点的横坐标与纵坐标相同；在二、四象限角*分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。如果点P(a，b)在一、三象限角*分线上，则P点的横坐标与纵坐标相同，即a = b ；如果点P(a，b)在二、四象限角*分线上，则P点的横坐标与纵坐标互为相反数，即a = -b 。
13、表示一个点(或物体)的位置的方法：一是准确恰当地建立*面直角坐标系；二是正确写出物体或某地所在的点的坐标。选择的坐标原点不同，建立的*面直角坐标系也不同，得到的同一个点的坐标也不同。
14、图形的*移可以转化为点的*移。坐标*移规律：①左右*移时，横坐标进行加减，纵坐标不变；②上下*移时，横坐标不变，纵坐标进行加减；③坐标进行加减时，按“左减右加、上加下减”的规律进行。如将点P(2，3)向左*移2个单位后得到的点的坐标为(，)；将点P(2，3)向右*移2个单位后得到的点的坐标为(，)；将点P(2，3)向上*移2个单位后得到的点的坐标为(，)；将点P(2，3)向下*移2个单位后得到的点的坐标为(，)；将点P(2，3)先向左*移3个单位后再向上*移5个单位后得到的点的坐标为(，)；将点P(2，3)先向左*移3个单位后再向下*移5个单位后得到的点的坐标为(，)；将点P(2，3)先向右*移3个单位后再向上*移5个单位后得到的点的坐标为(，)；将点P(2，3)先向右*移3个单位后再向下*移5个单位后得到的点的坐标为(，)。
第八章二元一次方程组
1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。
2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为(为常数，并且)。使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。
3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。
4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。
5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使同一个未知数的系数相等或互为相反数；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数；(3)解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；(4)将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值，从而得到原方程组的解。
6、解三元一次方程组的一般步骤：①观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；②利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；③解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中，求出第三个未知数的值，从而得到原三元一次方程组的解。
第九章不等式与不等式组
1、用不等号表示不等关系的式子叫不等式，不等号主要包括：> 、 < 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。
2、在含有未知数的不等式中，使不等式成立的未知数的值叫不等式的解，一个含有未知数的不等式的所有的解组成的集合，叫这个不等式的解集。不等式的解集可以在数轴上表示出来。求不等式的解集的过程叫解不等式。含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式叫一元一次不等式。
3、不等式的性质：
①性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
用字母表示为：如果，那么；如果，那么；
如果，那么；如果，那么。
②性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
用字母表示为：如果，那么(或)；如果，那么(或)；
如果，那么(或)；如果，那么(或)；
③性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
用字母表示为：如果，那么(或)；如果，那么(或)；
如果，那么(或)；如果，那么(或)；
4、解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项； ⑤系数化为1 。这与解一元一次方程类似，在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。
5、不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式组叫一元一次不等式组。使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解(简称不等式组的解)。不等式组的解集可以在数轴上表示出来。求不等式组的解集的过程叫解不等式组。
6、解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解(此时也称这个不等式组的解集为空集)。
7、求出各个不等式的解集后，确定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。
第十章数据的收集、整理与描述
知识要点
1、对数据进行处理的一般过程：收集数据、整理数据、描述数据、分析得出结论。
2、数据收集过程中，调查的方法通常有两种：全面调查和抽样调查。
3、除了文字叙述、列表、划记法外，还可以用条形图、折线图、扇形图、直方图来描述数据。
4、抽样调查简称抽查，它只抽取一部分对象进行调查，根据调查数据推断全体对象的情况。要考察的全体对象叫总体，组成总体的每一个考察对象叫个体，被抽取的那部分个体组成总体的一个样本，样本中个体的数目叫这个样本的容量。
5、画频数直方图的步骤：①计算数差(值与最小值的差)；②确定组距和组数；③列频数分布表；④画频数直方图。
目录
第七章 *面图形的认识(二) 1
第八章 幂的运算 2
第九章 整式的乘法与因式分解 3
第十章 二元一次方程组 4
第十一章 一元一次不等式 4
第十二章 证明 9
第七章 *面图形的认识(二)
一、知识点：
1、“三线八角”
① 如何由线找角：一看线，二看型。
同位角是“F”型;
内错角是“Z”型;
同旁内角是“U”型。
② 如何由角找线：组成角的三条线中的公共直线就是截线。
2、*行公理：
如果两条直线都和第三条直线*行，那么这两条直线也*行。
简述：*行于同一条直线的两条直线*行。
补充定理：
如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也*行。
简述：垂直于同一条直线的两条直线*行。
3、*行线的判定和性质：
判定定理 性质定理
条件 结论 条件 结论
同位角相等 两直线*行 两直线*行 同位角相等
内错角相等 两直线*行 两直线*行 内错角相等
同旁内角互补 两直线*行 两直线*行 同旁内角互补
4、图形*移的性质：
图形经过*移，连接各组对应点所得的线段互相*行(或在同一直线上)并且相等。
5、三角形三边之间的关系：
三角形的任意两边之和大于第三边;
三角形的任意两边之差小于第三边。
若三角形的三边分别为a、b、c，
则xxxx。
6、三角形中的主要线段：
三角形的高、角*分线、中线。
注意：①三角形的高、角*分线、中线都是线段。
②高、角*分线、中线的应用。
7、三角形的内角和：
三角形的3个内角的和等于180°;
直角三角形的两个锐角互余;
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
8、多边形的内角和：
n边形的内角和等于(n-2)180°;
任意多边形的外角和等于360°。
第八章 幂的运算
幂(power)指乘方运算的结果。an指将a自乘n次(n个a相乘)。把an看作乘方的结果，叫做a的n次幂。
对于任意底数a,b，当m，n为正整数时，有
aman=am+n (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)
am÷an=am-n (同底数幂相除,底数不变,指数相减)
(am)n=amn (幂的乘方,底数不变,指数相乘)
(ab)n=anan (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)
a0=1(a≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)
a-n=1/an (a≠0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)
科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中1≤|a|<10),这种记数法叫做科学记数法。
复*知识点：
1.乘方的概念
求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 中，a 叫做底数，n 叫做指数。
2.乘方的性质
(1)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
(2)正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
第九章 整式的乘法与因式分解
一、整式乘除法
单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。ac5bc2=(ab)(c5c2)=abc5+2=abc7 注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减
单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,m(a+b+c)=ma+mb+mc 注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号。本质是乘法分配律。
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
乘法公式：*方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的*方差。(a+b)(a-b)=a2-b2
完全*方公式:两数和[或差]的*方,等于它们的*方和,加[或减]它们积的2倍。(a±b)2=a2±2ab+b2
因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式,也叫做把这个多项式分解因式。
因式分解方法:
1、提公因式法。 关键:找出公因式
公因式三部分：①系数(数字)一各项系数最大公约数;②字母--各项含有的相同字母;③指数--相同字母的最低次数;步骤：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式。需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项。
注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的。
2、公式法：①a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的*方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子②a2±2ab+b2=(a±b)2 完全*方两个数*方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的*方。
③x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2) 立方差公式
3、十字相乘(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
因式分解三要素：(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式(2)因式分解必须是恒等变形;(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差
添括号法则：如括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如括号前是负号各项都得改符号。用去括号法则验证
第十章 二元一次方程组
1、含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程(linear equations of two unknowns) 。
2、含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。
3、二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
4、代入消元法：把二元一次方程中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再带入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
5、加减消元法：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
6、二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
(1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数;
(2)找：找出能够表示题意两个相等关系;
(3)列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组;
(4)解：解这个方程组，求出两个未知数的值;
(5)答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案。
第十一章 一元一次不等式
一元一次不等式
重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。
难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。
知识点一：不等式的概念
1. 不等式：
用“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式。用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
要点诠释：
(1) 不等号的类型:
① “≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小;
(2) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
2.不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
要点诠释：
由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。
3.不等式的解集：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x-4<1的解集是x<5。不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。
要点诠释：
不等式的解集必须符合两个条件：
(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立;
(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。
知识点二：不等式的基本性质
基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果 ，那么 。
基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果 ，并且 ，那么 (或 )。
基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
符号语言表示为：如果 ，并且 ，那么 (或 )
要点诠释：
(1)不等式的`基本性质1的学*与等式的性质的学*类似，可对比等式的性质掌握;
(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式;
(3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“>”，那么变化后仍是“>”;如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”;“不等号的方向改变”指的是如果原来是“>”，那么变化后将成为“<”;如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”;
(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。
知识点三：一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0。这样的不等式，叫做一元一次不等式。
要点诠释：
(1)一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：
①左右两边都是整式(单项式或多项式); ②只含有一个未知数;
③未知数的最高次数为1。
(2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式;不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“>”、“<”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“=”连接)。
知识点四：一元一次不等式的解法
1.解不等式：
求不等式解的过程叫做解不等式。
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1。
要点诠释：
(1)在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用
(2)解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项;②移项时不要忘记变号;③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号;④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。
3.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。
要点诠释：
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
(1)边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈;(2)方向：大向右，小向左
规律方法指导(包括对本部分主要题型、思想、方法的总结)
1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。(性质2、3要倍加小心)
2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解;若不成立，则就不是不等式的解。
3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为 或 的形式，其一般步骤是：(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)化未知数的系数为1。这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以(或除以)同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。
解一元一次不等式的一般步骤及注意事项
变形名称 具体做法 注意事项
去分母 在不等式两边同乘以分母的最小公倍数 (1)不含分母的项不能漏乘
(2)注意分数线有括号作用，去掉分母后，如分子是多项式，要加括号
(3)不等式两边同乘以的数是个负数，不等号方向改变。
去括号 根据题意，由内而外或由外而内去括号均可
(1)运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项
(2)如果括号前是“—”号，去括号时，括号内的各项要变号
移项 把含未知数的项都移到不等式的一边(通常是左边)，不含未知数的项移到不等式的另一边 移项(过桥)变号
合并同类项 把不等式两边的同类项分别合并，把不等式化为 或 的形式
合并同类项只是将同类项的系数相加，字母及字母的指数不变。
系数化1 在不等式两边同除以未知数的系数 ，若 且 ，则不等式的解集为 ;若 且 ，则不等式的解集为 ;若 且 ，则不等式的解集为 ;若 且 ，则不等式的解集为 ;
(1)分子、分母不能颠倒
(2)不等号改不改变由系数 的正负性决定。
(3)计算顺序：先算数值后定符号
4、将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实。
5、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解集，最后解决实际问题。
6、常见不等式的基本语言的意义：
(1) ，则x是正数; (2) ，则x是负数;
(3) ，则x是非正数; (4) ，则x是非负数;
(5) ，则x大于y; (6) ，则x小于y;
(7) ，则x不小于y; (8) ，则x不大于y;
(9) 或 ，则x，y同号;(10) 或 ，则x，y异号;
(11)x，y都是正数，若 ，则 ;若 ，则 ;
(12)x，y都是负数，若 ，则 ;若 ，则
第十二章 证明
教学目标：
1.掌握定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念，知道一个命题是真命 题，它的逆命题不一定是真命题。
2.基本事实是其真实性不加证明的真命题，弄*命题与定理的区别。
3.会用举反例说明一个命题是假命题;掌握三角形内角和定理的证明。
重点：定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念的理解与运用
难点：会用举反例说明一个命题是假命题;掌握三角形内角和定理的证明。
内容：
1.以基本事实：“同位角相等，两直线*行”证明： (1)“内错角相等，两直线*行”、“同旁内角互补，两直线*行”、“*行于同一条直线的两条直线*行”
2.基本事实：“过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线*行”
“两直线*行，同位角相等”
证明：
(1)两只相*行，内错角相等
(2)两只相*行，同旁内角互补
(3)三角形内角和定理”
(4)直角三角形的两个锐角互余
(5)有两个锐角互余的三角形是直角三角形
(6)三角形的外角等于与它不相邻的两个外角的和
相交线与*行线
1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。
2、三线八角：对顶角(相等)，邻补角(互补)，同位角，内错角，同旁内角。
3、两条直线被第三条直线所截：
同位角F(在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧)
内错角Z(在两条直线内部，位于第三条直线两侧)
同旁内角U(在两条直线内部，位于第三条直线同侧)
4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
5、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足
6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、垂线段最短。
8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
9、*行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线*行。
推论：如果两条直线都与第三条直线*行，那么这两条直线也互相*行。如果b//a，c//a，那么b//c
10、*行线的判定：
①同位角相等，两直线*行。
②内错角相等，两直线*行。
③同旁内角互补，两直线*行。
11、推论：在同一*面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线*行。
12、*行线的性质：
①两直线*行，同位角相等；
②两直线*行，内错角相等；
③两直线*行，同旁内角互补。
13、*面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________
14、*移：
①*移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。
②对应点的线段*行且相等。
*移：在*面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做*移*移变换，简称*移。
对应点：*移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
15、命题：判断一件事情的语句叫命题。
命题分为题设和结论两部分；题设是如果后面的，结论是那么后面的。
命题分为真命题和假命题两种；定理是经过推理证实的真命题。
实数
一、实数的概念及分类
1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数
负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
(1)开方开不尽的数，如7，2等；
π(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于
零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
4、实数与数轴上点的关系：
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，
数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，
实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
三、*方根、算数*方根和立方根
1、*方根
(1)*方根的定义：如果一个数x的*方等于a，那么这个数x就叫做a的*方根。
(2)开*方的定义：求一个数的*方根的运算，叫做开*方。开*方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
3的*方等于9，9的*方根是?
(3)*方与开*方互为逆运算：
(4)一个正数有两个*方根，即正数进行开*方运算有两个结果；
一个负数没有*方根，即负数不能进行开*方运算
(5)符号：正数a的正的*方根可用表示，也是a的算术*方根；
学*方法
注重预*培养自学能力
在预*的时候，应当把定理、定律、公式、常数、特定符号这些内容单独汇集在一起，每抄录一遍，则加深一次印象。上课的时候，老师讲到这些地方时，应把自己预*时的理解和老师讲的相对照，看自己有没有理解错的地方。预*可以用“一划、二批、三试、四分”的预*方法。
一划：就是圈划知识要点，基本概念。
二批：就是把预*时的体会、见解以及自己暂时不能理解的内容，批注在书的空白地方。
三试：就是尝试性地做一些简单的练*，检验自己预*的效果。
四分：就是把自己预*的这节知识要点列出来，分出哪些是通过预*已掌握了的，哪些知识是自己预*不能理解掌握了的，需要在课堂学*中进一步学*。
数学概念
正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵——对象的“质”的特征，及其外延——对象的“量”的范围。一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的。但在这之前，有一个通过实例、练*及口头描述来理解的阶段。
比如，儿童对自然数，对运算结果——和、差、积、商的理解，就是如此。到小学高年级，开始出现以文字表达一个数学概念，即定义的方式，如分数、比例等。有些数学概念要经过长期的酝酿，最后才以定义的形式表达，如函数、极限等。定义是准确地表达数学概念的方式。
许多数学概念需要用数学符号来表示。如dy表示函数y的微分。数学符号是表达数学概念的一种独特方式，对学生理解和形成数学概念起着极大的作用，它把学生掌握数学概念的思维过程简约化、明确化了。许多数学概念的定义就是用数学符号来表达，从而增强了科学性。
许多数学概念还需要用图形来表示。有些数学概念本身就是图形，如*行四边形、棱锥、双曲线等。有些数学概念可以用图像来表示，比如函数y=x+1的图像。有些数学概念具有几何意义，如函数的微分。数形结合是表达数学概念的又一独特方式，它把数学概念形象化、数量化了。
总之，数学概念是在人类历史发展过程中，逐步形成和发展的。
七年级下册数学知识点总结3篇扩展阅读
七年级下册数学知识点总结3篇（扩展1）
——七年级下册数学知识点总结归纳3篇
实数
实数的分类
1、按定义分类： 2.按性质符号分类：
注：0既不是正数也不是负数.
实数的相关概念
1.相反数
(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数.0的相反数是0.
(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.
(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数 a+b=0.
2.绝对值 |a|≥0.
3.倒数 (1)0没有倒数 (2)乘积是1的两个数互为倒数.a、b互为倒数 .
4.*方根
(1)如果一个数的*方等于a，这个数就叫做a的*方根.一个正数有两个*方根，它们互为相反数;0有一个*方根，它是0本身;负数没有*方根.a(a≥0)的*方根记作.
(2)一个正数a的正的*方根，叫做a的算术*方根.a(a≥0)的算术*方根记作 .
5.立方根
如果x3=a，那么x叫做a的立方根.一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零.
实数与数轴
数轴定义： 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可.
实数大小的比较
1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.
2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大;两个负数;绝对值大的反而小.
3.无理数的比较大小：
实数的运算
1.加法
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得0;一个数同0相加，仍得这个数.
2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数.
3.乘法
几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数有奇数个时，积为负.几个数相乘，有一个因数为0，积就为0.
4.除法
除以一个数，等于乘上这个数的倒数.两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数都得0.
5.乘方与开方
(1)an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数.
(2)正数和0可以开*方，负数不能开*方;正数、负数和0都可以开立方.
(3)零指数与负指数
一、实数的概念及分类
1、实数的分类、正有理数、有理数零有限小数和无限循环小数
负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
(1)开方开不尽的数，如7,2等;
π(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等;3
(3)有特定结构的数，如0、1010010001…等;
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于
零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
4、实数与数轴上点的关系：
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，
数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，
实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
初中数学线段的性质
(1)线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。
(2)连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
(3)线段的中点到两端点的距离相等。
(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
相交线与*行线
1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。
2、三线八角：对顶角（相等），邻补角（互补），同位角，内错角，同旁内角。
3、两条直线被第三条直线所截：
同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）
内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）
同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）
4、两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。
5、垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足。
6、垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
7、垂线段最短。
8、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
9、*行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线*行。
推论：如果两条直线都与第三条直线*行，那么这两条直线也互相*行。如果b//a，c//a，那么b//c
10、*行线的判定：
①同位角相等，两直线*行。②内错角相等，两直线*行。 ③同旁内角互补，两直线*行。
11、推论：在同一*面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线*行。
12、*行线的性质：
①两直线*行，同位角相等；②两直线*行，内错角相等；③两直线*行，同旁内角互补。
13、*面上不相重合的两条直线之间的位置关系为_______或________
14、*移：①*移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段*行且相等。
*移：在*面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做*移*移变换，简称*移。
对应点：*移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
15、命题：判断一件事情的语句叫命题。
命题分为题设和结论两部分；题设是如果后面的，结论是那么后面的。
命题分为真命题和假命题两种；定理是经过推理证实的真命题。
概率
一、事件：
1、事件分为必然事件、不可能事件、不确定事件。
2、必然事件：事先就能肯定一定会发生的事件。也就是指该事件每次一定发生，不可能不发生，即发生的可能是100%（或1）。
3、不可能事件：事先就能肯定一定不会发生的事件。也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生的可能性为零。
4、不确定事件：事先无法肯定会不会发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可能不发生，即发生的可能性在0和1之间。
二、等可能性：是指几种事件发生的可能性相等。
1、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数。
2、必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1；
3、不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0；
4、不确定事件发生的概率在0—1之间，记作0
三、几何概率
1、事件A发生的概率等于此事件A发生的可能结果所组成的面积（用SA表示）除以所有可能结果组成图形的面积（用S全表示），所以几何概率公式可表示为P（A）=SA/S全，这是因为事件发生在每个单位面积上的概率是相同的。
2、求几何概率：
（1）首先分析事件所占的面积与总面积的关系；
（2）然后计算出各部分的面积；
（3）最后代入公式求出几何概率。
三角形
1、三角形→由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。
2、判断三条线段能否组成三角形。
①a+b>c（ab为最短的两条线段）
②a—b
3、第三边取值范围：a—b
4、对应周长取值范围
若两边分别为a，b则周长的取值范围是2a
如两边分别为5和7则周长的取值范围是14
5、三角形中三角的关系
（1）、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
n边行内角和公式（n—2）
（2）、三角形按内角的大小可分为三类：
（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；
（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”，其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。
注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
（3）、判定一个三角形的形状主要看三角形中角的度数。
（4）、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。
6、三角形的'三条重要线段
（1）、三角形的角*分线：
1、三角形的一个内角的*分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角*分线。
2、任意三角形都有三条角*分线，并且它们相交于三角形内一点。（内心）
（2）、三角形的中线：
1、在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
2、三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。（重心）
3、三角形的中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形
（3）、三角形的高线：
1、从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。
2、任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。（垂心）
7、相关命题：
1）三角形中最多有1个直角或钝角，最多有3个锐角，最少有2个锐角。
2）锐角三角形中的锐角的取值范围是60≤X<90。锐角不小于60度。
3）任意一个三角形两角*分线的夹角=90+第三角的一半。
4）钝角三角形有两条高在外部。
5）全等图形的大小（面积、周长）、形状都相同。
6）面积相等的两个三角形不一定是全等图形。
7）能够完全重合的两个图形是全等图形。
8）三角形具有稳定性。
9）三条边分别对应相等的两个三角形全等。
10）三个角对应相等的两个三角形不一定全等。
11）两个等边三角形不一定全等。
12）两角及一边对应相等的两个三角形全等。
13）两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等。
14）两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
15）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
16）一条斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等。
17）一个锐角和一边（直角边或斜边）对应相等的两个三角形全等。
18）一角和一边对应相等的两个直角三角形不一定全等。
19）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。
8、全等图形
1、两个能够重合的图形称为全等图形。
2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。
9、全等三角形
1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。
2、用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
10、全等三角形的判定
1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。
3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。
4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
11、做三角形（3种做法：已知两边及夹角、已知两角及夹边、已知三边、已知两角及一边可以转化为已知已知两角及夹边）。
12、利用三角形全等测距离；
13、、直角三角形全等的条件：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。
变量之间的关系
一、理论理解
1、若Y随X的变化而变化，则X是自变量Y是因变量。
自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量，数值保持不变的量叫做常量。
3、若等腰三角形顶角是y，底角是x，那么y与x的关系式为y=180—2x。
2、能确定变量之间的关系式：相关公式①路程=速度×时间②长方形周长=2×（长+宽）③梯形面积=（上底+下底）×高÷2④本息和=本金+利率×本金×时间。⑤总价=单价×总量。⑥*均速度=总路程÷总时间
二、列表法：采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。
三、关系式法：关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。
四、图像注意：
a、认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；
b、从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图像的起点、拐点、交点
八、事物变化趋势的描述：对事物变化趋势的描述一般有两种：
1、随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而增加（大））；
2、随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐减小（或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加（大）而减小）。
注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述。例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加（大），因变量y逐渐增加（大）等等。
九、估计（或者估算）对事物的估计（或者估算）有三种：
1、利用事物的变化规律进行估计（或者估算）。例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况；*均每次（年）的变化情况（*均每次的变化量=（尾数—首数）/次数或相差年数）等等；
2、利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值；
3、利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可。
七年级下册数学知识点总结3篇（扩展2）
——中考七年级数学知识点3篇
中考数学学*方法
1.先看笔记后做作业。
有的同学感到，老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是为什么你这么做有那么多困难呢?原因是学生对教师所说的理解没有达到教师要求的水*。
因此，每天做作业之前，我们必须先看一下课本的相关内容和当天的课堂笔记。能否如此坚持，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其是当练*不匹配时，老师通常没有刚刚讲过的.练*类型，因此它们不能被比较和消化。如果你不重视这个实施，在很长一段时间内，会造成很大的损失。
2.做题之后加强反思。
学生一定要明确，现在正做着的题，一定不是考试的题目。但使用现在做主题的解决问题的思路和方法。因此，我们应该反思我们所做的每一个问题，并总结我们自己的收获。
要总结出：这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串。日复一日，建立科学的网络系统的内容和方法。俗话说：有钱难买回头看。做完作业，回头细看，价值极大。这一回顾，是学*过程中一个非常重要的环节。
中考数学学*技巧
1、科学的预*方法
预*中发现的难点，就是听课的重点;对预*中遇到的没有掌握好的有关的旧知识，可进行补缺，以减听课过程中的困难;有助于提高思维能力，预*后把自己理解了的东西与老师的讲解进行比较、分析即可提高自己思维水*;预*后将课本的例题及老师要讲授的*题提前完成，还可以培养自己的自学能力，与老师的方法进行比较，可以发现更多的方法与技巧。总之，这样会使你的听课更加有的放矢，你会知道哪些该重点听，哪些该重点记。
2、科学的听课方式
听课的过程不是一个被动参预的过程，要全身心地投入课堂学*，耳到、眼到、心到、口到、手到。还要想在老师前面，不断思考：面对这个问题我会怎么想?当老师讲解时，又要思考：老师为什么这样想?这里用了什么思想方法?这样做的目的是什么?这个题有没有更好的方法?问题多了，思路自然就开阔了。
3、科学的记录笔记
记问题--将课堂上未听懂的问题及时记下来，便于课后请教同学或老师，把问题弄懂弄通。
记疑点--对老师在课堂上讲的内容有疑问应及时记下，这类疑点，有可能是自己理解错造成的，也有可能是老师讲课疏忽大意造成的，记下来后，便于课后与老师商榷。
记方法--勤记老师讲的解题技巧、思路及方法，这对于启迪思维，开阔视野，开发智力，培养能力，并对提高解题水*大有益处。
记总结--注意记住老师的课后总结，这对于浓缩一堂课的内容，找出重点及各部分之间的联系，掌握基本概念、公式、定理，寻找存在问题、找到规律，融会贯通课堂内容都很有作用。
一元一次方程
1.方程是含有未知数的等式。
2.方程是等式，等式不一定是方程。
3.只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。
列方程
1.分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。
2.列方程是解决问题的重要方法，利用方程可以解出未知数。
解方程
1.解方程就是求出式方程中等号两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
等式的性质
1.等式的性质1等式两边同时加(减)同一个数(或式子)，结果仍相等。
2.等式的性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
合并同类项
1.把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项。
移项
把方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的某些项改变符号后，从方程的一
边移到另一边，这样的变形叫做移项。
去括号
1.括号前面有"+"号,把括号和它前面的"+"号去掉,括号里各项的符号不改变
2.括号前面是"-"号,把括号和它前面的"-"号去掉,括号里各项的符号都要改变成相反的符号。
一.正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数。
注意：
①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数;当a表示负数时，-a是正数;当a表示0时，-a仍是0。(如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断)
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃;零下8℃表示为：-8℃
支出与收入;增加与减少;盈利与亏损;北与南;东与西;涨与跌;增长与降低等等是相对相反量，它们计数：比原先多了的数,增加增长了的数一般记为正数;相反，比原先少了的数，减少降低了的数一般记为负数。3.0表示的意义
⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人;
⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
二.有理数
1.有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数(0和正整数统称为自然数)
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8?也是偶数，-1,-3,-5?也是奇数。
凡能写成q(p,q为整数且p?0)形式的`数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负p
分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;?不是有理数;
七年级下册数学知识点总结3篇（扩展3）
——初中七年级数学知识点 40句菁华
1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零
2、整式的运算：
3、直线的性质
4、角的表示
5、一元一次方程
6、变量中的图象法，注意：（1）横、纵坐标的对象。（2）起点、终点不同表示什么意义（3）图象交点表示什么意义（4）会求*均值。
7、尺规作图：（1）作一线段等已知线段（2）作角已知角（3）作线段垂直*分线
8、事件的分类：，会求各种事件的概率
9、方法归纳：（1）求边相等可以利用
10、ADBCADBC180°—∠1—∠2∠3+∠4
11、∠1=∠5或∠2=∠6或∠3=∠7或∠4=∠8
12、*行，证明如下：
13、对，证明如下：
14、___________________________________叫对顶角，对顶角___________.
15、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：
16、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的.余角的正切值。
17、有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数> 0，小数-大数< 0.
18、有理数加法法则：
19、有理数加法的运算律：
20、乘方的定义：
21、正数：大于0的数。
22、数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。(画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向;选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。)
23、乘法结合律：(ab)c=a(bc)
24、乘法分配律：a(b+c)=ab+ac
25、同级运算，从左到右进行。
26、多项式的次数：多项式中，次数的项的次数叫做这个多项式的次数。
27、同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
28、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变
29、常数的系数是它本身，次数为零。
30、如果是分数的多项式，那么他的系数就是他的分数常数，次数为最高次幂。
31、人们通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴(number axis)。
32、在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点(origin)。
33、有理数除法法则
34、根据有理数的乘法法则可以得出
35、单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数(coefficient)。
36、把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
37、有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一*面内，它们是立体图形(solidfigure)。
38、点动成面，面动成线，线动成体。
39、点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB，点M叫做线段AB的中点(center)。
40、把一个周角360等分，每一份就是1度(degree)的角，记作1°;把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′;把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。
七年级下册数学知识点总结3篇（扩展4）
——七年级上册数学知识点 30句菁华
1、数轴（1）定义 ：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴；
2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。（例：2的相反数是-2；0的相反数是0）
3、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
4、求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。在a的n次方中，a叫做底数，n叫做指数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。
5、有理数的混合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
6、从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。四舍五入遵从精确到哪一位就从这一位的下一位开始，而不是从数字的末尾往前四舍五入。比如：3.5449精确到0.01就是3.54而不是3.55.
7、整数和分数统称为有理数(rational number)。
8、一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value)。
9、有理数加法法则
10、有理数的加法中，两个数相加，交换交换加数的位置，和不变。
11、有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
12、一般的，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
13、三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
14、从一个数的左边的第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数字(significant digit)
15、一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(degree of a monomial)。
16、几个单项的和叫做多项式(polynomial)，其中，每个单项式叫做多项式的项(term)，不含字母的项叫做常数项(constantly
17、含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程(linear equation withone unknown)。
18、等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等。
19、有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的'各部分不都在同一*面内，它们是立体图形(solidfigure)。
20、有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一*面内，它们是*面图形(planefigure)。
21、几何体简称为体(solid)。
22、点动成面，面动成线，线动成体。
23、角∠(angle)也是一种基本的几何图形。
24、把一个周角360等分，每一份就是1度(degree)的角，记作1°;把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′;把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。
25、科学记数法将一个数字表示成a×10的n次幂的形式,其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数,这种中，a叫底数，叫做指数。当看记数方法叫科学记数法。
26、几个单项式的和叫做多项式。
27、不含字母的项叫做常数项。
28、所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。
29、分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。
30、括号前面是"-"号,把括号和它前面的"-"号去掉,括号里各项的符号都要改变成相反的符号。
七年级下册数学知识点总结3篇（扩展5）
——七年级上册数学知识点合集五篇
第四章：几何图形初步
一几何图形
几何学：数学中以空间形式为研究对象的分支叫做几何学。
从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。几何图形可分为立体图形和*面图形;各个部分不都在同一*面内的几何图形叫做立体图形，各个部分都在同一*面内的几何图形叫做*面图形。
1、几何图形的投影问题
每一种几何体从不同的方向去看它，可以得到不同的简单*面几何图形。实际上投影所得到的简单*面几何图形是被投影几何体可遮挡视线的部分在*面内所留下的影子。2、立体图形的展开问题
将立体图形的表面适当剪开，一、点、线、面、体
1、点、线、面、体的概念点动成线，线动成面，面动成体由*面和曲成围成一个几何体2、点、线、面和体之间的关系(1)点动成线、线动成面、面动成体;
(2)体是由面组成、面与面相交成线、线与线相交成点;
二、线段、射线、直线1、线段、射线、直线的定义
(1)线段：线段可以*似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。线段可以量出长度。(2)射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。射线无法量出长度。(3)直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点。直线无法量出长度。概念剖析：①线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点;
②“线段可以量出长度”，即线段有明确的长度，“射线和直线都无法量出其长度”，即射线和直线既没有明确的长度，
也没有射线与射线、直线与直线、射线与直线之间的长短比较之说;
③线段只有长短之分，而没有大小之别，射线和直线既没有长短之分，也没有大小之别;例1、下列说法正确的是()
A、5㎝长的直线比3㎝长的直线要长2㎝;B、线段向两个方向无限延伸就形成了直线;
C、直线和射线都是不可度量的，所以它们都无法表示;D、直线AB、射线AB和线段AB表示的都是同一几何图形;
2、线段、射线、直线的表示方法
(1)线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。(2)射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面。
(3)直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。
概念剖析：①将线段的两个端点位置颠倒，得到的新线段与原来的线段是同一线段，即线段AB与线段BA是同一线段;
②将表示射线的两个点位置颠倒，得到的新射线与原来的射线不是同一射线，即射线AB与射线BA不是同一射线，因为它们的端点和方向不同;
③将表示直线的两个点位置颠倒，得到的新直线与原来的直线是同一直线，即直线AB与直线BA是同一直线;④识别图中线段的条数要把握一点：只要有一个端点不相同，就是不同的线段;⑤识别图中射线的条数要把握两点：端点和方向缺一不可;
有理数
★有理数的分类
1.如果按定义分，有理数可以分为整数(正整数;负整数;0)和分数(正分数，负分数)。
如果按正、负分，有理数可以分为正有理数(正整数;正分数)、0、负有理数(负整数;负分数)。
2.所有的有理数都可以用分数表示，π不是有理数。
数轴
★1.数轴的定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
相反数
1.只有符号不同的两个数叫做互为相反数。(0的相反数是0)
绝对值
1.数轴上一点a到原点的距离表示a的绝对值。
★2.绝对值的性质：非负性。
3.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
有理数的大小
1.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
2.两个负数，绝对值大的反而小。
有理数的加法
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的.加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加，仍得这个数。
3.在有理数的加法中，
加法交换率：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
有理数的减法
减去一个数，等于加这个数的相反数。
★有理数的乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘后得0。
倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
乘法交换律：乘法交换律两个数相乘,交换因数的位置,积不变。
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。
乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把
积相加。
★有理数的除法
除以某个不为0数等于乘与这个数的倒数两数相除
同号为正，异号为负，并把绝对值相除
0除以任何一个不等于0的数，都等于0。
有理数的混合运算
1.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果是同级运算，则按从左到右的运算顺序计算。如果有括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。
有理数的乘方
★1.求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在
做a的n次方时的结果时，也可以读作a的n次幂。
★2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0
科学计数法
1.科学记数法将一个数字表示成a×10的n次幂的形式,其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数,这种中，a叫底数，叫做指数。当看记数方法叫科学记数法。
*似数
1.一个数与准确数相*(比准确数略多或者略少些),这一个数称之为*似数。
★2.有效数字：在一个数中,从左边第一个不是0的数字起,到精确到位数止,所有的数字,都叫这个数字的有效数字。
整式的加减
单项式
1.单项式的定义：数或字母的乘积叫做单项式，单独做一个数或字母也是单项式。
2.系数：单项式中的数字因数
3.次数：单项式中所有的字母的指数和
★多项式
1.几个单项式的和叫做多项式。
2.每个单项式叫做多项式的项。
3.不含字母的项叫做常数项。
4.多项式里次数项的次数，叫做这个多项式的次数。多项式里次数的那一项叫做多项式的次项。
★5.多项式中没有次数。
整式
1.单项式和多项式统称为整式。
整式的加减
1.所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。
2.把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
3.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。
合并同类项——去括号
★1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
一元一次方程
1.方程是含有未知数的等式。
2.方程是等式，等式不一定是方程。
3.只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。
列方程
1.分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。
2.列方程是解决问题的重要方法，利用方程可以解出未知数。
解方程
1.解方程就是求出式方程中等号两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
等式的性质
★1.等式的性质1等式两边同时加(减)同一个数(或式子)，结果仍相等。
★2.等式的性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
合并同类项
1.把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项。
移项
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